【数学】2019届一轮复习人教A版（文）空间几何体的表面积和体积学案

【数学】2019届一轮复习人教A版（文）空间几何体的表面积和体积学案

第2讲　空间几何体的表面积和体积 板块一　知识梳理·自主学习 ‎[必备知识]‎ 考点1　多面体的表面积、侧面积 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面面积之和．‎ 考点2　圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 考点3　柱、锥、台和球的表面积和体积 ‎[必会结论]‎ ‎1．与体积有关的几个结论 ‎(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．‎ ‎(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．‎ ‎2．几个与球有关的切、接常用结论 ‎(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，‎ ‎①若球为正方体的外接球，则2R＝a；‎ ‎②若球为正方体的内切球，则2R＝a；‎ ‎③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.‎ ‎(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.‎ ‎(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.‎ ‎[考点自测]‎ ‎　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.(　　)‎ ‎(2)设长方体的长、宽、高分别为‎2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为3πa2.(　　)‎ ‎(3)若一个球的体积为4π，则它的表面积为12π.(　　)‎ ‎(4)将圆心角为，面积为3π的扇形作为圆锥的侧面，则圆锥的表面积等于4π.(　　)‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√‎ ‎2.[2018·长春模拟]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为(　　)‎ A. B．64‎ C. D. 答案　D 解析　由三视图可知，该多面体是一个四棱锥，且由一个顶点出发的三条棱两两垂直，长度都为4，∴其体积为×4×4×4＝.故选D.‎ ‎3.[2018·合肥模拟]某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)‎ A．12＋4 B．18＋8 C．28‎ D．20＋8 答案　D 解析　由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图．则该几何体的表面积为S＝2××2×2＋4×2×2＋2×4＝20＋8.故选D.‎ ‎4．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为(　　)‎ A．2 B．4＋2 C．4＋4 D．6＋4 答案　C 解析　由题可知，该几何体的底面为等腰直角三角形，等腰直角三角形的斜边长为2，腰长为，棱柱的高为2，所以其侧面积S＝2×2＋2×2＝4＋4.故选C.‎ ‎5．[2017·全国卷Ⅱ]长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为________．‎ 答案　14π 解析　∵长方体的顶点都在球O的球面上，‎ ‎∴长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径．‎ 设球的半径为R，‎ 则2R＝＝.‎ ‎∴球O的表面积为S＝4πR2＝4π×2＝14π.‎ ‎6．[2017·山东高考]由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如下，则该几何体的体积为________．‎ 答案　2＋　‎ 解析　该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱体构成，‎ ‎∴V＝2×1×1＋2××π×12×1＝2＋.‎ 板块二　典例探究·考向突破 考向　几何体的表面积　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 例1　(1)[2017·全国卷Ⅰ]某多面体的三视图如图所示，其中 正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为(　　)‎ A．10　 B．‎12　 ‎C．14　 D．16‎ 答案　B 解析　观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为2，如图所示．因此该多面体各个面中有2个梯形，且这两个梯形全等，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，故这些梯形的面积之和为2××(2＋4)×2＝12.故选B.‎ ‎(2)[2016·全国卷Ⅱ]下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为(　　)‎ A.20π B．24π C．28π D．32π 答案　C 解析　由三视图可得圆锥的母线长为＝4，∴S圆锥侧＝π×2×4＝8π.又S圆柱侧＝2π×2×4＝16π，S圆柱底＝4π，∴该几何体的表面积为8π＋16π＋4π＝28π.故选C.‎ 触类旁通 空间几何体表面积的求法 ‎(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图，确定几何体的直观图．‎ ‎(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．‎ ‎【变式训练1】　[2015·安徽高考]一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是(　　)‎ A.1＋ B．