大教育全国名校联盟2020届高三质量检测第一次联考数学（文）试题 Word版含解析

大教育全国名校联盟2020届高三质量检测第一次联考数学（文）试题 Word版含解析

- 1 - 大教育全国名校联盟 2020 届高三质量检测第一次联考 文科数学 注意事项： 1.本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓 名、准考证号、座位号填写在答题卡相应位置上. 2.请在答题卡上作答，写在本试卷上效. 第 I 卷（选择题共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据集合交集的定义直接求解即可. 【详解】因为集合 ， ，所以 . 故选：D 【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题. 2.若复数 z 满足 ,则复数 z 在复平面内对应的点在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】 化简复数，求得 ，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解. 【详解】由题意，复数 z 满足 ，可得 ， 所以复数 在复平面内对应点的坐标为 位于第一象限 故选：A. { }1 3A x x= − < < { }0,1,2,3B = A B = { }1,2 { }1,0,1,2- { }0,1,2,3 { }0,1,2 { }1 3A x x= − < < { }0,1,2,3B = { }0,1,2A B = 1(1 2 0)z i− = 2 4z i= + 1(1 2 0)z i− = ( ) ( )( ) 10 1 210 2 41 2 1 2 1 2 iz ii i i += = = +− − + z (2,4) - 2 - 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运 算法则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 3.已知 a，b 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，且 ， ，则“ ”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分 也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】 根据线面平行的性质定理和判定定理判断 与 的关系即可得到答案. 【详解】若 ，根据线面平行的性质定理，可得 ； 若 ，根据线面平行的判定定理，可得 . 故选：C. 【点睛】本题主要考查了线面平行的性质定理和判定定理，属于基础题. 4.体育教师指导 4 个学生训练转身动作，预备时，4 个学生全部面朝正南方向站成一排.训练 时，每次都让 3 个学生“向后转”，若 4 个学生全部转到面朝正北方向，则至少需要“向后 转”的次数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】 通过列举法，列举出同学的朝向，然后即可求出需要向后转的次数. 【详解】“正面朝南”“正面朝北”分别用“∧”“∨”表示， 利用列举法，可得下表， 原始状态 第 1 次“向后转” 第 2 次“向后转” 第 3 次“向后转” 第 4 次“向后转” ∧∧∧∧ ∧∨∨∨ ∨∨∧∧ ∧∧∧∨ ∨∨∨∨ 可知需要的次数为 4 次. a β⊂ bα β = //a α / /a b //a α //bα //a α //a b //a b //a α - 3 - 故选：B. 【点睛】本题考查的是求最小推理次数，一般这类题型构造较为巧妙，可通过列举的方法直 观感受，属于基础题. 5.已知等比数列 的各项均为正数，设其前 n 项和 ，若 （ ），则 （ ） A. 30 B. C. D. 62 【答案】B 【解析】 【分析】 根据 ，分别令 ，结合等比数列的通项公式，得到关于首项和公比的方程组 ，解方程组求出首项和公式，最后利用等比数列前 n 项和公式进行求解即可. 【详解】设等比数列 的公比为 ，由题意可知中： .由 ，分别令 ， 可 得 、 ， 由 等 比 数 列 的 通 项 公 式 可 得 ： ， 因此 . 故选：B 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和前 n 项和公式的应用，考查了数学运算能力. 6.函数 的大致图象是 A. B. C. D. { }na nS 1 4+ = n n na a n ∗∈N 5S = 31 2 15 2 1 4+ = n n na a 1,2n = { }na q 1 0, 0a q> > 1 4+ = n n na a 1,2n = 1 2 4a a = 2 3 16a a = 1 1 1 2 1 1 4 2 16 2 a a q a a q a q q ⋅ ⋅ = =⇒ ⋅ ⋅ ⋅ = =  5 5 2(1 2 ) 31 21 2S −= =− ( ) ( )2 3 ln 1x f x x + = - 4 - 【答案】A 【解析】 【分析】 利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断. 