【精品试题】2021年高考数学一轮复习创优测评卷（新高考专用）测试卷15 导数（解析版）

【精品试题】2021年高考数学一轮复习创优测评卷（新高考专用）测试卷15 导数（解析版）

2021 年高考数学一轮复习导数创优测评卷(新高考专用) 一、单选题（共 60 分，每题 5 分） 1． 3 2  x xy 的导数是( ) A．  2 2 3 6   x xx B． 3 62   x xx C．  2 2 3x x D． 2 2 )3( 6   x xx 【答案】D 【解析】               2 2 2 2 2 2 2 ' 3 3 ' 2 3 6' 3 3 3 x x x x x x x x xy x x x            .故 D 正确. 2．给出下列五个导数式：① 4 34x x   ；② cos sinx x  ；③ 2 2 ln 2x x  ；④  1ln x x    ； ⑤ 2 1 1 x x      . 其中正确的导数式共有（ ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】A 【解析】 ①正确；②改为 cos sinx x   ；③正确；④改为  1ln x x   ；⑤改为 2 1 1 x x       故正确的 有 2 个，故选 A. 3．设 ( )f x 在 2x  处有导数，则 0 (2 ) (2 )lim 2x f x f x x        ( ) A． 2 (2)f  B． 1 (2)2 f  C．  2f  D． 4 (2)f  【答案】C 【解析】根据导数的定义可知，           0 0 2 22 22 lim limx x f x ff x ff x x               ， 所以 0 (2 ) (2 )lim 2x f x f x x                0 2 2 2 21 lim2 x f x f f f x x                  0 0 2 2 2 21 lim lim2 x x f x f f f x x x                     0 2 21 2 lim2 x f x ff x            1 2 22 f f      2f  . 故选：C 4．函数  f x 的导数为  'f x ，对任意的正数 x 都有    2 'f x xf x 成立，则（ ） A．    9 2 4 3f f B．    9 2 4 3f f C．    9 2 4 3f f D．  9 2f 与  4 3f 的大小不确定 【答案】A 【解析】由    2 'f x xf x ，得    ' 2 0xf x f x  ， 设 2 ( )( ) f xg x x  ，则    2 4 3 ( ) 2 ( ) 2( ) x f x xf x xf x f xg x x x      ， 因为 x 是正数，所以 3 0x  ， 又    ' 2 0xf x f x  ，所以 ( ) 0g x  ， 所以 ( )g x 在( )0,+¥ 上单调递减， 所以 (2) (3)g g ，即 2 2 (2) (3) 2 3 f f ， 即9 (2) 4 (3)f f . 故选：A 5．已知函数   lnf x x ，  f x 是  f x 的导数，  f x 的大致图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数   lnf x x 的定义域为 (0, ) ，所以 1( )f x x   的定义域也为 (0, ) ，所以其图象为所 比例函数在第一象限的部分，故应选 C. 6．已知函数 2 2 ( 1) sin( ) 1 x xf x x    ，其中  f x 为函数 ( )f x 的导数，则 (2018) ( 2018) (2019) ( 2019)f f f f       （ ） A．2 B．2019 C．2018 D．0 【答案】A 【解析】 2 2 2 2 2 ( 1) sin 2 1 sin 2 sin( ) 11 1 1 x x x x x x xf x x x x            令   2 2 sin 1 x xg x x   ，则有  ( ) ( ) 1, ( )f x g x f x g x    因为  g x 的定义域是 R，    2 2 sin 1 x xg x g xx      所以  g x 是奇函数，所以  g x 是偶函数 所以 (2018) ( 2018) 0g g   ，    2019 2019 0g g    所以 (2018) ( 2018) (2019) ( 2019)f f f f             2018 1 2018 2019 2019 21g g g g          故选：A 7．若函数 f(x)于 x0 处存在导数，则    0 0 0 limh f x h f x h   ( ) A．与 x0，h 都有关 B．仅与 x0 有关而与 h 无关 C．仅与 h 有关，而与 x0 无关 D．