【数学】新疆乌鲁木齐市第四中学2019-2020学年高二下学期期末考试(理)

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【数学】新疆乌鲁木齐市第四中学2019-2020学年高二下学期期末考试(理)

新疆乌鲁木齐市第四中学2019-2020学年 高二下学期期末考试(理)‎ 一、单选题 ‎1.复数(是虚数单位)的虚部为( )‎ A.-1 B.0 C.1 D.2‎ ‎2.已知集合,集合,则( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎3.在中,,,的对边分别是,,,且,,,,则边上的高线的长为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.设函数,则( )‎ A.为的极大值点 B.为的极小值点 C.为的极大值点 D.为的极小值点 ‎5.已知,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.设抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为 A. B. C. D.‎ ‎7.设{an}是有正数组成的等比数列,为其前n项和.已知,S3=7,则S5=( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.已知,表示两条不同直线,表示平面,下列说法正确的是 A.若则 B.若,,则 C.若,,则 D.若,,则 ‎9.已知A、B分别为椭圆C:1(a>b>0)的右顶点与上顶点,F是C的左焦点,若FB⊥AB,则该椭圆的离心率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.若双曲线(,)的一条渐近线被圆截得的弦长为2,则双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知四棱锥,底面为矩形,侧面平面,,,若点M为的中点,则下列说法正确的个数为( )‎ ‎(1)平面 (2)四棱锥P-ABCD的体积为24‎ ‎(3)平面 (4)点A到面PBC的距离为 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎12.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究,从其中的一些数学用语可见,譬如“堑堵”意指底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱,“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱,其中,若,当“阳马”即四棱锥体积最大时,“堑堵”即三棱柱的表面积为 A. B. C. D.‎ 二、填空题 ‎13.数列的前n项和,则_________‎ ‎14.已知双曲线的离心率为2,右焦点与抛物线的焦点重合,则双曲线的焦点到渐近线的距离为________.‎ ‎15.已知函数,则函数的极大值为 ___________.‎ ‎16.点是椭圆右顶点,过椭圆中心的直线交椭圆于两 点,满足,。则该椭圆的离心率为________.‎ 三、解答题 ‎17.已知函数 (mR)‎ ‎(1)当时,‎ ‎①求函数在x=1处的切线方程;‎ ‎②求函数在上的最大值和最小值.‎ ‎(2)若函数在上单调递增,求实数的取值范围 ‎18.如图,在三棱柱中,平面,,,, 分别为,,,的中点,,.‎ ‎(1)求证:⊥平面;‎ ‎(2)求二面角的余弦值 ‎19.在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),直线的方程为,以O为极点,以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(I)求曲线和直线的极坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)若直线与曲线交于P、Q两点,求的值.‎ ‎20.双曲线上一点到左、右两焦点距离的差为2.‎ ‎(1)求双曲线的方程;‎ ‎(2)设是双曲线的左右焦点,是双曲线上的点,若,‎ 求的面积;‎ ‎(3)过作直线交双曲线于两点,若,是否存在这样的直线,使为矩形?若存在,求出的方程,若不存在,说明理由.‎ ‎21.如图,在四棱锥中,底面为正方形,平面⊥平面,‎ 点为的中点,,.‎ ‎(1)求证://平面,‎ ‎(2)求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎22. 在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为,直线l的参数方程为,(t为参数,0≤α<π).‎ ‎(1)若,求l的普通方程,写出C的直角坐标方程;‎ ‎(2)若l与C有两个不同的交点A、B,且P(2,1)为AB的中点,求|AB|.‎ 参考答案 一、选择题:‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B C A C B D A C B D B D 二、填空题 ‎13、________________23____________ 14、_______________________‎ ‎15、________________________ 16、______________________‎ 三、解答题:‎ ‎17、(1)证明见解析;(2)‎ ‎18、(1)在三棱柱中,‎ ‎∵⊥平面,‎ ‎∴四边形为矩形.‎ 又,分别为,的中点,‎ ‎∴⊥.‎ ‎∵.‎ ‎∴⊥,‎ ‎∴⊥平面.‎ ‎(2)由(1)知⊥,⊥,∥.‎ 又⊥平面,∴⊥平面.‎ ‎∵平面,∴⊥.‎ 如图建立空间直角坐称系.‎ 由题意得,,,,.‎ ‎∴,,‎ 设平面的法向量为,‎ ‎∴,∴,‎ 令,则,,‎ ‎∴平面的法向量,‎ 又∵平面的法向量为,‎ ‎∴.‎ 由图可得二面角为钝角,所以二面角的余弦值为.‎ ‎(3)平面的法向量为,∵,,‎ ‎∴,∴,∴与不垂直,‎ ‎∴与平面不平行且不在平面内,∴与平面相交.‎ ‎19、(1)曲线的直角坐标方程为.‎ 当时,的直角坐标方程为,‎ 当时,的直角坐标方程为.‎ ‎(2)将的参数方程代入的直角坐标方程,整理得关于的方程 ‎.①‎ 因为曲线截直线所得线段的中点在内,所以①有两个解,设为,,则.‎ 又由①得,故,于是直线的斜率.‎ ‎20.如图,在正三棱柱中,设,的中点分别为,,则,,,以为基底,建立空间直角坐标系.‎ 因为,‎ 所以.‎ ‎(1)因为为的中点,所以,‎ 从而,‎ 故.‎ 因此,异面直线BP与AC1所成角的余弦值为.‎ ‎(2)因为Q为BC的中点,所以,‎ 因此,.‎ 设n=(x,y,z)为平面AQC1的一个法向量,‎ 则即 不妨取,‎ 设直线CC1与平面AQC1所成角为,‎ 则,‎ 所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为.‎ ‎21、【解析】(1)的直角坐标方程为.‎ 当时,与交于两点.‎ 当时,记,则的方程为.与交于两点当且仅当,解得或,即或.‎ 综上,的取值范围是.‎ ‎(2)的参数方程为为参数,.‎ 设,,对应的参数分别为,,,则,‎ 且,满足.‎ 于是,.又点的坐标满足 所以点的轨迹的参数方程是为参数,.‎
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