【详解】由题意可知函数 为奇函数，可排除 B 选项； 当 时， ，可排除 D 选项； 当 时， ，当 时， ， 即 ，可排除 C 选项， 故选 A 【点睛】本题考查了函数图象的判断，函数对称性的应用，属于中档题． 7.德国数学家莱布尼兹(1646 年-1716 年)于 1674 年得到了第一个关于 π 的级数展开式,该 公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家､天文学家明安图 (1692 年-1765 年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736 年)开始,历时近 30 年,证明 了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的 6 个新级数公式, 著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算 π 开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱 布尼兹“关于 π 的级数展开式”计算 π 的近似值(其中 P 表示 π 的近似值),若输入 , 则输出的结果是( ) A. B. ( )f x x 0< ( ) 0f x ＜ x 1= ( )1 2f ln= x 3= ln10 ln10(3) ,ln 227 27f = > ( ) ( )1 3f f＞ 10n＝ 1 1 1 14(1 )3 5 7 17P = − + − +⋅⋅⋅+ 1 1 1 14(1 )3 5 7 19P = − + − +⋅⋅⋅− - 5 - C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 执行给定的程序框图，输入 ，逐次循环，找到计算的规律，即可求解. 【详解】由题意，执行给定的程序框图，输入 ，可得： 第 1 次循环： ； 第 2 次循环： ； 第 3 次循环： ； 第 10 次循环： ， 此时满足判定条件，输出结果 ， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计 算，得到程序框图的计算功能是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于 基础题. 8.已知等差数列 的前 n 项和为 ，且 ， ，若 （ ， 且 ），则 i 的取值集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 首先求出等差数列的首先和公差，然后写出数列即可观察到满足 的 i 的取值集合. 【详解】设公差为 d，由题知 ， 1 1 1 14(1 )3 5 7 21P = − + − +⋅⋅⋅+ 1 1 1 14(1 )3 5 7 21P = − + − +⋅⋅⋅− 10n = 10n = 1, 2S i= = 11 , 33S i= − = 1 11 , 43 5S i= − + =  1 1 1 11 , 113 5 7 19S i= − + − + − = 1 1 1 14 4(1 )3 5 7 19P S= = − + − +⋅⋅⋅− { }na nS 4 3a = − 12 24S = 0+ =i ja a *,i j ∈N 1 i j≤ < { }1,2,3 { }6,7,8 { }1,2,3,4,5 { }6,7,8,9,10 0+ =i ja a 4 3a = − ⇒ 1 3 3a d+ = − - 6 - ， 解得 ， ， 所以数列为 ， 故 . 故选：C. 【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量的求解，属于基础题. 9.若 , , ,则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据指数函数的性质，取得 的取值范围，即可求解，得到答案. 【详解】由指数函数的性质，可得 ，即 ， 又由 ，所以 . 故选：D. 【点睛】本题主要考查了指数幂的比较大小，其中解答中熟记指数函数的性质，求得 的 取值范围是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题. 10.已知函数 ，若不等式 对任意的 恒成立，则实数 k 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出函数 在 处的切线方程，在同一直角坐标系内画出函数 和 12 24S = ⇒ 1 12 1112 242a d ×+ = 1 9a = − 2d = 9, 7, 5, 3, 1,1,3,5,7,9,11,− − − − −  { }1,2,3,4,5i ∈ 0.60.5a＝ 0.50.6b＝ 0.52c＝ b c a> > c a b> > a b c> > c b a> > , ,a b c 0.5 0.5 0.61 0.6 0.5 0.5 0> > > > 1 0b a> > > 0.5 12c = > c b a> > , ,a b c ( ) 0, 1 ln , 1 xf x x x <=  ≥ ( ) ≤ −f x x k x∈R ( ],1−∞ [ )1,+∞ [ )0,1 ( ]1,0− ( )f x (1,0) ( ) 0, 1 ln , 1 xf x x x <=  ≥ - 7 - 的图象，利用数形结合进行求解即可. 