上海市闵行区2019-2020学年高一上学期期中考数学试题

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www.ks5u.com 上海市闵行区2019-2020学年高一年级第一学期期中考试数学试卷 一、填空题（本大题共11小题）‎ ‎1.已知集合A={1，1，2，3}，B={1，0，2}，则A∩B= ______ ．‎ ‎【答案】{1，2}‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用交集定义求解．‎ ‎【详解】∵A={1，1，2，3}，B={1，0，2}，‎ ‎∴A∩B={1，2}．‎ 故答案：{1，2}．‎ ‎【点睛】本题考查交集的求法，解题时要认真审题，是基础题．‎ ‎2.已知集合A={1，2，a2-2a}，若3∈A，则实数a=______．‎ ‎【答案】3或1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据3∈A即可得出a22a=3，解方程得到a即可．‎ ‎【详解】∵3∈A，A={1，2，a22a}，‎ ‎∴a22a=3，‎ 解得a=1或3‎ 故答案为：1或3．‎ ‎【点睛】本题考查了列举法定义，元素与集合的关系，考查了推理和计算能力，属于基础题．‎ ‎3.不等式＞0的解集是______ ．‎ ‎【答案】（∞，3）∪（1，+∞）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将分式不等式转化为整式不等式即可得解．‎ ‎【详解】不等式＞0等价为（x1）（x+3）＞0，‎ 即x＞1或x＜3，‎ 即不等式的解集为（∞，3）∪（1，+∞），‎ 故答案为：（∞，3）∪（1，+∞）‎ ‎【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，将分式不等式转化为整式不等式是解决本题的关键．‎ ‎4.已知集合A={（x，y）|3x2y=5}，B={（x，y）|x+2y=1}，则A∩B=______．‎ ‎【答案】{（1，1）}‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据交集的定义，解方程组即可得出A∩B.‎ ‎【详解】由得，‎ ‎∴A∩B={（1，1）}．‎ 故答案为：{（1，1）}．‎ ‎【点睛】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎5.设函数，则其定义域为______．‎ ‎【答案】[3，0）∪（0，3]‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．‎ ‎【详解】因为函数，‎ 所以，‎ 解得3≤x≤3且x≠0；‎ 所以函数f（x）的定义域是[3，0）∪（0，3]．‎ 故答案为：[3，0）∪（0，3]．‎ ‎【点睛】本题考查了求函数定义域的问题，要保证函数有意义，开偶次根时被开方的式子非负，0次幂的底数非零．‎ ‎6.已知命题“在整数集中，若x+y是偶数，则x，y都是偶数”，则该命题的否命题为______．‎ ‎【答案】“在整数集中，若x+y不是偶数，则x，y不都是偶数”‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据命题“若p，则q”的否命题为“若￢p，则￢q”，写出即可．‎ ‎【详解】命题“在整数集中，若x+y是偶数，则x，y都是偶数”，‎ 该命题否命题为：“在整数集中，若x+y不是偶数，则x，y不都是偶数”．‎ 故答案为：“在整数集中，若x+y不是偶数，则x，y不都是偶数”．‎ ‎【点睛】本题考查了命题和它的否命题之间关系问题，是基础题．‎ ‎7.已知集合A＝1，3，2+3，集合B＝3，．若BA，则实数＝ ．‎ ‎【答案】1或3‎ ‎【解析】‎ 因为BA,所以,‎ 解之得m=1或3.‎ ‎8.若关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|1＜x＜2}，则关于x的不等式cx2+bx+a＞0的解集是______ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件可得a＜0，且1+2=，1×2=． b=a＞0，c=2a＞0，可得要解得不等式即x2+x＞0，由此求得它的解集．‎ ‎【详解】∵关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|1＜x＜2}，‎ ‎∴a＜0，且1+2=，1×2=．‎ ‎∴b=a＞0，c=2a＞0，∴=，=．‎ 故关于x的不等式cx2+bx+a＞0，即x2+x＞0，即（x+1）（x）＞0，‎ 故x＜1或x＞，‎ 故关于x的不等式cx2+bx+a＞0的解集是，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，一元二次方程根与系数的关系，属于基础题．‎ ‎9.设x＞1，则最小值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由x＞1，知x1＞0，然后根据=，利用基本不等式求出最小值．‎ ‎【详解】∵x＞1，∴x1＞0，‎ ‎∴==≥=，‎ 当且仅当，即x=1+时取等号，‎ ‎∴最小值为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，考查了转化思想和计算能力，属中档题．‎ ‎10.“对任意的正数x，结论恒成立”的充要条件为______．