与 x0，h 均无关 【答案】B 【解析】依据导数的定义，函数 f(x)在 x0 处可导，其导数仅与 x0 有关，故选 B． 答案：B 8．函数 在 处的导数 的几何意义是（ ） A．在 处的函数值 B．在点 处的切线与 x 轴所夹锐角的正切值 C．曲线 在点 处的切线斜率 D．点 与点（0,0）连线的斜率 【答案】C 【解析】 由导数的几何意义可知，函数 在 的导数 为曲线在点 处的切线的斜率． 9．设 分别是函数 的导数，且满足 ， . 若 ABC 中， C 是钝角，则 A． (sin ). (sin ) (sin ). (sin )f A g B f B g A B． (sin ). (sin ) (sin ). (sin )f A g B f B g A C． (cos ). (sin ) (sin ). (cos )f A g B f B g A D． (cos ). (sin ) (sin ). (cos )f A g B f B g A 【答案】C 【解析】 因为               ' 2[ ] 0f x f x g x f x g x g x g x        在 0x  时成立，所以     f x g x 在 0, 为增函数， 又因为 C 为钝角，所以 π π0 ,2 2A B B A     ，则 cos sin 0A B  ，所以         cos sin cos sin f A f B g A g B  ，所 以        cos . sin sin . cosf A g B f B g A .故选 C. 10．已知函数   2bf x x ax  的导数   2 3f x x   ，则数列    *1 2 nf n        N 的前 n 项和是（ ） A． 1 n n  B．   1 2 1 n n   C．  2 2 n n  D．   1 2 n n n  【答案】C 【解析】   2bf x x ax  ，   2 12 2 3bf x bx a x     ，则 2 2 3 b a    ，得 3 1 a b    ，   2 3f x x x   ，     2 1 1 1 1 1 2 3 2 1 2 1 2f n n n n n n n            ， 因此，数列    *1 2 nf n        N 的前 n 项和 1 1 1 1 1 1 2 3 3 4 1 2nS n n           1 1 2 2 2 2 n n n     . 故选：C. 11．如图， 0 0( , ( ))P x f x 是函数 ( )y f x 图像上一点，曲线 ( )y f x 在点 P 处的切线交 x 轴于点 A ， PB x 轴，垂足为 B ，若 PAB 的面积为 1 2 ， 0'( )f x 为函数 ( )f x 在 ox x 处的导数值，则 0'( )f x 与 0( )f x 满足关系式（ ） A． 0 0f x f x'( ) ( ) B． 2 0 0f x f x   '( ) ( ) C． 0 0f x f x '( ) ( ) D． 2 0 0f x f x   '( ) ( ) 【答案】B 【解析】切线方程是   000 xxxfyy  ，令 0y ，得  0 0 0 xf yxxA  ，  0 0 0 xf yxxAB A  ， 那么   2 1 2 1 2 1 0 2 0 0  xf yyABS ，得到     2 0 2 00 xfyxf  ，故选 B． 12．对于三次函数    3 2 0f x ax bx cx d a     ，给出定义：设  'f x 是函数  y f x 的导数，  f x 是  'f x 的导数，若方程   0f x  有实数解 0x ，则称点   0 0,x f x 为函数  y f x 的“拐点”.经过探 究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设 函数   3 21 1 533 2 12g x x x x    ，则 1 2 2018 (2019 2019 2019g g g                  ) A．2016 B．2017 C．2018 D．2019 【答案】C 【解析】函数   3 21 1 533 2 12g x x x x    ， 函数的导数   2' 3g x x x   ，  ' 2 1g x x  ， 由  0' 0g x  得 02 1 0x   ， 解得 0 1 2x  ，而 1 12g      ， 故函数  g x 关于点 1 ,12      对称，    1 2g x g x    ， 故设 1 2 2018...2019 2019 2019g g g m                   ， 则 2018 2017 1...2019 2019 2019g g g m                   ， 两式相加得 2 2018 2m  ，则 2018m  ，故选 C. 二、填空题（共 20 分，每题 5 分） 13．