【详解】当 时， ，所以函数 在 处的切 线方程为： ，令 ，它与横轴的交点坐标为 . 在同一直角坐标系内画出函数 和 的图象如下图的所示： 利用数形结合思想可知：不等式 对任意的 恒成立，则实数 k 的取值范围 是 . 故选：A 【点睛】本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题，考查了导数的应用，属于中 档题. 11.小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在 12：00~12：10 之间随机到达小王所居住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过 5 分钟的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 ( )g x x k= − 1x ≥ ( ) 1ln , ( ) (1) 1f x x f x fx = ⇒ = ⇒ = ( )f x (1,0) 1y x= − ( )g x x k= − ( ,0)k ( ) 0, 1 ln , 1 xf x x x <=  ≥ ( )g x x k= − ( ) ≤ −f x x k x∈R 1k ≤ 1 2 4 5 3 8 3 4 - 8 - 设出两人到达小王的时间，根据题意列出不等式组，利用几何概型计算公式进行求解即可. 【详解】设小王和外卖小哥到达小王所居住的楼下的时间分别为 ，以 12：00 点为开始算 起，则有 ，在平面直角坐标系内，如图所示：图中阴影部分表示该不等式组的所表 示的平面区域， 所以小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过 5 分钟的概率为： . 故选：C 【点睛】本题考查了几何概型中的面积型公式，考查了不等式组表示的平面区域，考查了数 学运算能力. 12.已知双曲线 C： （ ）的左、右焦点分别为 ，过 的直线 l 与双曲线 C 的左支交于 A、B 两点.若 ，则双曲线 C 的渐近线方程 ,x y 5 x y y x ≤  − ≤ 1 110 10 10 10 5 5 32 2 10 10 8P ´ - ´ ´ - ´ ´ = =´ 2 2 2 2 1x y a b − = 0, 0a b> > 1 2,F F 1F 2 2, 120= ∠ = AB AF BAF - 9 - 为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 设 ，利用余弦定理，结合双曲线的定义进行求解即可. 【详解】设 ，由双 曲 线 的 定 义 可 知 ： 因 此 再 由 双 曲 线 的 定 义 可 知 ： ，在三角形 中，由余弦定理可知： ，因此双曲线的渐近线方程为： . 故选：D 【点睛】本题考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了双曲线的渐近线 方程，考查了数学运算能力. 二、填空题：本题共 4 小题.每小题 5 分，共 20 分. 13.已知 ， 是夹角为 的两个单位向量，若 ， ，则 与 的夹角为 __________. 【答案】 【解析】 【分析】 首先求出 与 的数量积，然后直接根据 与 的夹角公式求解即可. 【详解】由题知 ， ， 3 3y x= ± 6 2y x= ± ( )3 2= ± −y x ( )3 1= ± −y x 2AF m= 2 2 2 2 2 2, 2 cos120 3AB AF m BF AB AF AB AF m= = ∴ = + − ⋅ ⋅ = 1 2 ,AF m a= − 1 2 ,BF a= 12 4 32 3BF BF a m a− = ⇒ = 1 2AF F 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 21 12 cos120 (5 2 3) (5 2 3)F F AF AF AF AF c a a b a°= + − ⋅ ⋅ ⇒ = − ⇒ + = − 2 2 2 2(4 2 3) (4 2 3) 3 1b bb a a a ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − ( )3 1= ± −y x i j 90° = +  a i j b j=  a b 45° a b a b = +  a i j b j=  - 10 - 有 ， 所以 ， 所以 . 故答案为： . 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，向量夹角的求解，属于基础题. 14.若函数 满足：① 是偶函数；② 的图象 关于点 对称.则同时满足①②的 ， 的一组值可以分别是__________. 【答案】 ， 【解析】 【分析】 根据 是偶函数和 的图象关于点 对称，即可求出满足条件的 和 . 【详解】由 是偶函数及 ，可取 ， 则 ， 由 的图象关于点 对称，得 ， ， 即 ， ，可取 . 故 ， 的一组值可以分别是 ， . 故答案为： ， . 【点睛】本题主要考查了正弦型三角函数的性质，属于基础题. 