2020-2021学年高二数学上册同步练习：空间向量及其运算的坐标表示

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2020-2021 学年高二数学上册同步练习：空间向量及其运算的坐标表示 一、单选题 1．已知向量 (1, 2 , 1)a  ， ( 1 ,2 , 1 )ab    ，则向量b  （ ） A．(2, 4,2) B．( 2,4, 2) C．( 2,0, 2) D．(2,1, 3) 【答案】A 【解析】由已知可得      1,2,11,2,12,4,2b  . 故选 A. 2．已知空间向量  1,2 ,3a  ，  3 , 2 , xb  ，若 ab ，则 x 的值为（ ） A． 4 3 B． 7 3 C． 10 3 D． 11 3 【答案】B 【解析】因为向量 ， ， 又因为 ， 所以 3430 abx . 解得 = . 故选 B 3．若  2,3,1a ，  2,0,3b  ，  0,2,2c  ，则  abc 的值为（ ） A． 4, 6, 5 B．5 C．7 D．36 【答案】B 【解析】      2, 0, 30, 2, 22, 2, 5bc  ，   2223(1)55abc  . 故选 B. 4．在空间直角坐标系O xyz 中，已知  0,0,3A ，  0,4,3B ，  3,4,3C ，则 ABC 是（ ） A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．锐角三形 D．直角三形 【答案】D 【解析】在空间直角坐标系Oxyz 中，已知 (0A ，0，3) ， (0B ，4， ， (3C ，4， ，  (0AB  ，4， 0) ， (3AC  ，4， ， (3BC  ，0， ， 且 0340000ABBC ，  A B B C ， ABC∴ 为直角三角形； 故选 D ． 5．已知空间向量  1,0 ,1a  ，  1,1,bn ， 3ab则向量 a 与 b （ 0  ）的夹角为（ ） A． 6  B． 或 5 6  C． 3  D． 或 2 3  【答案】B 【解析】 ,13ababcosabn 解得 2n  ， 222,? 3ncosab 代入得 3 2cos a b  ，又向量夹角范围：  0,  故 ,ab的夹角为 6  ，则 与 的夹角， 当 0  时为 ； 0  时为 5 6  . 故选 B. 6．已知  1,1,0AB  ，  0,1,2C  ，若 2CDAB ，则点 的坐标为（ ） A．  2,3,2 B．  2,3,2 C．  2,1,2 D．  2,1,2 【答案】D 【解析】设点 为  ,,x y z ，又  0,1,2C  ∴  , 1, 2CD x y z   ， ∵  1,1,0AB  ， 2CD AB ∴   ,1,22, 2,0x yz 即 2 1 2 x y z      , D 点坐标  2,1,2 故选 D 7．已知向量  2 ,3 ,4a  ，  1 , ,2bm ，若 //ab，则 m  （ ） A． 3 2 B． 3 2 C． 10 3 D． 10 3 【答案】B 【解析】根据 //ab，有 ab ，即    2,3,41,,2 m， 2 3 42 m         ，解得 2 3 2m    . 故选 B 8．已知向量 (1,1,),(1,,1)attbtt ,则 ab 的最小值为（ ） A． 2 B． 3 C．2 D．4 【答案】C 【解析】由向量 , 所以 (2,1,1)abtt ， 则 242(1)2abt ，当且仅当 1t  时取等号， 即 ab 的最小值为 2， 故选 C. 9．若向量    1,,2,2,1,2,axb 且 ,ab 夹角的余弦值 8 ,9 x为 则 等于（ ） A．2 B．-2 C．-2 或 2 55 D．2 或 2 55 【答案】C 【解析】cos, abab ab   2 6-8 ,935 x x   解得 x=-2 或 x 2 .55 故选 C. 10．在空间直角坐标系中,正方体 1 1 1 1ABCD A BC D 棱长为 2, E 为正方体的棱 1AA 的中点, F 为棱 AB 上的 一点,且 1 90C EF则点 的坐标为（ ） A． 12 , ,04   B． 12 , ,03   C． 12 , ,02   D． 22 , ,03   【答案】C 【解析】由正方体的性质可得    12,0,1,0,2,2EC ，设  2, ,0Fy，则    1 2,2,1,0,,1ECEFy  ， 因为 1 90C E F， 1 210ECEFy ，解得 1 2y  ，则点 F 的坐标为 12 , ,02   ， 故选 C. 11．如图，在边长为 2 的正方体 1111ABCDA BC D 中， E 为 BC 的中点，点 P 在底面 A B C D 上移动，且 满足 11BPDE ，则线段 1BP的长度的最大值为（ ） A． 45 5 B． C． 