已知函数   xf x xe ，  1 'f x 是函数  f x 的导数，若  1nf x 表示  'nf x 的导数，则  2017f x  __________． 【答案】  2017 xx e 【解析】 依题意    1 1x x xf x e xe x e     ，        2 1 1 2x x x xf x x e e x e x e          ，        3 2 2 3x x x xf x x e e x e x e          ，以此规律，可推出    2017 2017 xf x x e  ，故 答案为 2017 xx e . 14．设  1 cosf x x ，定义  1nf x 为  nf x 的导数，即    ' 1n nf x f x  ，n +N ，若 ABC 的内角 A 满 足      1 2 2014 0f A f A f A   ，则sin A  ______. 【答案】 2 2 【解析】 1( ) cosf x x ， 1( ) ( )n nf x f x   ， 2 1( ) ( ) sinf x f x x     ， 3 2( ) ( ) cosf x f x x    ， 4 3( ) ( ) sinf x f x x  ， 5 4( ) ( ) cosf x f x x   ， 6 5( ) ( ) sinf x f x x    ， 1( ) ( )n nf x f x   ，具备周期性，周期为 4． 且 1 2 3 4( ) ( ) ( ) ( ) cos sin cos sin 0f x f x f x f x x x x x        ， 因为 2014=4 503+2 ， 1( )f A 2 ( )f A 2014 ( )f A 0 ， 1( )f A 2 ( )f A cos sin 0, tan 1,0A A A A        4A   ，所以 2sin 2A  . 故答案为： 2 2 15．已知函数   3f x x ，设曲线  y f x 在点   1 1P x f x， 处的切线与该曲线交于另一点   2 2Q x f x， ，记  f x 为函数  f x 的导数，则     1 2 f x f x   的值为_____． 【答案】 1 4 【解析】因为函数   3f x x ，所以   23f x x  ；则曲线 ( )y f x 在点 1 1( , ( ))P x f x 处的切线斜率为   2 1 1 13k f x x  ，所以曲线 ( )y f x 在点 1 1( , ( ))P x f x 处的切线方程为： 3 2 1 1 13 ( )y x x x x   ，联立   3f x x 得： 3 2 3 2 1 1 1 13 2 0 ( ) ( 2 ) 0x xx x x x x x       ，即 2 12x x  ，所以   2 2 2 2 13 12f x x x  ， 则     1 2 1 4 f x f x   ，故答案为 1 4 . 16．设 ( )f x¢ 是函数  y f x 的导数，  f x 是 ( )f x¢ 的导数，若方程   0f x  有实数解 0x ，则称点   0 0,x f x 为函数  y f x 的“拐点”.已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称 中心.设   3 21 82 23 3f x x x x    ，则数列 na 的通项公式为 1007na n  ，则   2017 1 i i f a   __________． 【答案】4034 【解析】对函数求导   2 84 3f x x x   ，再求导   2 4f x x  ．由题可得拐点 2,2 ，三次函数有对 称中心 2,2 ．则有      2 2 2 2 4f x f x f     ．则          1 2017 1006 1005 1004 1003 ... (1007) i if a f f f f f              (1008) (1009) (1010)f f f  ＝               1006 (1010) 1005 (1009) 1004 (1008) 1003 ... 1 3 2 f f f f f f f f f f                1008 4 2 4034f    ．故本题应填 4034 ． 三、解答题（共 70 分） 17．（10 分）已知函数 21 1( ) ln( )4f x x x x aa     ，其中常数 0a  ． （1）讨论函数 ( )f x 的单调性； （2）已知 10 2a  ， ( )f x 表示 ( )f x 的导数，若 1 2 1 2, ( , ),x x a a x x   ，且满足 1 2( ) ( ) 0f x f x   ， 试比较 1 2( )f x x  与 (0)f  的大小，并加以证明． 