15.“北斗三号”卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为 R,若其近地点､ 远地点离地面的距离大约分别是 , ,则“北斗三号”卫星运行轨道的离心率为 __________. ( ) 1a b i j j⋅ = + ⋅ =     1 2cos , 22 1 a ba b a b ⋅= = = ×      cos , 45a b = °  45° ( ) ( )(sin 0,0 2 )f x xω ϕ ω ϕ π= + > ≤ < ( )f x ( )f x ,03 π     ω ϕ 3 2 π 2 ( )f x ( )f x ,03 π     ω ϕ ( )f x 0 πϕ≤ < 2 π 2 ϕ = ( ) πsin cos2f x x xω ω = + =   ( )f x π ,03      π ππ3 2kω × = + k Z∈ 33 2kω = + k Z∈ 3 2 ω = ω ϕ 3 2 π 2 3 2 π 2 2 3 R 4R - 11 - 【答案】 【解析】 【分析】 画出图形，结合椭圆的定义和题设条件，求得 的值，即可求得椭圆的离心率，得到答案. 【详解】如图所示，设椭圆的长半轴为 ，半焦距为 ， 因为地球半径为 R,若其近地点､远地点离地面的距离大约分别是 , , 可得 ，解得 ， 所以椭圆的离心率为 . 故答案为： . 【点睛】 本题主要考查了椭圆的离心率的求解，其中解答中熟记椭圆的几何性质，列出方程组，求得 的值是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 16.在三棱锥 中， ， ， ，若 PA 与底面 ABC 所成的角为 ，则点 P 到底面 ABC 的距离是______；三棱锥 P-ABC 的外接球的表面积_____. 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 1 2 ,a c a c 2 3 R 4R 4 2 3 a c R R a c R R + = + − = + 10 5,3 3a R c R= = 5 13 10 2 3 Rce a R = = = 1 2 ,a c P ABC− 2PA PC= = 1BA BC= = 90ABC∠ = ° 60° 3 5π - 12 - 首先补全三棱锥为长方体，即可求出点 P 到底面 ABC 的距离，同时长方体的体对角线就是三 棱锥的外接球的直径，然后即可求出外接球的表面积. 【详解】将三棱锥 置于长方体中，其中 平面 ， 由 与底面 ABC 所成的角为 ，可得 ， 即为点 P 到底面 ABC 距离， 由 ，得 ，如图， PB 就是长方体（三条棱长分别为 1，1， ）外接球的直径， 也是三棱锥 外接球的直径，即 ， 所以球的表面积为 . 故答案为： ； . 【点睛】本题考查了点到面的距离和三棱锥外接球的表面积，属于一般题. 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17.在 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 . （1）求 B； （2）若 的面积为 ，周长为 8，求 b. 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 的 P ABC− 1PP ⊥ ABC PA 60° 1 3PP = 11 PPP A P C ≌ 1 1 1P A PC= = 3 P ABC− 5PB = 2 54π 5π2   =    3 5π ABC sin( ) sin 2 A Cb A B c ++ = ABC 3 π 3B = 13 4b = - 13 - （1）通过正弦定理和内角和定理化简 ，再通过二倍角公式即可求 出 ； （2）通过三角形面积公式和三角形的周长为 8，求出 b 的表达式后即可求出 b 的值. 详解】（1）由三角形内角和定理及诱导公式，得 ， 结合正弦定理，得 ， 由 及二倍角公式，得 ， 即 ，故 ； （2）由题设，得 ，从而 ， 由余弦定理，得 ，即 ， 又 ，所以 ， 解得 . 【点睛】本题综合考查了正余弦定理，倍角公式，三角形面积公式，属于基础题. 18.若养殖场每个月生猪的死亡率不超过 ，则该养殖场考核为合格，该养殖场在 2019 年 1 月到 8 月养殖生猪的相关数据如下表所示： 月份 1 月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月 月养殖量/千只 3 3 4 5 6 7 9 10 12 月利润/十万元 3.6 4.1 4.4 5.2 6.2 7.5 7.9 9.1 生猪死亡数/只 29 37 49 53 77 98 126 145 （1）从该养殖场 2019 年 2 月到 6 月这 5 个月中任意选取 3 个月，求恰好有 2 个月考核获得 合格的概率； （2）根据 1 月到 8 月的数据，求出月利润 y（十万元）关于月养殖量 x（千只）的线性回归 方程（精确到 0.001）. （3）预计在今后的养殖中，月利润与月养殖量仍然服从（2）中的关系，若 9 月份的养殖量 【 sin( ) sin 2 A Cb A B c ++ = BÐ sin cos 2 Bb C c= sin cos 2 BB = π0 2 2 B< < 1sin 2 2 B = π 2 6 B = π 3B = 1 sin 32 ac B = 4ac = 2 2 2 2 cosb a c ac B= + − ( )22 12b a c= + − 8a b c+ + = ( )22 8 12b b= − − 13 4b = 1% - 14 - 为 1.5 万只，试估计：该月利润约为多少万元？ 