22 D． 3 【答案】D 【解析】如下图所示， 以点 D 为坐标原点， DA 、 DC 、 1DD 所在直线分别为 x 、 y 、 z 轴建立空间直角坐标系 D x y z ， 则点  1 2 ,2 ,2B 、  1 0 ,0 ,2D 、  1,2 ,0E ，设点    ,,002,02Pxyxy  ，  1 1 ,2 , 2DE ，  1 2,2,2BPxy ， 11D E B P ，  11 2224220B PD Exyxy ，得 22xy ， 由 02 02 x y    ，得 0 2 2 2 02 y y      ，得 01y，    22 2 1 224548B Pxyyy ， 01y，当 1y  时， 1BP 取得最大值 3 . 故选 D. 12．设向量  ,,0uab ，  ,,1cd  ，其中 2222 1abcd ，则下列判断错误的是（ ） A．向量 与 轴正方向的夹角为定值（与 c 、 d 之值无关） B． u  的最大值为 2 C． u 与 夹角的最大值为 3 4  D． ad bc 的最大值为 l 【答案】B 【解析】由向量 ( , ,0)u a b ， (,,1)vcd ，其中 ，知： 在 A 中，设 z 轴正方向的方向向量 (0,0, ), 0z t t， 向量 v 与 z 轴正方向的夹角的余弦值： 22 2cos,45 2|||| 1 zvt a zv tcd     ， ∴向量 v 与 z 轴正方向的夹角为定值 45°（与 c，d 之值无关），故 A 正确； 在 B 中， 22222222 1222 acbdabcduvacbd  ， 且仅当 a＝c，b＝d 时取等号，因此uv 的最大值为 1，故 B 错误； 在 C 中，由 B 可得：| | 1, 1 1u v u v      ， 2 2 2 2 12cos , | | | | 2121 u v ac bduv uv a b c d             ， ∴ u r 与 的夹角的最大值为 3 4  ，故 C 正确； 在 D 中， 22222222 1222 adbcabcdadbc  ， ∴ad−bc 的最大值为 1．故 D 正确． 故选 B． 二、填空题 13．已知在空间直角坐标系 O x y z 中，点  3,5,2A ，  2,7,0B  ，则 AB  ______. 【答案】3 【解析】  3,5,2A ，  1,2,2AB 2221 2 2 3AB     故填3 14．已知向量  1,4,3a  ，  2, ,6bt ，若 //ab，则实数t 的值为_______． 【答案】-8 【解析】向量  1,4,3a  ，  2, , 6bt   ， //ab， 所以存在  使 ba ，    2,,61,4,3t  ， 即 2 4 63 t         ，解得： 2 8t     . 故填 8 15．已知向量 (1,1,0),(1,0,2)ab ，若 k a b 与 b 互相垂直，则实数 k 的值是_______. 【答案】 5 【解析】因为 ，所以  1,,2kabkk ， 又 与 互相垂直， 所以  0ka b b ，即 ( 1 ) 4 0k    ，解得： 5k  . 故填 . 16．已知  3,2,3a  ，  1,1,1bx ，且 a 与 b 的夹角为钝角，则 x 的取值范围是__________. 【答案】 552,,33  【解析】由题意可知 0ab 且 a 与 b 不共线， 则    3 1 2 1 3 1 2 4 0a b x x             ，解得 2x  . 若 与 共线，则 111 323 x ，得 5 3x  ， a r Q 与 不共线，则 5 3x  ， 因此，实数 取值范围是 . 故填 . 17．已知空间向量 (1,0,0)a  ， 13(,,0)22b  ，若空间向量 c 满足 2ca， 5 2cb ，且对任意 ,x y R ，    0 0 0 01( , )c xa yb c x a y b x y R       ，则 c  __________. 【答案】 22 【解析】 空间向量 (1,0 ,0 )a  ， 13( , ,0)22b  ， 设空间向量  ,,c m n z ， 2ca， 5 2cb ， 2m， 1 3 5 2 2 2mn ， 3n  ，  空间向量  2 , 3,cz ， 又由对任意 x ， yR ，    001cxaybcxayb ， 则 | | 1z  ， 故   22223122c  ， 故填 22 18．如图，棱长为 2 的正方体 1111ABCDA BC D 中， M 是棱 1AA 的中点，点 P 在侧面 11A B B A 内，若 1DP 垂直于 CM ，则 PBC 的面积的最小值为__________. 【答案】 25 5 【解析】以 D 点为空间直角坐标系的原点，以 DC 所在直线为 y 轴，以 DA 所在直线为 x 轴，以 1DD 为 z 轴，建立空间直角坐标系.