辽宁省大连市2020届高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题 Word版含解析

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www.ks5u.com 辽宁省大连市2020届高三下学期第一次模拟考试 数学（理）试题 第I卷 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.设集合，，则集合为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接判断集合有哪些元素在集合中即可.‎ ‎【详解】因为集合，，‎ 所以集合 故选：B ‎【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于容易题.‎ ‎2.已知复数z满足，则复数的虚部为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 设 ，由 ， ，故选B.‎ ‎3.下列函数中是偶函数，且在是增函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A - 26 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于选项：函数是偶函数且函数为增函数；对于选项：函数是偶函数但当时不是增函数；对于选项：函数是偶函数，但当时为减函数；对于选项：函数是奇函数.‎ ‎【详解】对于选项：因为函数中自变量含有绝对值，所以是偶函数，‎ 当时，函数为增函数，故正确；‎ 对于选项：根据函数的图像可知它是一个偶函数，‎ 但当时有增有减，故错误；‎ 对于选项：函数是开口向下的二次函数是偶函数，‎ 但当时为减函数，故错误；‎ 对于选项：函数是奇函数，故错误；‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了对函数的奇偶性以及在区间的单调性进行判断，属于较易题.‎ ‎4.设为等差数列的前项和，若，则的值为（ ）‎ A. 14 B. 28 C. 36 D. 48‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的前项和公式以及等差数列的性质即可求出.‎ ‎【详解】因为为等差数列的前项和，‎ 所以 故选：D ‎【点睛】本题考查了等差数列的前项和公式的计算以及等差数列性质的应用，属于较易题.‎ - 26 -‎ ‎5.PM2．5是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即PM2．5日均值在以下空气质量为一级，在空气质量为二级，超过为超标，如图是某地1月1日至10日的PM2．5（单位：）的日均值，则下列说法正确的是（ ）‎ A. 10天中PM2．5日均值最低的是1月3日 B. 从1日到6日PM2．5日均值逐渐升高 C. 这10天中恰有5天空气质量不超标 D. 这10天中PM2．5日均值的中位数是43‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据给的图，列出对应的数据，即可得到.‎ ‎【详解】对于选项：10天中PM2．5日均值最低的是1月1日，故选项不正确；‎ 对于选项：前两天的均值到前三天的均值是减少的，故选项不正确；‎ 对于选项：不超过有8天，故选项不正确；‎ 对于选项：因为这十天的数据从小到大排列后为：‎ ‎30，32，34，40，41，45，48，60，78，80，可得到它的中位数为43，故选项正确 故选：D ‎【点睛】本题考查了根据折线图像得到数据，解决一些数据有关问题，属于较易题.‎ ‎6.已知抛物线上点（在第一象限）到焦点距离为5，则点坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C - 26 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据抛物线定义可得到点的横坐标，再代入抛物线方程即可.‎ ‎【详解】设，‎ 因为点到焦点距离为5即,‎ 根据抛物线定义：，‎ 解得：，‎ 代入抛物线方程，‎ 得即 故选：C ‎【点睛】本题考查了利用抛物线定义求抛物线上点的坐标，属于较易题.‎ ‎7.设非零向量，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据可得，由也可得，再根据充分条件和必要条件的定义来判断即可.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 因为，‎ 两边平方可得：‎ 即，‎ 由充分条件和必要条件可判断出是的充分必要条件 - 26 -‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了向量垂直的充要条件数量积为零，向量的运算以及充分条件，必要条件的判断，属于一般题.‎ ‎8.如图是函数的部分图象，则，的值分别为（ ）‎ A. 1， B. 1， C. 2， D. 2，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图像由到是半个周期即，可得到周期，从而可求出的值，再由最高点代入计算即可.‎ ‎【详解】由题意可得，‎ 即，‎ 解得：，‎ 因为函数图象的最高点为，‎ 所以有：，‎ 即，‎ - 26 -‎ 解得：，‎ 因为，‎ 所以 故选：D ‎【点睛】本题考查了利用函数的部分图像求函数的解析式，属于较易题.‎ ‎9.设数列的前项和为．