附：线性回归方程 中斜率和截距用最小二乘法估计计算公式如下： ， 参考数据： . 【答案】（1） ；（2） ；（3）利润约为 111.2 万元. 【解析】 【分析】 （1）首先列出基本事件，然后根据古典概型求出恰好两个月合格的概率； （2）首先求出利润 y 和养殖量 x 的平均值，然后根据公式求出线性回归方程中的斜率和截距 即可求出线性回归方程； （3）根据线性回归方程代入 9 月份的数据即可求出 9 月利润. 【详解】（1）2 月到 6 月中，合格的月份为 2，3，4 月份， 则 5 个月份任意选取 3 个月份的基本事件有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共计 10 个， 故恰好有两个月考核合格的概率为 ； （2） ， ， ， ， 故 ； （3）当 千只， （十万元） （万元）， 故 9 月份的利润约为 111.2 万元. ˆˆ ˆy a bx= + 1 2 2 1 ˆ n i i i n i i x y nx y b x nx = = − = − ∑ ∑ ˆˆa y bx= − 8 8 2 1 1 460, 379.5i i i i i x x y = = = =∑ ∑ 3 5 ˆ 0.640 1.520y x= + ( )2,3,4 ( )2,3,5 ( )2,3,6 ( )2,4,5 ( )2,4,6 ( )2,5,6 ( )3,4,5 ( )3,4,6 ( )3,5,6 ( )4,5,6 6 3 10 5P = = 7x = 6y = 2 379.5 8 7 6 43.5ˆ 0.640460 8 7 68b − × ×= = ≈− × ˆ 6 0.640 7 1.520a = − × = ˆ 0.640 1.520y x= + 15x = ˆ 0.640 15 1.520 11.12y = × + = 111.2= - 15 - 【点睛】本题主要考查了古典概型，线性回归方程的求解和使用，属于基础题. 19.在三棱柱 中，四边形 是菱形， ， ， ， ，点 M、N 分别是 、 的中点，且 . （1）求证：平面 平面 ； （2）求四棱锥 的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【解析】 【分析】 （1）要证面面垂直需要先证明线面垂直，即证明出 平面 即可； （2）求出点 A 到平面 的距离，然后根据棱锥的体积公式即可求出四棱锥 的体积. 【详解】（1）连接 ，由 是平行四边形及 N 是 的中点， 得 N 也是 的中点，因为点 M 是 的中点，所以 ， 因为 ，所以 ， 又 ， ，所以 平面 ， 又 平面 ，所以平面 平面 ； （2）过 A 作 交 于点 O， 因为平面 平面 ，平面 平面 ， 所以 平面 ， 由 是菱形及 ，得 为三角形，则 ， 1 1 1ABC A B C− 1 1A B BA 4AB = 1 60ABB∠ = ° 1 1 3B C = BC AB⊥ 1A B 1AC 1 ⊥MN AB 1 1BCC B ⊥ 1 1A B BA 1 1A BCC B− 8 3 BC ⊥ 1 1A B BA 1 1BCC B 1 1A BCC B− 1AC 1 1ACC A 1AC 1AC 1A B //MN BC 1 ⊥MN AB 1BC AB⊥ BC AB⊥ 1AB AB A= BC ⊥ 1 1A B BA BC ⊂ 1 1BCC B 1 1BCC B ⊥ 1 1A B BA 1AO B B⊥ 1B B 1 1BCC B ⊥ 1 1A B BA 1 1BCC B  1 1 1A B BA B B= AO ⊥ 1 1BCC B 1 1A B BA 1 60ABB∠ = ° 1ABB△ 2 3AO = - 16 - 由 平面 ，得 ，从而侧面 为矩形， 所以 . 【点睛】本题主要考查了面面垂直的证明，求四棱锥的体积，属于一般题. 20.在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 的焦点为 F，准线为 l，P 是 抛物线 E 上一点，且点 P 的横坐标为 2， . （1）求抛物线 E 的方程； （2）过点 F 的直线 m 与抛物线 E 交于 A、B 两点，过点 F 且与直线 m 垂直的直线 n 与准线 l 交于点 M，设 AB 的中点为 N，若 O、M、N、F 四点共圆，求直线 m 的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）首先根据抛物线的定义和题中条件求出抛物线的焦准距，即可得到抛物线的方程； （2）首先设直线 m 方程，然后与抛物线联立，利用韦达定理求出点 N 坐标，然后设直线 n 的方程求出点 M 的坐标，最后利用 O、M、N、F 四点共圆即可求出直线 m 的方程. 