1＋‎2 C．2＋ D．2 答案　C 解析　由三视图可得该四面体的直观图如图所示，平面ABD⊥平面BCD，△ABD与△BCD为全等的等腰直角三角形，AB＝AD＝BC＝CD＝.取BD的中点O，连接AO，CO，则AO⊥CO，AO＝CO＝1.由勾股定理得AC＝，因此△ABC与△ACD为全等的正三角形，由三角形面积公式得S△ABC＝S△ACD＝，S△ABD＝S△BCD＝1，所以四面体的表面积为2＋.故选C.‎ 考向　几何体的体积 命题角度1　补形法求体积　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 例2　[2017·全国卷Ⅱ]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为(　　)‎ A．90π B．63π C．42π D．36π 答案　B 解析　(割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示．‎ 将圆柱补全，并将圆柱从点A处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的，所以该几何体的体积V＝π×32×4＋π×32×6×＝63π.故选B.‎ 命题角度2　分割法求体积　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 例3　[2018·山西五校联考]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；‎ 上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊柱的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少？”已知1丈为10尺，现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为(　　)‎ A．5000立方尺 B．5500立方尺 C．6000立方尺 D．6500立方尺 答案　A 解析　该楔体的直观图如图中的几何体ABCDEF.取AB的中点G，CD的中点H，连接FG，GH，HF，则该几何体的体积为四棱锥F－GBCH与三棱柱ADE－GHF的体积之和．又可以将三棱柱ADE－GHF割补成高为EF，底面积为S＝×3×1＝平方丈的一个直棱柱，故该楔体的体积V＝×2＋×2×3×1＝5立方丈＝5000立方尺．故选A.‎ 命题角度3　转化法求体积　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 例4　如图所示，正方体ABCD－A1B‎1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B‎1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为________．‎ 答案　 解析　三棱锥D1－EDF的体积即为三棱锥F－DD1E的体积．因为E，F分别为AA1，B‎1C上的点，所以正方体ABCD－A1B‎1C1D1中△EDD1的面积为定值，F到平面AA1D1D的距离为定值1，所以VF－DD1E＝××1＝.‎ 触类旁通 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 ‎(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．‎ ‎(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．‎ ‎(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．‎ 考向　与球有关的切、接问题　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 例5　[2018·沈阳模拟]已知直三棱柱ABC－A1B‎1C1的6‎ 个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(　　)‎ A. B．‎2 C. D．3 答案　C 解析　如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AM＝BC＝，OM＝AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝ ＝.故选C.‎ ‎　本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方 体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？‎ 解　由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径．设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r.‎ 又正方体的棱长为4，故其体对角线长为4，‎ 从而V外接球＝πR3＝π×(2)3＝32π，‎ V内切球＝πr3＝π×23＝.‎ ‎　本例若将直三棱柱改为“正四面体”，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少？‎ 解　正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S1＝4··a2＝a2，其内切球半径r为正四面体高的，即r＝·a＝a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝，则＝＝.‎ ‎　本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边 长都是3的正四棱锥”，则其外接球的半径是多少？‎ 解　依题意，得该正四棱锥底面对角线的长为3×＝6，高为 ＝3，‎ 因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.