若，，，则值为（ ）‎ A 363 B. 121 C. 80 D. 40‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据与的关系可得，利用构造法可判断出数列是等比数列，从而可求出数列的通项公式，即可求出的值.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以有：，‎ 即得到数列是以公比为3的等比数列，‎ 所以有：，‎ 即，‎ 当时有 故选：B ‎【点睛】本题考查了与的关系求通项公式，利用构造法求通项公式，属于较难题.‎ - 26 -‎ ‎10.已知，，，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. 2 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件，用乘以1，可得，再展开利用基本不等式即可.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以 ‎，‎ 当且仅当即时等号成立 故选：D ‎【点睛】本题考查了利用基本不等式求和的最小值，巧用了“1”的乘积，属于一般题.‎ ‎11.已知，是两条直线，，，是三个平面，则下列命题正确的是（ ）‎ A. 若∥，∥，∥则∥ B. 若，，则∥‎ C. 若，，，则 D. 若∥，∥，则∥‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于选项：当，则或；对于选项：当，则或；对于选项：由线面垂直的判定定理及面面垂直的性质可知若，，，则；对于选项：当，则或.‎ ‎【详解】对于选项：当，则或，故选项不正确；‎ 对于选项：当，则或，故选项不正确；‎ - 26 -‎ 对于选项：根据线面垂直的判定定理及面面垂直的性质可知选项正确；‎ 对于选项：当，则或，故选项不正确；‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了线面之间的平行与垂直关系，考查了学生的逻辑推理能力，属于一般题.‎ ‎12.《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经后天八卦图（含乾､坤､巽､震､坎､离､艮､兑八卦），每一卦由三根线组成(表示一根阳线，表示一根阴线)，从八卦中任取两卦，记事件“两卦的六根线中恰有两根阳线”，“有一卦恰有一根阳线”，则（ ）,‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据已知条件分别求出和，再代入条件概率公式即可.‎ ‎【详解】由八卦图可知，八卦中全为阳线和全为阴线的卦各有一个，‎ 两阴一阳和两阳一阴的卦各有三个，而事件所包含的情况可分为两种，‎ 即第一种是取到的两卦中一个为两阳一阴，另一个为全阴；‎ - 26 -‎ 第二种是两卦中均为一阳两阴；而事件中只包含后者，‎ 即：,‎ 事件概率，‎ 所以 故选：B ‎【点睛】本题考查了条件概率的计算，关键是计算出事件的概率，属于一般题.‎ 第II卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答｡‎ 二．填空题：（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上）‎ ‎13.已知，满足约束条件则最大值为__________．‎ ‎【答案】4；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件画出约束条件的可行域，再平移目标函数直线即可求出目标函数的最大值.‎ ‎【详解】因为，满足约束条件，‎ 所以得到可行域（如图）‎ - 26 -‎ 当目标直线过时目标函数有最大值4‎ 故答案为：4‎ ‎【点睛】本题考查了线性规划，利用数形结合求目标函数的最值，属于较易题.‎ ‎14.若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 双曲线的渐近线方程为，‎ 根据题意知，所以.‎ 双曲线的离心率.‎ 故答案为.‎ 点睛：在双曲线中，‎ ‎（1）离心率为，‎ ‎（2）焦点为，其中；‎ ‎（3）渐近线为：.‎ ‎15.定义在上的函数满足下列两个条件（1）对任意的恒有 - 26 -‎ 成立；（2）当时，．则的值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件把化成，再根据当时，代入即可.‎ ‎【详解】因为对任意的恒有成立，‎ 所以有：，‎ 又因为当时，，‎ 所以，‎ 所以 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了求抽象函数的函数值，属于较易题.‎ ‎16.如图，在正方体中，点为线段的中点，设点在线段上二面角的平面角为，用图中字母表示角为__________，的最小值是__________．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 26 -‎ 根据题意：连结和，因为则，因为则即可得为二面角的平面角，利用直线与平面的位置关系，从而判断的最小值.‎ ‎【详解】连结和，如图 因为则，‎ 因为则，‎ 即可得为二面角的平面角，‎ 设正方体的边长为2，‎ 当点与重合时，则，‎ 由余弦定理可得：，‎ 则为锐角且，‎ 当点与重合时，则，‎ 由余弦定理可得：‎ 则为钝角且，‎ 由此可判断当点从运动到时，从锐角到钝角，‎ - 26 -‎ 则先增大后减小，‎ 所以的最小值为 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了二面角的平面角定义以及求二面角的三角函数值，考查了学生的推理和计算能力，属于较难题.