‎ ‎【答案】∪‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎“对任意的正数x，结论恒成立”等价于a2≥（xx2）max(x＞0)．令y=x2+x(x＞0)，利用二次函数的单调性即可得出．‎ ‎【详解】“对任意的正数x，结论恒成立”等价于a2≥（xx2）max，x＞0．‎ 令y=x2+x=+≤，当x=时，取等号．‎ ‎∴a2≥．‎ 解得a或a≤．‎ 故答案为：∪．‎ ‎【点睛】本题考查了二次不等式的恒成立问题，考查了充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎11.定义满足不等式|xA|＜B（A∈R，B＞0）的实数x的集合叫做A的B 邻域．若a+bt（t为正常数）的a+b邻域是一个关于原点对称的区间，则a2+b2的最小值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据条件求出t＜x＜2（a+b）t；再结合邻域是一个关于原点对称的区间得到a+b=t，最后结合基本不等式即可求出a2+b2的最小值．‎ ‎【详解】因为A的B邻域在数轴上表示以A为中心，B为半径的区域，‎ ‎∴|x（a+bt）|＜a+b⇒t＜x＜2（a+b）t，‎ 而邻域是一个关于原点对称的区间，所以可得a+bt=0‎ 所以a+b=t．‎ 又因为a2+b2≥2ab 所以2（a2+b2）≥a2+2ab+b2=（a+b）2=t2．‎ 所以：a2+b2≥．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力与化归与转化思想，属于基础题．‎ 二、选择题（本大题共4小题）‎ ‎12. 下列命题为真命题的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：A中当时才成立；B中若，则；C中时才成立；D中命题成立 考点：不等式性质 ‎13.设命题甲为“0＜x＜3”，命题乙为“|x1|＜2“，那么甲是乙的（ ）‎ A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简命题乙，再利用充分必要条件判断出命题甲和乙的关系．‎ ‎【详解】命题乙为“|x1|＜2，‎ 解得1＜x＜3．‎ 又命题甲为“0＜x＜3”，‎ 因为 ‎ 那么甲是乙的充分不必要条件．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.‎ ‎14.设全集U=R，A={x|x（x+3）＜0}，B={x|x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出CUB，图中阴影部分表示的集合为A∩（CUB），由此能求出结果．‎ ‎【详解】全集U=R，A={x|x（x+3）＜0}={x|3＜x＜0}，B={x|x＜1}，‎ ‎∴CUB={x|x≥1}．‎ ‎∴图中阴影部分表示的集合为：‎ A∩（CUB）={x|1≤x＜0}=[1，0）．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查集合的求法，考查补集、交集、维恩图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎15.设, 对于使成立的所有常数M中，我们把M的最小值叫做的上确界. 若，且，则的上确界为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由题意可知，上确界即函数的最大值，‎ ‎，当且仅当时不等式取等号，所以有，故本题的正确选项为C.‎ 考点：重要不等式.‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ ‎16.若不等式组的整数解只有－2，则k的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先求出不等式的解集，把不等转化为，此时一定注意根据已知条件确定解集的表示，这是本题易犯错误的地方，再利用数形结合的方法，借助于数轴确定的取值范围．‎ ‎【详解】不等式的解集为，‎ 不等式可转化为：，‎ 根据已知条件不等式组的整数解只有，‎ 不等式的解集为，‎ 再借助数轴可得的取值范围为，解得，‎ 综上k的取值范围是，故答案为．‎ 考点：解一元二次不等式．‎ ‎【方法点晴】本题考查的是解一元二次不等式和数形结合思想应用，属于中档题．‎ ‎17.已知集合，B={x||3x+4|＜5，x∈R}．求：‎ ‎（1）A∪B；‎ ‎（2）∁RA∩∁RB．‎ ‎【答案】(1) {x|x≥1或x＜} (2) {x|}‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先分别求出集合A和B，由此能求出A∪B；（2）分别求出，由此能求出．‎ ‎【详解】（1）∵集合={x|x2+x2≥0}={x|x≥1或x≤2}，‎ B={x||3x+4|＜5，x∈R}={x|3}．‎ ‎∴A∪B={x|x≥1或x＜}．‎ ‎（2）={x|2＜x＜1}，={x|x≤3或x≥}，‎ ‎∴={x|}．‎ ‎【点睛】本题考查交集、并集、补集的求法，考查交集、并集、补集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎18.记关于x的不等式的解集为P，不等式的解集为.‎ ‎（1）若，求P；‎ ‎（2）若，求正数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1） ‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，分式不等式化为，结合分式不等式解法的结论，即可得到解。