广东省东莞市南城中学2013届高三第四次月考数学理

广东省东莞市南城中学2013届高三第四次月考数学理

命题人： 审核人： 审定人： ‎ 南城中学2013届高三第四次月考试卷 数学（理科）‎ ‎2012.12‎ 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟．‎ 注意：考生必须保持答题卷的整洁．考试结束后，只交回答题卡．‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．复数（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．设集合，集合, 则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．下列命题中，假命题为（ ）‎ A．存在四边相等的四边形不是正方形 B．若R，且则至少有一个大于1‎ C．对于任意都是偶数 D．的充分必要条件是 ‎4．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是（ ）‎ 开始 S=4‎ i=1‎ i=i+1‎ 结束 是 否 输出S A． B． C． D．4‎ ‎5．图甲 ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ 环数 环数 频数 频数 ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ 图乙 甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（ ）‎ ‎ ‎ A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 高三数学（理科）试卷 第1页 共4页 ‎6．函数在区间内的图象是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7．定义在上的函数满足.当时，，当时，．则（ ）‎ A．335 B．‎338 C．1678 D．2012‎ ‎8．5位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知5位同学之间共进行了8次交换，则收到3份纪念品的同学人数为（ ）‎ A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题.）‎ A B C M ‎（一）必做题：第9~13题为必做题。‎ ‎9．函数的定义域为 ‎ ‎10．在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则=________‎ ‎11．在的二项展开式中，常数项等于 ___‎ ‎12．已知正三棱锥ABC，点P，A，B，C都在半径为的求面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为________‎ ‎13．小明家的晚报在下午5：30～6：30之间的任何一个时间随机地被送到，小明一家在下午6：00～7：00之间的任何一个时间随机地开始晚餐.那么晚报在晚餐开始之前被送到的概率是 ‎ ‎（二）选做题（14—15题，考生只能从中选做一题）‎ ‎14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标中，圆经过点， ‎ 圆心为，则圆的极坐标方程为 ‎ ‎15．（几何证明选讲选做题）如图，过点P的直线与圆O相交于A，‎ 高三数学（理科）试卷 第2页 共4页 B两点.若PA=1，AB=2，PO=3，则圆O的半径等于_______．‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎16．（本小题满分12分）‎ 函数（）的最大值为3，其图像相邻两个最高点 之间的距离为，‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）设，则，求的值．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目 的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有 ‎55名。下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目 时间的频率分布直方图；将日均收看该体育节目时间不低于 ‎40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女 性。‎ ‎（1）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？‎ 非体育迷 体育迷 合计 男 女 合计 ‎（2）将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率.‎ 参考公式和数据:‎ ‎① 随机变量,其中为样本容量；‎ ‎② 独立检验随机变量的临界值参考表：‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ 高三数学（理科）试卷 第3页 共4页 ‎18．（本小题满分14分）‎ 设其中，曲线在点处的切线垂直于轴．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求函数的极值．‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 在如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形，平面，．‎ ‎（1）求证平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ 设数列的前项和为，已知(n∈N*)．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，数列的前项和为．‎ 求证：当n∈N*且n≥2时，.‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ 若函数定义域为，满足对任意，有，则称为“形函数”；若函数定义域为，恒大于0，且对任意，有，则称为“对数形函数”．‎ ‎（1）当时，判断是否为形函数，并说明理由；‎ ‎（2）当时，证明：是对数形函数；‎ 高三数学（理科）试卷 第4页 共4页 ‎（3）若是形函数，且满足对任意，有，问是否为对数形函数？证明你的结论．‎ 南城中学2013届高三第四次月考理科数学参考答案 一、BADC；CDBA 二、9、；10、；11、；12、；13、；14、；15、‎ ‎16、（1）由题意，得，∴，………………2分 ‎∵函数图像的相邻两个最高点之间的距离为， ‎ ‎∴最小正周期，∴。………………4分 故函数的解析式为。…………5分 ‎（2）∵，即，………………6分 ‎∵，∴，…………7分 ‎∴，，………………10分 故…………12分 ‎（或）∵，∴，∴，……9分 故…………12分 ‎17解（1）‎ 非体育迷 体育迷 合计 男 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ ‎ 女 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 合计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ 将列联表中的数据代入公式计算，得 ……3分 因为，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关. ……6分 ‎ ‎（2）由频率分布直方图知，“超级体育迷”有5人，表示男性，=1,2,3，表示女性，=1,2，从而一切可能的结果所组成的基本事件有：，，，，，，，，，等10个基本事件组成，………………10分 其中“从“超级体育迷”中任意选取2人，至少有1名女性观众”组成的基本事件有：，，，，，，等7个随即事件，………………11分 所以从“超级体育迷”中任意选取2人，至少有1名女性观众的概率为.…………12分 ‎18：解：（1）因，故…………3分 ‎∵曲线在点处的切线垂直于轴，∴该切线斜率为0，即，……5分 从而，解得………………6分 ‎（2）由（1）知（），‎ ‎ ………………7分 令，解得，或（舍去），……9分 当时，，故在上为减函数；………………11分 当时，，故在上为增函数；……………13分 故在处取得极小值。……………………14分 ‎19、（1）因为四边形为等腰梯形，，，‎ ‎∴．又，∴‎ ‎∴，，…………3分 又，且，，平面，………………5分 ‎∴平面．………………6分 ‎（2）由（1）知，所以，又平面，‎ 因此 ，，两两垂直．以为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，不妨设，则，‎ ‎，，，‎ ‎∴，．……………………9分 设平面的一个法向量为，则，‎ ‎∴，取，则………………………………11分 又平面的法向量可以取为，………………12分 ‎∴，……………………13分 ‎∵二面角为锐二面角，∴二面角的余弦值为…………14分 ‎（传统方法）取的中点，连结，由于，所以．‎ 又平面，平面，所以．由于，平面，所以平面，故．‎ 所以为二面角的平面角．………………………………11分 在等腰三角形中，由于，‎ 因此，又，所以，故,‎ 因此 二面角的余弦值为．……………………14分 ‎20、解（1）由，得（）‎ 两式相减，得，即（） ‎ 于是，所以数列是公差为1的等差数列. …………5分 又，所以. ‎ 所以，故. ……………6分 ‎（2）因为，则当n≥2时，‎ ‎. ……………9分 下面证 令，则，‎ ‎∴在时单调递增，，即当时，‎ 令，，可得 ‎，，……，‎ 以上个式相加，即有 ‎∴ ……………14分 ‎21解：（1）…………1分 ‎∴不满足对任意，有…………2分 ‎∴当时，不是“ 形函数”………………3分 ‎(2) 的定义域为，且>0…………4分 ‎－=……6分 ‎∴……8分 ‎∴对任意，有 ‎∴是对数形函数…………9分 ‎（3）为对数形函数 证明：‎ ‎…………11分 ‎，∴，‎ 即，从而 ‎∴，∴‎ ‎∴为对数形函数……………………14分