‎ 三．解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.设函数．‎ ‎（Ⅰ）求的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）在中，角，，，的对边分别为，，，若，，，求．‎ ‎【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）1或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(I)利用正弦，余弦的二倍角公式对函数进行化简得到：，再利用整体代入法即可求出函数的单调递增区间；‎ ‎(II)由(I)得到的可计算出中角的值，结合条件中的值，利用余弦定理即可求出.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）由题意可知 ‎，‎ 由，‎ - 26 -‎ 所以的单调递增区间是．‎ ‎（Ⅱ）由，可得，‎ 由题意知故,或 ‎ 由余弦定理，或 ‎【点睛】本题考查了利用二倍角公式对三角函数进行化简，利用余弦定理求三角形边长的大小，属于较易题.‎ ‎18.某中学调查防疫期间学生居家每天锻炼时间情况，从高一、高二年级学生中分别随机抽取100人，由调查结果得到如下的频率分布直方图：‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）写出频率分布直方图（高一）中的值；记高一、高二学生100人锻炼时间的样本的方差分别为，，试比较，的大小（只要求写出结论）；‎ ‎（Ⅱ）估计在高一、高二学生中各随机抽取1人，恰有一人的锻炼时间大于20分钟的概率；‎ ‎（Ⅲ）由频率分布直方图可以认为，高二学生锻炼时间服从正态分布．其中近似为样本平均数，近似为样本方差，且每名学生锻炼时间相互独立，设表示从高二学生中随机抽取10人，其锻炼时间位于的人数，求的数学期望．‎ 注：①同一组数据用该区间的中点值作代表,计算得 - 26 -‎ ‎②若，则，‎ ‎【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）0.42（Ⅲ）6.826‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(I)根据图中的数据即可判断方差的大小，利用频率总和为1即可求出的值；‎ ‎(II)先设设事件：在高一学生中随机抽取1人，其锻炼时间不大于20分钟，事件：在高二学生中随机抽取1人，其锻炼时间不大于20分钟，根据图形数据可得到它们的概率，而恰有一人的锻炼时间大于20分钟分两种情况：一种是这个人在高一；另一种是这个人在高二；再不出它们的概率和即可；‎ ‎(III)利用所给的数据分别求出样本平均数和样本方差，代入公式即可求出概率和数学期望.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ），；‎ ‎（Ⅱ）设事件：在高一学生中随机抽取1人，其锻炼时间不大于20分钟，‎ 事件：在高二学生中随机抽取1人，其锻炼时间不大于20分钟，‎ 事件：在高一、高二学生中随机抽取1人，恰有一个学生锻炼时间大于20分钟，且另一个不大于20分钟，‎ 则，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎（Ⅲ），由条件得，‎ 从而，‎ 从高二中随机抽取10人，其锻炼时间值位于的概率是0．6826，‎ 根据题意得，．‎ ‎【点睛】本题考查了概率的计算及正态分布期望值的计算，考查了学生对数据的处理能力和计算能力，属于一般题.‎ - 26 -‎ ‎19.如图，三棱柱中，侧面为菱形，在侧面上的投影恰为的中点，为的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：∥平面；‎ ‎（Ⅱ）若，在线段上是否存在点（不与，重合）使得直线与平面成角的正弦值为若存在，求出的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）存在，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(I)根据已知条件先连接，，因为，分别为，中点，所以根据中位线的性质即可得到,再利用线面平行的判定定理即可.‎ ‎(II) 因为平面，为菱形，如图建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，并设，求出平面的法向量，结合已知条件即可求出的值.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）证明：连接，，‎ 因为，分别为，中点，所以,‎ 因为平面，平面，‎ 所以平面．‎ - 26 -‎ ‎（Ⅱ）因为平面，为菱形，如图建立空间直角坐标系，‎ 设，因为，，‎ 所以，所以，‎ 所以，，，，，‎ 所以，‎ 设，‎ 所以，‎ 所以,‎ 设平面的法向量，‎ 因为，，‎ 所以，‎ 所以的一组解为，‎ 因为直线与平面成角的正弦值为，‎ 所以，‎ 解得，（舍），‎ - 26 -‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题考查了线面平行的证明方法，考查了利用空间向量方法求线面角的正弦值，属于一般题.‎ ‎20.已知过点的曲线的方程为．