‎ 触类旁通 ‎“切”“接”问题的处理规律 ‎(1)“切”的处理 解决旋转体、多面体的内切球问题时首先要找准切点，通过作截面来解决．截面过球心．‎ ‎(2)“接”的处理 把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．‎ ‎【变式训练2】　(1)[2017·全国卷Ⅲ]已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(　　)‎ A．π B. C. D. 答案　B 解析　设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R＝1，‎ 由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，‎ r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形．‎ ‎∴r＝ ＝.‎ ‎∴圆柱的体积为V＝πr2h＝π×1＝.故选B.‎ ‎(2)[2018·湖北七市联考]一个几何体的三视图如图所示，该几何体外接球的表面积为(　　)‎ A．36π B. C．32π D．28π 答案　B 解析　根据三视图，可知该几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为4的正方形，高是2.将该四棱锥补形成一个三棱柱，如图所示，则其底面是边长为4的正三角形，高是4，该三棱柱的外接球即为原四棱锥的外接球．∵三棱柱的底面是边长为4的正三角形，∴底面三角形的中心到该三角形三个顶点的距离为×2＝，∴外接球的半径为R＝＝，外接球的表面积S＝4πR2＝4π×＝.故选B.‎ 核心规律 ‎1.表面积是各个面的面积之和，求多面体的表面积时，只需将它们沿着棱剪开后展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积．求旋转体的表面积时，可以从旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开求表面积．‎ ‎2.求几何体体积时，要选择适当的底面和高．‎ 满分策略 ‎1.利用三视图求表面积和体积时，要正确地把它们还原成直观图，从三视图中得到几何体的相关量，再计算．‎ ‎2.求不规则的几何体的表面积和体积时，把它们分成基本的简单几何体再求．‎ ‎3.求几何体体积时注意运用割补法和等体积转换法.‎ 板块三　启智培优·破译高考 题型技法系列 10 ——破解切割棱柱体的三视图问题　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎[2018·河南质检]如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为(　　)‎ A.6 B．‎9 C．12 D．1‎ 解题视点　根据三视图还原几何体，先画出该棱柱在没有切割前完整的图形，然后去掉被切割下的三棱柱，结合图形利用体积公式破解．‎ 解析　该几何体是一个直三棱柱截去所得，如图所示，其体积为××3×4×2＝9.故选B.‎ 答案　B　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 答题启示　从近年全国各地对于三视图知识的考查来看，所涉及的几何体往往是相对比较规则的，且多与长方体、直棱柱、圆锥及球 密切相关.通常考查的不是这些简单的几何体，而是通过对这些简单的几何体的截或接所形成的几何体.‎ 跟踪训练 将正方体切去一个三棱锥得到几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为(　　)‎ A. B. C. D．6‎ 答案　A 解析　由图可知，该几何体为正方体切去一个三棱锥形成．V＝2×2×2－××2×2×1＝.故选A.‎ 板块四　模拟演练·提能增分　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎[A级　基础达标]‎ ‎1. [2018·南昌模拟]如图，在正四棱柱ABCD－A1B‎1C1D1中，点P是平面A1B‎1C1D1内一点，则三棱锥P－BCD的正视图与侧视图的面积之比为(　　)‎ A．1∶1 B．2∶1‎ C．2∶3 D．3∶2‎ 答案　A 解析　根据题意，三棱锥P－BCD的正视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高；侧视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高．故三棱锥P－BCD的正视图与侧视图的面积之比为1∶1.故选A.‎ ‎2．《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺3寸，容纳米2000斛(1丈＝10尺，1尺＝10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，π≈3)，则圆柱底面圆周长约为(　　)‎ A．1丈3尺 B．5丈4尺 C．9丈2尺 D．48丈6尺 答案　B 解析　设圆柱底面圆半径为r尺，高为h尺，依题意，圆柱体积为V＝πr2h＝2000×1.62≈3×r2×13.33，所以r2≈81，即r≈9，所以圆柱底面圆周长为2πr≈54,54尺＝5丈4尺，则圆柱底面圆周长约为5丈4尺．故选B.‎ ‎3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　由三视图，可得原图如图所示，即为底面是平行四边形的四棱锥，∴V＝×1×1×1＝.故选D.‎ ‎4．正三棱柱的底面边长为，侧棱长为2，且三棱柱的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为(　　)‎ A．4π B．8π C．12π D．16π 答案　B 解析　由正弦定理得＝2r(其中r为正三棱柱底面三角形外接圆的半径)，∴r＝1，∴外接球的半径R＝＝，∴外接球的表面积S＝4πR2＝8π.故选B.‎ ‎5．[2017·北京高考]某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的 体积为(　　)‎ A.60 B．