‎ ‎（2）由含绝对值不等式的解法，得，并且集合是的子集，由此建立不等式关系，即可得到正数的取值范围。‎ ‎【详解】（1）时，，即，化简得，即，所以， 所以不等式的解集为 由此可得 ‎（2），可得,‎ ‎,，又，得，‎ ‎，由此可得，即正数a的取值范围是。‎ ‎【点睛】本题给出分式不等式和含有绝对值的不等式，求两个解集并讨论它们的包含关系，着重考查了分式不等式的解法、含有绝对值的不等式的解法和集合包含关系的运算等知识，属于基础题。‎ ‎19.某城市上年度电价为0.80元/千瓦时，年用电量为千瓦时.本年度计划将电价降到0.55元/千瓦时～0.7元/千瓦时之间，而居民用户期望电价为0.40元/千瓦时（该市电力成本价为0.30元/千瓦时)，经测算，下调电价后，该城市新增用电量与实际电价和用户期望电价之差成反比，比例系数为.试问当地电价最低为多少元/千瓦时，可保证电力部门的收益比上年度至少增加20%.‎ ‎【答案】电价最低为元/千瓦时，可保证电力部门的收益比上一年度至少增加.‎ ‎【解析】‎ 试题分析： 根据题意列新增用电量，再乘以单价利润得收益，列不等式，解一元二次不等式，根据限制条件取交集得电价取值范围，即得最低电价 试题解析：设新电价为元/千瓦时，则新增用电量为千瓦时.依题意，有， ‎ 即，整理，得，‎ 解此不等式，得或，又，‎ 所以，，‎ 因此，，即电价最低为元/千瓦时，可保证电力部门的收益比上一年度至少增加.‎ ‎20.已知命题α：函数的定义域是R；命题β：在R上定义运算⊗：x⊗y=x（1-y）．不等式（x-a）⊗（x+a）＜1对任意实数x都成立．‎ ‎（1）若α、β中有且只有一个真命题，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若α、β中至少有一个真命题，求实数a的取值范围；‎ ‎（3）若α、β中至多有一个真命题，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】(1) （，0）∪[，4）；(2) （，4）；(3) （∞，0）∪[，+∞）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出命题α为真时和命题β为真时a的取值范围，再求：（1）若α为真、β为假时和α为假、β为真时对应a的取值范围，求并集即可；（2）求出α为假且β为假时a的取值范围，再求补集即可；（3）求出α为真且β为真时a的取值范围，再求补集即可．‎ ‎【详解】函数的定义域是R，则ax2ax+1＞0恒成立，‎ a=0时，满足条件；‎ a≠0时，则，解得0＜a＜4；‎ 所以命题α为真命题时，a∈[0，4）；‎ 又在R上定义运算⊗：x⊗y=x（1y），‎ 不等式（xa）⊗（x+a）＜1可化为（xa）（1xa）＜1，‎ 即x2xa2+a+1＞0对任意的x∈R都成立；‎ 令△=14（a2+a+1）＜0，‎ 解得＜a＜，‎ 所以命题β为真时a的取值范围是a∈（，）．‎ ‎（1）若α为真、β为假时，有，即≤a＜4；‎ 若α为假、β为真时，有，即＜a＜0；‎ 综上，实数a的取值范围是（，0）∪[，4）；‎ ‎（2）若α为假且β为假时，有，即a≤或a≥4；‎ 所以α、β中至少有一个真命题时，实数a的取值范围是（，4）；‎ ‎（3）若α为真且β为真时，有，即0≤a＜；‎ 所以α、β中至多有一个真命题时，实数a的取值范围是（∞，0）∪[，+∞）．‎ ‎【点睛】本题利用命题真假的判断，考查了复合命题的真假性判断问题，考查一元二次不等式的解法和二次不等式的恒成立问题，是基础题．‎ ‎21.已知一元二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0，c＞0）的图象与x轴有两个不同的公共点，其中一个公共点的坐标为（c，0），且当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0．‎ ‎（1）当a=1，时，求出不等式f（x）＜0的解；‎ ‎（2）求出不等式f（x）＜0的解（用a，c表示）；‎ ‎（3）若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，求a的取值范围.‎ ‎【答案】(1)．(2)；(3)．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由韦达定理和题中所给条件可解得函数的两个零点，进而可解得不等式f（x）＜0的解；（2）由韦达定理及函数过（c，0），可解不等式；（3）表示出以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积，利用基本不等式求得a的取值范围．‎ ‎【详解】（1）当a=1，时，，f（x）的图象与x轴有两个不同交点，‎ ‎∵，设另一个根为x2，则，∴x2=1，‎ 则 f（x）＜0的解集为．‎ ‎（2）f（x）的图象与x轴有两个交点，‎ ‎∵f（c）=0，‎ 设另一个根为x2，则，‎ 又当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0，则，‎ ‎∴f（x）＜0的解集为；‎ ‎（3）由（2）的f（x）的图象与坐标轴的交点分别为，‎ 这三交点为顶点的三角形的面积为，‎ ‎∴，‎ 当且仅当c=4时，等号成立，‎ 故．‎ ‎【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及一元二次不等式的解法，考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎ ‎