2017-2018学年陕西省西安中学高二下学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年陕西省西安中学高二下学期期末考试数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年陕西省西安中学高二下学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．设为虚数单位，则复数 (　　)‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由复数的乘除运算即可求得结果 ‎【详解】‎ 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了复数的除法运算，解题的关键是要掌握复数四则运算法则，属于基础题。‎ ‎2．乘积可表示为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对排列公式的认识，进行分析，解答即可 ‎【详解】‎ 最大数为，共有个自然数连续相乘 根据排列公式可得 故选 ‎【点睛】‎ 本题是一道比较基础的题型，主要考查的是排列与组合的理解，掌握排列数的公式是解题的关键 ‎3．等于（ ）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：因为，故选A．‎ ‎【考点】定积分的运算．‎ ‎4．是函数的导函数，的图象如图所示，的图象最有可能的是（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导函数的图象，判断导函数的符号，得到函数的单调性以及函数的极值，然后判断选项即可 ‎【详解】‎ 由的图象可知，当，或时，，故函数是增函数，‎ 时，函数是减函数，‎ 是函数的极大值点，是函数的极小值点 所以函数的图象只能是 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，属于基础题，解题的关键是利用导函数看正负，原函数看增减。‎ ‎5．现有小麦、大豆、玉米、高粱种不同农作物供选择，在如图所示的四块土地上行种植，要求有公共边界的两块地不能种同一种农作物，则不同的种植方法共有（ ）‎ A． 36种 B． 48种 C． 24种 D． 30种 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 需要先给右边的一块地种植，有种结果，再给中间上面的一块地种植，有种结果，再给中间下面的一块地种植，有种结果，最后给左边的一块地种植，有种结果，相乘即可得到结果 ‎【详解】‎ 由题意可知，本题是一个分步计数的问题 先给右边的一块地种植，有种结果 再给中间上面的一块地种植，有种结果 再给中间下面的一块地种植，有种结果 最后给左边的一块地种植，有种结果 根据分步计数原理可知共有种结果 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查的知识点是分步计数原理，这种问题解题的关键是看清题目中出现的结果，几个环节所包含的事件数在计算时要做到不重不漏。‎ ‎6．变量与相对应的一组数据为(10 , 1)，(11.3 , 2)，(11.8 , 3)，(12.5 , 4)，(13 , 5)；变量与相对应的一组数据为(10 , 5)，(11.3 , 4)，(11.8 , 3)，(12.5 , 2)，(13 , 1)．表示变量 之间的线性相关系数，表示变量与之间的线性相关系数，则(　　)‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出，，进行比较即可得到结果 ‎【详解】‎ 变量与相对应的一组数据为 即 变量与相对应的一组数据为 这一组数据的相关系数 则第一组数据的相关系数大于，第二组数据的相关系数小于 则 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查的是变量的相关性，属于基础题。‎ ‎7．在极坐标系中，曲线，曲线，若曲线与交于两点，则线段的长度为（ ）‎ A． 2 B． C． D． 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别将曲线，‎ 的极坐标方程化为普通方程，根据直线与圆相交，利用点到直线的距离公式结合垂径定理，可得结果 ‎【详解】‎ 根据题意，‎ 曲线 曲线，‎ 则直线与圆相交，‎ 圆的半径为，圆心到直线的距离为 设长为，则有，即 解得（舍负）‎ 故线段的长度为 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查的是极坐标与直角坐标方程的互化，圆的方程以及直线与圆的位置关系，是一道基础题 ‎8．从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为( )‎ A． 90 B． 60 C． 120 D． 110‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用所有的选法共有减去没有任何一名女生入选的组队方案数，即得结果 ‎【详解】‎ 所有的选法共有种 其中没有任何一名女生入选的组队方案数为：‎ 故至少有一名女生入选的组队方案数为 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考的是排列，组合及简单计数问题，考查组合的运用，处理“至少有一名”类问题，宜选用间接法，是一道基础题。‎ ‎9．已知某企业上半年前5个月产品广告投入与利润额统计如下：‎ 月份 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 广告投入（万元）‎ ‎9.5‎ ‎9.3‎ ‎9.1‎ ‎8.9‎ ‎9.7‎ 利润（万元）‎ ‎92‎ ‎89‎ ‎89‎ ‎87‎ ‎93‎ 由此所得回归方程为，若6月份广告投入10（万元）估计所获利润为（ ）‎ A． 97万元 B． 96.5万元 C． 95.25万元 D． 97.25万元 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求出的平均数，将样本中心点代入回归方程中求出的值，然后写出回归方程，然后将代入求解即可 ‎【详解】‎ 代入到回归方程为，解得 将代入，解得 故选 ‎【点睛】‎ 本题是一道关于线性回归方程的题目，解答本题的关键是求出线性回归方程，属于基础题。‎ ‎10．