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的标准方程:‎ ‎（Ⅱ）已知点，为直线上任意一点，过作的垂线交曲线于点，．‎ ‎（ⅰ）证明：平分线段（其中为坐标原点）；‎ ‎（ⅱ）求最大值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（ⅰ）见解析（ⅱ）1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(I)由题意把点代入方程可得的值，利用椭圆的定义可求出曲线的标准方程；‎ ‎(II)(i)先设，，的中点，和直线的方程为和直线的方程为，联解椭圆方程可得到的坐标，证明即三点共线，即证明出平分线段；‎ ‎(ii)利用两点间距离公式和椭圆弦长公式分别求出，利用基本不等式求最值.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）将代入曲线的方程，‎ - 26 -‎ 即，‎ 解得；‎ 由椭圆定义可知曲线的轨迹为以，为焦点的椭圆，‎ 即，，‎ 所以的标准方程为．‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）设，，的中点 设的方程为，‎ 则方程为，‎ 所以．‎ 将直线与椭圆的方程联立，‎ 得．‎ 则，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 平分线段．‎ ‎（ⅱ），‎ ‎，令，即，‎ - 26 -‎ 令，‎ 则，‎ 在上为增函数，‎ 即，‎ ‎（当且仅当“”时取等号）‎ 的最大值为1．‎ ‎【点睛】本题考查了证明三点共线弦长的计算，利用导数求最值，考查了学生的计算能力，属于较难题.‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求零点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若有两个零点，求证：．‎ ‎【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(I)先把代入得到，根据零点存在性原理判断函数的零点坐标原点和，代入求出切线斜率即可求出切线方程；‎ ‎(II)先构造一个函数，利用这个函数可得到，从而有，再构造，得到，有，再根据 - 26 -‎ 即可证明.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）由题意得：，，定义域为，‎ ‎，‎ ‎，在上为减函数．‎ ‎，‎ 由零点存在定理可知，在上必存在一点使 当时，，即在上为增函数，‎ 当时，，即在上为减函数，‎ 极大值，‎ 故至多有两个零点，又，，‎ 故，是的两个零点，由，，‎ 易得出两切线方程为：或 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）易知，‎ 设，‎ ‎，，‎ 在上为增函数，‎ 当时，，即在上为减函数，‎ 当时，，即在上为增函数，‎ ‎，即，‎ 设与的交点横坐标为，‎ ‎，‎ 为增函数，，‎ - 26 -‎ 同理设，‎ ‎，，‎ 在上为增函数，，‎ 当时，，即在上为增函数，‎ 当时，，即在上为减函数，‎ ‎，即，‎ 设与的交点横坐标为，‎ ‎，‎ 为减函数，，‎ 故：，‎ 得证．‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，利用构造函数以及函数的单调性来证明不等式，属于困难题.‎ 请考生在22，23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．‎ ‎（1）求C和l的直角坐标方程；‎ ‎（2）求C上的点到l距离的最小值．‎ - 26 -‎ ‎【答案】（1）；；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用代入消元法，可求得的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得的直角坐标方程；（2）利用参数方程表示出上点的坐标，根据点到直线距离公式可将所求距离表示为三角函数的形式，从而根据三角函数的范围可求得最值.‎ ‎【详解】（1）由得：，又 整理可得的直角坐标方程为：‎ 又，‎ 的直角坐标方程为：‎ ‎（2）设上点的坐标为：‎ 则上的点到直线的距离 当时，取最小值 则 ‎【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题.‎ 选修4—5：不等式选讲 ‎23.已知函数，，．‎ - 26 -‎ ‎（Ⅰ）当时，有，求实数的取值范围．‎ ‎（Ⅱ）若不等式的解集为，正数，满足，求的最小值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(I)根据不等式恒成立的等价不等式，可转化为求含两个绝对值的最值，利用绝对值的三角不等式求最值即可；‎ ‎(II)由不等式的解集为可求出的值，代入并用表示，再把代入利用基本不等式求出最小值.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）由题意得：在上恒成立，‎ 在上恒成立．‎ ‎，‎ 又，‎ 当且仅当，即时等号成立．‎ ‎，即．‎ ‎（Ⅱ）令，，‎ 若时，解集为，不合题意；‎ 若时，，，又，‎ ‎，综上所述：，‎ ‎，‎ ‎，解得，，‎ ‎，当且仅当，即时等号成立，‎ - 26 -‎ 此时．当，时，．‎ ‎【点睛】本题考查了绝对值的三角不等式，以及利用基本不等式求最值，属于一般题.‎ - 26 -‎ - 26 -‎