则点 1(2,, ),(0,0,2)Py zD ， 所以 1 (2,,2)D Py z. 因为 (0,2,0), (2,0,1)CM，所以 (2, 2,1)CM  , 因为 1D P CM ,所以 4 2 2 0yz    ，所以 22zy， 因为 B(2，2，0)，所以 (0 , 2 , )B P y z， 所以 22222(2)(2)(22)5128BPyzyyyy 因为 02y，所以当 6 5y  时， min 2 55BP  . 因为 BC⊥BP,所以 min 12525()2 255PBCS  . 故填 25 5 . 三、解答题 19．已知向量  1,2, 2a ，  4, 2,4b  ，  3, ,c m n . （1）求 ab （2）若 //ac，求 m，n. （3）求 cos, ab 【解析】（1）∵ ， ∴       1,2, 24, 2,414,22 , 24ab    3,4,6 （2）∵ ，  2,,4cx，若 ac∥ ，则 3 122 mn ， 解之得 6m  ， 6n  （3）∵ ， ∴    1422248ab    2221223a   ，  2224246b   84cos , 3 6 9 abab ab     20．已知向量 (2,1,2)a ， (1,1,2)b  ， ( ,2,2)xc . （1）当| | 2 2c  时，若向量 ka b 与 c 垂直，求实数 x 和 k 的值； （2）若向量 c 与向量 a ， b 共面，求实数 x 的值. 【解析】（1）因为| | 2 2c  ,所以 22222220xx . 且 ka b  ( 2 1,1 ,2 2)k k k    . 因为向量 ka b 与 垂直, 所以 ( ) 0ka b c   . 即 2 6 0k . 所以实数 和 k 的值分别为 0 和 3 . （2）因为向量 与向量 ， 共面,所以设 c a b  r r r （ , R ）. 因为( ,2,2) ( 2, 1,2) ( 1,1,2)x      , 2, 2, 222, x         所以 1 ,2 1 ,2 3 .2 x          所以实数 的值为 1 2 . 21．如图,直三棱柱 111ABCA BC ,底面 ABC 中, 1CACB, 90BCA ,棱 1 2AA  , M 、 N 分别是 11AB 、 1AA的中点. （1）求 BM 的长; （2）求 11cos,BACB 的值; （3）求证: 11A B C N . 【解析】（1）以 C 为原点,建立空间直角坐标系 C x y z .如图: 依题意得  0 ,1,0B ，  1,0 ,1M ， 根据空间两点间距离公式:      222 121212dxxyyzz        2221001103BM  . （2）依题意得:  1 1,0 , 2A , ,  0 ,0 ,0C ,  1 0 ,1, 2B .  1 1,1,2BA  ,  1 0,1,2CB  uuur , 113BACB uuuruuur , 1 6BA  uuur , 1 5CB  uuur ， 11 11 11 30cos , 10 BA CBBA CB BA CB   . （3）依题意得  1 0,0,2C , 11,,222N    1 1,1,2AB uuur , 1 11,,022CN   . 11 110022A BC N  11ABCN 22．已知空间中三点  2,0,2A  ，  1,1,2B  ，  3,0,4C  ，设 aAB ，bAC . （1）若 3c  ，且 //c BC ，求向量 c ； （2）已知向量 kab 与 b 互相垂直，求 k 的值； （3）求 ABC 的面积. 【解析】（1） 空间中三点 ， ， ，设 ， ， 所以      1,1,22,0,21,1,0aAB   ，      3,0,42,0,21,0,2bAC ，  (3,0,4)(1,1,2)(2,1,2)BC  ， 3c  ，且 //c B C ，设 c mB C    2,1,22,,2cmBCmmmm ， 2 2 2( 2 ) ( ) (2 ) 3 3c m m m m        ， 1m   ，  2 ,1, 2c  r 或  2 , 1 ,2c    ． （2）      1,0, 2 1 , , 21, 1,0ka b k kk      ，  1,0, 2b  且向量 ka b 与 b 互相垂直，   140kabb k   ，解得 5k  ． k 的值是 5 ． （3）因为  1,1,0AB  ，  1,0,2AC ，  2,1,2BC  1AB AC   ，    22112AB  ，  22125AC  11cos, || || 2510 AB ACAB AC ABAC   ， 13sin , 1 10 10 AB AC     ， 1 sin ,2ABCS AB AC AB AC       13252 10     3 2 ．