‎30 C．20 D．10‎ 答案　D 解析　由三视图画出如图所示的三棱锥P－ACD，过点P作PB⊥平面ACD于点B，连接BA，BD，BC，根据三视图可知底面ABCD是矩形，AD＝5，CD＝3，PB＝4，所以V三棱锥P－ACD＝××3×5×4＝10.故选D.‎ ‎6．[2018·遵义模拟]一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为(　　)‎ A.＋ B.＋ C.＋ D.＋ 答案　C 解析　由三视图还原为空间几何体，如图所示，则有OA＝OB＝1，AB＝.‎ 又PB⊥平面ABCD，∴PB⊥BD，PB⊥AB，‎ ‎∴PD＝＝，PA＝＝，‎ 从而有PA2＋DA2＝PD2，∴PA⊥DA，‎ ‎∴该几何体的侧面积S＝2×××1＋2×××＝＋.故选C.‎ ‎7．某几何体的三视图如图所示，则其体积为(　　)‎ A.207 B．216－ C．216－36π D．216－18π 答案　B 解析　由已知三视图知该几何体为一个棱长为6的正方体，切去一个底面半径为3，高为6的圆锥．其体积V＝63－××π×32×6＝216－.故选B.‎ ‎8.[2017·江苏高考]如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________．‎ 答案　 解析　设球O的半径为R，‎ ‎∵球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，‎ ‎∴圆柱O1O2的高为2R，圆柱O1O2的底面半径为R.‎ ‎∴＝＝.‎ ‎9．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是________．‎ 答案　2(π＋)‎ 解析　由三视图可知此几何体的表面积分为两部分：底面积即俯视图的面积为2；侧面积为一个完整的圆锥的侧面积，且圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以侧面积为2π.两部分加起来即为几何体的表面积，为2(π＋)．‎ ‎10．[2018·云南昆明联考]已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于________．‎ 答案　 解析　由三视图可知该几何体是一个直三棱柱切去一个三棱锥，如图所示，故该几何体的体积为×4×4×8－××4×4×4＝64－＝.‎ ‎[B级　知能提升]‎ ‎1．[2018·上海模拟]如图是某几何体的三视图，则此几何体的体积是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　根据三视图知此几何体是边长为2的正方体截去一个三棱锥P－ABC剩下的部分(如图所示)，所以此几何体的体积为2×2×2－××1×2×2＝.故选D.‎ ‎2．[2018·北京模拟]某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是(　　)‎ A．2＋ B．4＋ C．2＋2 D．5‎ 答案　C 解析　由三视图分析知，该几何体是底面为等腰三角形，其中一条侧棱与底面垂直的三棱锥(SA⊥平面ABC)，如图，由三视图中的数据可计算得S△ABC＝×2×2＝2，S△SAC＝××1＝，S△SAB＝××1‎ ‎＝，S△SBC＝×2×＝，所以S表面积＝2＋2.故选C.‎ ‎3．[2017·全国卷Ⅰ]已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S－ABC的体积为9，则球O的表面积为________．‎ 答案　36π 解析　如图，连接OA，OB.‎ 由SA＝AC，SB＝BC，SC为球O的直径，知OA⊥SC，OB⊥SC.‎ 由平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，OA⊥SC，知OA⊥平面SCB.‎ 设球O的半径为r，则OA＝OB＝r，SC＝2r，‎ ‎∴三棱锥S－ABC的体积 V＝×·OA＝，‎ 即＝9，∴r＝3，∴S球表＝4πr2＝36π.‎ ‎4.如图，△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC ‎，且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5.求此几何体的体积．‎ 解　解法一：如图，取CM＝AN＝BD，连接DM，MN，DN，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥．‎ 则V几何体＝V三棱柱＋V四棱锥．‎ 由题知三棱柱ABC－NDM的体积为V1＝×8×6×3＝72.‎ 四棱锥D－MNEF的体积为：‎ V2＝×S梯形MNEF×DN ‎＝××(1＋2)×6×8＝24，‎ 则几何体的体积为：V＝V1＋V2＝72＋24＝96.‎ 解法二：用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA′＝BB′＝CC′＝8，所以V几何体＝V三棱柱＝×S△ABC×AA′＝×24×8＝96.‎ ‎5．[2018·杭州模拟]已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为‎20 cm和‎30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于两底面面积之和，求棱台的体积．‎ 解　如图所示，在三棱台ABC－A′B′C′中，O′，O分别为上、下底面的中心，D，D′分别是BC，B′C′的中点，则DD′是等腰梯形BCC′B′的高，‎ 又A′B′＝‎20 cm，AB＝‎30 cm，‎ 所以S侧＝3××(20＋30)×DD′＝75DD′.‎ S上＋S下＝×(202＋302)＝325(cm2)．‎ 由S侧＝S上＋S下，得75DD′＝325，‎ 所以DD′＝ cm，‎ 又因为O′D′＝×20＝(cm)，‎ OD＝×30＝5(cm)，‎ 所以棱台的高h＝O′O ‎＝ ‎＝ ＝4(cm)，‎ 由棱台的体积公式，可得棱台的体积为 V＝(S上＋S下＋)‎ ‎＝× ‎＝1900(cm3)．‎ 故棱台的体积为‎1900 cm3.‎