【答案】（1）当 2a  时， ( )f x 在 ( 2, )  上为增函数；当 2a  时， ( )f x 在 (0, ) ， 22( , )aa a  上为增函数，在 22( ,0)a a  上为减函数；当 0 2a  时， ( )f x 在 22( , )a a   ，( ,0)a 上为增函数， 在 22(0, )a a  上为减函数；（2） 1 2( )f x x  < (0)f  ，证明见解析． 【解析】（1）求出 ( )f x 的导数 )(xf  并因式分解，按照 202,2  aaa 和 三种情况讨论在 ( )f x 定义域内各个区间上导数的符号，从而判断函数 ( )f x 的单调性；（2）把 )(xf  设为一个新函数 )(xg ，用 导数判断出其在 ）（ aa,- 上的单调性，根据 0)0( f 和 1 2( ) ( ) 0f x f x   代入化简得到 21 xx  的范围和 21 xx ， 的关系，整理 1 2( )f x x  ，把令 tax 1 构造新函数 )(th 再判断其单调性，从而使问题得到解答． 试题解析：解：（1）函数 ( )f x 的定义域为 ( , )a  ， 21 1 1 ( 2 )( ) ( , 0)2 2 ( ) x ax af x x x a aa x a a x a           由 ( ) 0,f x  得 1 0x  ， 2 2 2 ax a  ， 当 2a  时， 2 ( ) 0 2( 2) xf x x     ，所以 ( )f x 在 ( 2, )  上为增函数； 当 2a  时， 2 2 2 0aa x a     ，所以 ( )f x 在 (0, ) ， 22( , )aa a  上为增函数；在 22( ,0)a a  上 为减函数； 当 0 2a  时， 22 0a a   ，所以 ( )f x 在 22( , )a a   ，( ,0)a 上为增函数；在 22(0, )a a  上为减函 数； （2）令 1 1 1( ) ( ) ( )2g x f x x a x aa x a        则 2 2 2 1 1 ( ) 2( ) 2 ( ) 2( ) x ag x x a x a        2 2 1, 0 2 , ( ) 4 1( 0 )2a x a x a a x a a a              ， ( ) 0, ( )g x g x   在 ( , )a a 上为减函数，即 ( )f x 在 ( , )a a 上为减函数 以题意，不妨设 1 2x x ，又因为 1 2(0) 0, ( ) ( ) 0f f x f x     ， 所以， 1 20a x x a     ，所以， 10 ,x a a   且 1 2a x x a    ， 由 1 2( ) ( ) 0f x f x   ，得 1 2 1 2 2 1 1 2 x x a x a x a      ， 1 2 1 2 1 2 1 1( ) 2 x xf x x a x x a        ， 1 2 1 2 1 1 1 1 a x x a x a x a        ， 令 1t x a  ， 2 2 1 1 1 1( ) (0 )h t t aa t x t x a        则 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) (2 )1 1( ) 0 ( ) ( ) ( ) t x t t x xh t t x t t x t t x t               ， 所以， ( )h t 在 (0, )a 内为增函数，又因为 1 (0, )t x a a   所以， ( ) ( ) 0h t h a  ， 即： 1 2 1 2 1 1 1 1 0a x x a x a x a        所以， )0()( 21 fxxf  ． 18．（12 分）已知函数    2 1 ln 22f x ax f x       a R ，  f x 为  f x 的导数. （1）若曲线  y f x 在点 1 1,2 2f        处的切线方程为 2 0x y  ，求 a 的值； （2）已知 2a   ，求函数  f x 在区间 1 ,2 2 e     上的最大值与最小值. 【答案】(1) 2a  . (2) max ( )f x = 1 6ln2 2   . min ( )f x = 2 13 e  . 【解析】 分析：（1）由    2 1 ln 22f x ax f x      ，得 1 1 22 2f af            ，由切线斜率得 1 2,2f       ，从而 得解； （2）先求导得 1 2 2 3f       ，进而得   6 68 4 4 3 x x f x x            ，分析导数正负得函数单调性，进而 得  max 6 4f x f       ，比较 1 2f      和 2 ef      ，进而得最小值. 详解：（1）    2 1 ln 22f x ax f x      ，    1 12 2f x axf x        ， 1 1 22 2f af            . 