【数学】新疆乌鲁木齐市第四中学2019-2020学年高二下学期期末考试（理）

【数学】新疆乌鲁木齐市第四中学2019-2020学年高二下学期期末考试（理）

新疆乌鲁木齐市第四中学2019-2020学年 高二下学期期末考试（理）‎ 一、单选题 ‎1．复数（是虚数单位）的虚部为（ ）‎ A．-1 B．0 C．1 D．2‎ ‎2．已知集合，集合，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎3．在中，，，的对边分别是，，，且，，，，则边上的高线的长为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．设函数，则（ ）‎ A．为的极大值点 B．为的极小值点 C．为的极大值点 D．为的极小值点 ‎5．已知，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．设抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 A． B． C． D．‎ ‎7．设{an}是有正数组成的等比数列，为其前n项和．已知，S3＝7，则S5＝（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知，表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是 A．若则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 ‎9．已知A、B分别为椭圆C：1（a＞b＞0）的右顶点与上顶点，F是C的左焦点，若FB⊥AB，则该椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．若双曲线（，）的一条渐近线被圆截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知四棱锥，底面为矩形，侧面平面，，，若点M为的中点，则下列说法正确的个数为（ ）‎ ‎（1）平面 （2）四棱锥P-ABCD的体积为24‎ ‎（3）平面 （4）点A到面PBC的距离为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎12.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱，其中，若，当“阳马”即四棱锥体积最大时，“堑堵”即三棱柱的表面积为 A． B． C． D．‎ 二、填空题 ‎13．数列的前n项和，则_________‎ ‎14．已知双曲线的离心率为2，右焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的焦点到渐近线的距离为________.‎ ‎15．已知函数，则函数的极大值为 ___________．‎ ‎16．点是椭圆右顶点，过椭圆中心的直线交椭圆于两 点，满足，。则该椭圆的离心率为________．‎ 三、解答题 ‎17．已知函数 (mR)‎ ‎（1）当时，‎ ‎①求函数在x=1处的切线方程；‎ ‎②求函数在上的最大值和最小值．‎ ‎（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围 ‎18.如图，在三棱柱中，平面，，，， 分别为，，，的中点，，．‎ ‎(1)求证：⊥平面；‎ ‎(2)求二面角的余弦值 ‎19．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，以O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（I）求曲线和直线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与曲线交于P、Q两点，求的值.‎ ‎20．双曲线上一点到左、右两焦点距离的差为2．‎ ‎（1）求双曲线的方程；‎ ‎（2）设是双曲线的左右焦点，是双曲线上的点，若，‎ 求的面积；‎ ‎（3）过作直线交双曲线于两点，若，是否存在这样的直线，使为矩形？若存在，求出的方程，若不存在，说明理由．‎ ‎21．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面⊥平面，‎ 点为的中点，，．‎ ‎（1）求证：//平面，‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎22. 在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线l的参数方程为，(t为参数,0≤α<π).‎ ‎(1)若，求l的普通方程，写出C的直角坐标方程;‎ ‎(2)若l与C有两个不同的交点A、B，且P(2,1)为AB的中点，求|AB|.‎ 参考答案 一、选择题：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B C A C B D A C B D B D 二、填空题 ‎13、________________23____________ 14、_______________________‎ ‎15、________________________ 16、______________________‎ 三、解答题：‎ ‎17、（1）证明见解析；（2）‎ ‎18、(1)在三棱柱中，‎ ‎∵⊥平面，‎ ‎∴四边形为矩形．‎ 又，分别为，的中点，‎ ‎∴⊥．‎ ‎∵．‎ ‎∴⊥，‎ ‎∴⊥平面．‎ ‎(2)由(1)知⊥，⊥，∥．‎ 又⊥平面，∴⊥平面．‎ ‎∵平面，∴⊥．‎ 如图建立空间直角坐称系．‎ 由题意得，，，，．‎ ‎∴，，‎ 设平面的法向量为，‎ ‎∴，∴，‎ 令，则，，‎ ‎∴平面的法向量，‎ 又∵平面的法向量为，‎ ‎∴．‎ 由图可得二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．‎ ‎(3)平面的法向量为，∵，，‎ ‎∴，∴，∴与不垂直，‎ ‎∴与平面不平行且不在平面内，∴与平面相交．‎ ‎19、(1)曲线的直角坐标方程为．‎ 当时，的直角坐标方程为，‎ 当时，的直角坐标方程为．‎ ‎(2)将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程 ‎．①‎ 因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．‎ 又由①得，故，于是直线的斜率．‎ ‎20.如图，在正三棱柱中，设，的中点分别为，，则，，，以为基底，建立空间直角坐标系．‎ 因为，‎ 所以．‎ ‎(1)因为为的中点，所以，‎ 从而，‎ 故．‎ 因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为．‎ ‎(2)因为Q为BC的中点，所以，‎ 因此，．‎ 设n=（x，y，z）为平面AQC1的一个法向量，‎ 则即 不妨取，‎ 设直线CC1与平面AQC1所成角为，‎ 则，‎ 所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为．‎ ‎21、【解析】(1)的直角坐标方程为．‎ 当时，与交于两点．‎ 当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．‎ 综上，的取值范围是．‎ ‎(2)的参数方程为为参数，．‎ 设，，对应的参数分别为，，，则，‎ 且，满足．‎ 于是，．又点的坐标满足 所以点的轨迹的参数方程是为参数，．‎