【详解】（1）由抛物线定义，得 ，解得 ， 所以抛物线 F 的方程为 ； （2）设直线 m 的方程为 ，代入 ，得 ， 设 ， ，则 ， ， 由 ， ， 得 ， 的 BC ⊥ 1 1A B BA 1BC B B⊥ 1 1BCC B 1 1 1 1 1 2 3 3 4 8 33 3A BCC BV OA BC B B− = × × × = × × × = ( )2: 2 0E y px p= > 3PF = 2 4y x= ( )2 1y x= ± − 2 32 pPF = + = 2p = 2 4y x= 1x ty= + 2 4y x= 2 4 4 0y ty− − = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 2 4y y t+ = 1 2 4y y = − 2 1 14y x= 2 2 24y x= ( ) ( ) ( )2 22 2 21 2 1 21 2 1 2 2 4 2 4 4 24 4 4 4 y y y y ty yx x t + − − × −+ = + = = = + - 17 - 所以 ， 因为直线 m 的斜率为 ，所以直线 n 的斜率为 ， 则直线 n 的方程为 ， 由 解得 ， 若 O、M、N、F 四点共圆，再结合 ，得 ， 则 ， 解得 ，所以直线 m 的方程为 . 【点睛】本题主要考查了抛物线的定理，直线与抛物线的交点问题，属于一般题. 21.已知函数 存在一个极大值点和一个极小值点. （1）求实数 a 的取值范围； （2）若函数 极大值点和极小值点分别为 和 ，且 ，求实 数 a 的取值范围.（e 是自然对数的底数） 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）首先对函数 求导，根据函数存在一个极大值点和一个极小值点求出 a 的取值范围； （2）首先求出 的值，再根据 求出实数 a 的取值范围. 【详解】（1）函数 的定义域为是 ， ， 若 有两个极值点，则方程 一定有两个不等的正根， 设为 和 ，且 ， 的 ( )22 1,2N t t+ 1 t t− ( )1y t x= − − ( ) 1 1 x y t x = −  = − − ( )1,2M t− FN FM⊥ OM ON⊥ ( )2 21 2 1 2 2 2 1 0OM ON t t t t⋅ = − × + + ⋅ = − =  2 2t = ± ( )2 1y x= ± − 2( ) 1 2 6 lnaf x x a xx = + − − ( )f x 1x 2x ( ) ( )1 2 2 6f x f x e< −+ 4 ,9  +∞   ( )e,+∞ ( )f x ( ) ( )1 2f x f x+ ( ) ( )1 2 2 6f x f x e< −+ ( )f x ( )0, ∞+ ( ) 2 2 2 2 6 2 6 22 a a x ax af x x x x − +′ = + − = ( )f x 22 6 2 0x ax a− + = 1x 2x 1 2x x< - 18 - 所以 解得 ， 此时 ， 当 时， ， 当 时， ， 当 时， ， 故 是极大值点， 是极小值点， 故实数 a 的取值范围是 ； （2）由（1）知， ， ， 则 ， ， ， 由 ，得 ，即 ， 令 ，考虑到 ， 所以 可化为 ， 而 ， 所以 在 上为增函数， 由 ，得 ， 故实数 a 的取值范围是 . 2 1 2 1 2 36 16 0 3 0 0 a a x x a x x a ∆ = − >  + = >  = > 4 9 >a ( ) ( )( )1 2 2 2 x x x xf x x − −′ = 10 x x< < ( ) 0f x′ > 1 2x x x< < ( ) 0f x′ < 2x x> ( ) 0f x′ > 1x 2x 4 ,9  +∞   1 2 3x x a+ = 1 2x x a= ( ) ( )1 2 1 1 2 2 1 2 2 21 2 6 ln 1 2 6 lna af x f x x a x x a xx x + = + − − + + − − ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 22 2 6 lna x xx x a x xx x += + + − − 2 32 2 3 6 ln 2 6 lna aa a a a aa ⋅= + × − − = − ( ) ( )1 2 2 6ef x f x+ < − 2 6 ln 2 6ea a− < − ln ea a > ( ) 4ln 9g a a a a = >   ( )e elne eg = = ln ea a > ( ) ( )eg a g> ( ) 4 11 ln 1 ln 1 ln 09 eg a a′ = + > + > + = ( )g a 4 ,9  +∞   ( ) ( )eg a g> ea > ( )e,+∞ - 19 - 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的极值点和单调性，利用函数单调性证明不等式， 属于难题. （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题计分，作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题号后的方框涂黑. 22.