曲线  y f x 在点 1 1,2 2f        处的切线方程为 2 0x y  ，  1 2,2f       从而有 2 2 2a    ，解得 2a  . （2） 2a   时，    2 12 ln 22f x x f x      ，   1 14 2f x x f x         ， 从而 1 12 22 2f f              得 1 2 2 3f       ，    8 1 3 xf x x    = 28 3 3 x x   = 6 68 4 4 3 x x x           当 1 6,2 4x      时，   0f x  ，  f x 为增函数；当 x 6 ,4 2 e     时，   0f x  ，  f x 为减函数. 所以  maxf x =  f x   极大值= 6 4f       = 1 6ln2 2   . 又 1 2f      = 1 3  ， 2 ef      = 2 13 e  ， 2 113 3 e    ，   minf x = 2 13 e  19．（12 分）已知函数 ，其中常数 ． （1）当 时，求函数 的单调区间； （2）已知 ， 表示 的导数，若 ，且满足 ， 试比较 与 的大小，并加以说明． 【答案】（1）在 ， 上为增函数，在 上为减函数；（2） 【解析】（1）首先求出函数 的定义域为 ，然后再根据导数在函数单调性中的应用，即可求 出函数的单调性； （2）设函数   y g x a x a    的图象与函数   y f x a x a     的图象关于原 点对称，利用作差、分解因式的方法得出    f x g x  ，然后用单调性的定义证明  f x 在 a a ， 上单 调递减，在这两点基础上结合函数的单调性与奇函数的性质，证出    1 2 0f x x f    ． 试题解析：解：（1）函数 的定义域为 ， ， 由 得 ， ， 当 时， ，所以 在 ， 上为增函数，在 上为减函数， （2）令 ，则 ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∴ ，∴ 在 上为减函数，即 在 上为减函数， 依题意，不妨设 ，又因为 ， ， 所以 ，∴ 且 ， 由 ，得 ， ∴ ， 令 ， ， 则 ， 所以 在 内为增函数，又因为 ，所以 ， 即 ，所以 ． 20．（12 分）已知函数   3 22 3 33 2 xf x e x x    ，    g x f x ，  f x 为  f x 的导数.  1 求证：  g x 在区间 0,1 上存在唯一零点；（其中，  g x 为  g x 的导数）  2 若不等式    23 3 1g x x a x    在 1, 上恒成立，求实数 a 的取值范围. 【答案】  1 证明见解析；  2  , 2e  . 【解析】解：  1 证明：   3 22 3 33 2 xf x e x x    ，      22 3xg x f x e x x    ， 则   4 3xg x e x    ， 显然，函数  g x 在区间 0,1 上单调递增. 又  0 1 3 2 0g      ，  1 4 3 1 0g e e       ，   g x 在区间 0,1 上存在唯一零点.  2 由 1 知，   22 3xg x e x x   ， 不等式    23 3 1g x x a x    即为  2 22 3 3 3 1xe x x x a x      ， 即 1xea xx x    在 1, 上恒成立， 令   1xeh x xx x    则       2 2 2 1 1 11 1 1 x xe x e xh x x x x         ， 当 1x  时， ( ) 1, ( ) 1 0x xu x e x u x e       ， ( )u x 在[1, ) 是增函数， ( ) (1) 2 0, 1 0xu x u e e x         当 1x  时，     2 1 1 1 xe xh x x         2 1 1 1 1 0x x x      ， 则  h x 在 1, 单调递增， 故    min 1 2h x h e   ，故 2a e  ， 实数 a 的取值范围是  , 2e  . 21．（12 分）已知函数 2( )( ) ln 2 a xf x x   （ aR ）. （Ⅰ）若函数 ( ) ( ) ( 1)lnh x f x x a x    ，讨论 ( )h x 的单调性； （Ⅱ）若函数 ( )f x 的导数 ( )f x 的两个零点从小到大依次为 1x ， 2x ，证明：   1 2 2 2 x xf x  . 【答案】（Ⅰ）函数单调性见解析；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】（Ⅰ）∵ 2( )( ) ln 2 a xh x a x x     ∴ ( 1)( )( ) x x ah x x    （ 0x  ）. 