在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数）.以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，建立极坐标系. （1）设直线 l 的极坐标方程为 ，若直线 l 与曲线 C 交于两点 A.B，求 AB 的长； （2）设 M、N 是曲线 C 上的两点，若 ，求 面积的最大值. 【答案】（1） ；（2）1. 【解析】 【分析】 （1）利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可； （2） ， ，由（1）通过计算得到 ， 即最大值为 1. 【详解】（1）将曲线 C 的参数方程化为普通方程为 ， 即 ； 再将 ， ， 代入上式， 得 ， 故曲线 C 的极坐标方程为 ， 显然直线 l 与曲线 C 相交的两点中， 必有一个 原点 O，不妨设 O 与 A 重合，为 1 cos2 3 sin2 x y α α  = +  = + α 12 πθ = 2MON π∠ = OMN∆ 2 ( )1,M ρ θ 2 π, 2N ρ θ +   1 2 1 πsin2 2S ρ ρ= πsin 2 3 θ = +   221 3 12 2x y   − + − =        2 2 3 0x y x y+ − − = 2 2 2x y ρ+ = cosx ρ θ= siny ρ θ= 2 cos 3 sin 0ρ ρ θ ρ θ− − = π2sin 6 ρ θ = +   - 20 - 即 . （2）不妨设 ， ， 则 面积为 当 ，即取 时， . 【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，三角形面积的最值问题，是 一道容易题. 23.已知不等式 对于任意的 恒成立. （1）求实数 m 的取值范围； （2）若 m 的最大值为 M，且正实数 a，b，c 满足 .求证 . 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】 （ 1 ） 法 一 ： ， ， 得 ， 则 ，由此可得答案； 法二：由题意 ，令 ，易知 是偶 函数，且 时为增函数，由此可得出答案； （2）由（1）知， ，即 ，结合“1”的代换，利用基本不等式即可证明 结论． 【详解】解：（1）法一： （当且仅当 时取等 12 π π2sin 26 12AB OB πθ ρ =  = = = + =   ( )1,M ρ θ 2 π, 2N ρ θ +   OMN 1 2 1 π 1 π π πsin 2sin 2sin2 2 2 6 2 6S ρ ρ θ θ   = = ⋅ + ⋅ + +       π π π2sin cos sin 26 6 3 θ θ θ     = + + = +           πsin 2 13 θ + =   π 12 θ = max 1S = 1 1 1x x x m+ + + − ≥ + x∈R 2 3a b c M+ + = 1 1 2 32 2a b b c + ≥ ++ + [ ]3,1− ( ) ( )1 1 1 1 2x x x x+ + − ≥ + − − = 0x ≥ 1 1 2x x x+ + + − ≥ 1 2m + ≤ ( ) min1 1 1m x x x+ ≤ − + + + ( ) 1 1f x x x x= + + + − ( )f x [ )0,x∈ +∞ 1M = 2 3 1a b c+ + = ( ) ( )1 1 1 1 2x x x x+ + − ≥ + − − = 1 1x− ≤ ≤ - 21 - 号）， 又 （当且仅当 时取等号）， 所以 （当且仅当 时取等号）， 由題意得 ，则 ，解得 ， 故 的取值范围是 ； 法二：因为对于任意 恒有 成立，即 ， 令 ，易知 是偶函数，且 时为增函数， 所以 ，即 ，则 ，解得 ， 故 的取值范围是 ； （2）由（1）知， ，即 ， ∴ ， 故不等式 成立． 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的恒成立问题，考查基本不等式的应用，属于中档题． 0x ≥ 0x = 1 1 2x x x+ + + − ≥ 0x = 1 2m + ≤ 2 1 2m− ≤ + ≤ 3 1m− ≤ ≤ m [ ]3,1− x∈R 1 1 1x x x m+ + + − ≥ + ( ) min1 1 1m x x x+ ≤ − + + + ( ) 1 1f x x x x= + + + − ( )f x [ )0,x∈ +∞ ( ) ( )min 0 2f x f= = 1 2m + ≤ 2 1 2m− ≤ + ≤ 3 1m− ≤ ≤ m [ ]3,1− 1M = 2 3 1a b c+ + = 1 1 2 2a b b c ++ + ( ) 1 12 3 2 2a b c a b b c  = + + ⋅ + + +  ( ) ( )2 3 2 1 1 2 2 2 a b b c a b b c + + +  = ⋅ + + +  ( )3 21 242 2 2 b c a b a b b c + += + + + +  1 4 2 3 2 32  ≥ + = +  1 1 2 32 2a b b c + ≥ ++ + - 22 -