当 0a  时， ( ) 0 1h x x    ， ( ) 0 0 1h x x     ∴ ( )h x 在 (1, ) 上单调递增，在 (0,1) 上单调递减； 当 1 0a   时， ( ) 0 1h x x    或 0 x a   ， ( ) 0 1h x a x      ∴ ( )h x 在 (1, ) ， (0, )a 上单调递增，在 ( ,1)a 上单调递减； 当 1a   时， ( ) 0h x x a     或 0 1x  ， ( ) 0 1h x x a      ∴ ( )h x 在 ( , )a  ， (0,1) 上单调递增，在 (1, )a 上单调递减； 当 1a   时， ( ) 0h x  在 (0, ) 上恒成立， 所以 ( )h x 在 (0, ) 上单调递增； 综上所述： 当 0a  时， ( )h x 在 (1, ) 上单调递增，在 (0,1) 上单调递减； 当 1 0a   时， ( )h x 在 (1, ) ， (0, )a 上单调递增，在 ( ,1)a 上单调递减； 当 1a   时， ( )h x 在 ( , )a  ， (0,1) 上单调递增，在 (1, )a 上单调递减； 当 1a   时， ( )h x 在 (0, ) 上单调递增. （Ⅱ）∵ 2 1( ) x axf x x    （ 0x  ）. 且 ( )f x 的两个零点从小到大依次为 1x ， 2x ∴ 1x ， 2x 是方程 2 1 0x ax   的两个根， ∴ 1 2 1 2 1 x x a x x      又 1 > 0x ， 2 0x  且 1 2x x 所以 1 20 1x x   欲证   1 2 2 2 x xf x  ，即证  2 2 1 2 2ln2 2 x a x xx    只需证 12 1 1 1 1 1ln2 2 xx x x    令 2 1( ) ln2 2 2 x xg x x x     （ 0 1x  ），  2 2 1 (2 1) ( ) 2 x x g x x    ∴ ( )g x 在 10, 2      上单调递增， 1 ,12      上单调递减， ∴ 1( ) 02g x g      ， 即   1 2 2 2 x xf x  成立. 22．（12 分）对于三次函数    3 2 0f x ax bx cx d a     ，给出定义：设  'f x 是函数  y f x 的 导数，  ''f x 是  'f x 的导数，若方程  '' 0f x  有实数解 0x ，则称点   0 0,x f x 为函数  y f x 的“拐 点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点” 就是对称中心.若   3 21 1 533 2 12f x x x x    ，请你根据这一发现. （1）求函数   3 21 1 533 2 12f x x x x    对称中心； （2）求 1 2 3 4 2013 2014 2014 2014 2014 2014f f f f f                                的值. 【答案】（1） 1 ,12      ；（2） 2013. 【解析】（1）三次函数的对称中心是   0f x  的实根，解得 1 2x  ，再代入求 1 2f      ，即求得函数的对 称中心；（2）根据（1）的结果可知函数的对称中心是 1 ,12      ，即任何    1 2f x f x   ，所以 1 2013 22014 2014f f           ，以此类推， 1 2 3 2013 1007 1...... 1006 2 2012 20132014 2014 2014 2014 2014 2f f f f f f                                           ,或采用倒 序相加法求和. 试题解析：（1）    2' 3, '' 2 1f x x x f x x     ，由  '' 0f x  ，即 2 1 0x   ，解得 1 2x  . 3 21 1 1 1 1 1 53 12 3 2 2 2 2 12f                        . 由题中给出的结论可知，函数   3 21 1 533 2 12f x x x x    对称中心为 1 ,12      . （2）由（1）知，函数   3 21 1 533 2 12f x x x x    对称中心为 1 ,12      . 所以 1 1 22 2f x f x             ，即    1 2f x f x   . 故 1 2013 2 20122, 22014 2014 2014 2014f f f f                         ， 3 2011 1006 10082, , 22014 2014 2014 2014f f f f                         . 所以 1 2 3 4 2013 1 12012 2 20132014 2014 2014 2014 2014 2 2f f f f f f                                           .