如图所示，在一个边长为1的正方形内，曲线和曲线 围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形内随机投一点(该点落在正方形内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是(　 　)‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合定积分计算叶形图的面积，再根据几何概型概率计算公式即可求解 ‎【详解】‎ 叶形图的面积为：‎ 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查的是定积分与随机事件的概率，属于基础题 ‎11．《中国诗词大会》（第二季）亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《将进酒》《山居秋暝》《望岳《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（ ）‎ A． 288种 B． 144种 C． 720种 D． 360种 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意分步进行分析：①用倍分法分析《将进酒》，《望岳》和另外两首诗词的排法数目；②用插空法分析《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》的排法数目，由分步计数原理计算可得答案 ‎【详解】‎ 根据题意分步进行分析：①将《将进酒》，《望岳》和另外两首诗词的首诗词全排列，则有 种顺序 ‎《将进酒》排在《望岳》的前面，‎ 这首诗词的排法有种 ‎②，这首诗词排好后，不含最后，有个空位，在个空位中任选个，安排《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》，有种安排方法 则后六场的排法有种 ‎ 故选 ‎【点睛】‎ 本题考查的是有关限制条件的排列数的问题，第一需要注意先把不相邻的元素找出来，将剩下的排好，这里需要注意定序问题除阶乘，第二需要将不相邻的两个元素进行插空，利用分步计数原理求得结果，注意特殊元素特殊对待。‎ ‎12．若对于任意实数，函数恒大于零，则实数的取值范围是( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数，根据导数的符号求出函数的单调区间，求出最值，即可得到实数的取值范围 ‎【详解】‎ 当时，恒成立 若，为任意实数，恒成立 若时，恒成立 即当时，恒成立，‎ 设，则 当时，，则在上单调递增 当时，，则在上单调递减 当时，取得最大值为 则要使时，恒成立，的取值范围是 故选 ‎【点睛】‎ 本题以函数为载体，考查恒成立问题，解题的关键是分离含参量，运用导数求得新函数的最值，继而求出结果，当然本题也可以不分离参量来求解，依然运用导数来分类讨论最值情况。‎ 二、填空题 ‎13．已知椭圆的参数方程为，则该椭圆的普通方程是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用公式即可得到结果 ‎【详解】‎ 根据题意，‎ 解得 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查的是椭圆的参数方程，解题的关键是掌握，属于基础题 ‎14．设随机变量服从正态分布，如果，则 ________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据随机变量符合正态分布和正态分布的曲线关于对称，得到一对对称区间的概率之间的关系，即可求得结果 ‎【详解】‎ 随机变量服从正态分布 曲线关于直线对称 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查的知识点是正态分布，解题的关键是正态分布和正态分布的曲线关于对称，属于基础题。‎ ‎15．若，其中都是实数，是虚数单位，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先进行复数的乘法运算，得到，的值，然后代入求解即可得到结果 ‎【详解】‎ 解得，‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题是一道关于考查复数概念的题目，熟练掌握复数的四则运算是解题的关键，属于基础题。‎ ‎16．从长为、宽为的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设小正方形的边长为，可表示出盒子的容积，利用导数求得其最大值 ‎【详解】‎ 设小正方形的边长为 则盒子的容积 当时，，当时，‎ 时，取得极大值，也是最大值，‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了导数在解决实际问题中的应用，考查了学生的阅读理解能力和利用数学知识解决问题的能力，属于基础题目。‎ 三、解答题 ‎17．已知二项式的展开式中各项的系数和为.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求展开式中的常数项．‎ ‎【答案】（1）8；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎⑴观察可知，展开式中各项系数的和为，即，解出得到的值 ‎⑵利用二次展开式中的第项，即通项公式，将第一问的代入，并整理，令的次数为，解出，得到答案 ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，得，即＝256，解得n＝8. ‎ ‎（2）该二项展开式中的第项为Tr＋1＝，令＝0，得r＝2，此时，常数项为＝28.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考的是利用赋值法解决展开式的系数和问题，考查了利用二次展开式的通项公式解决二次展开式的特定项问题。‎ ‎18．已知函数在与时都取得极值．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求函数的单调区间.‎ ‎【答案】（1）；（2）增区间是 和，减区间是 ．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎⑴求出，并令其为得到方程，把与代入求出的值 ‎⑵求出，分别令，，求出的范围，即可得到函数的单调区间 ‎【详解】‎ ‎⑴，‎ 由 ‎ 解得 ‎⑵由⑴可知 令，解得 令，解得或 的增区间是 和，减区间为 ‎【点睛】‎ 本题考查的是函数在某点取得极值的条件以及利用导数研究函数的单调性，较为基础，只要运用法则来求解即可。‎ ‎19．在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：‎ ‎（1）该顾客中奖的概率；‎ ‎（2）该顾客获得的奖品总价值元的概率分布列．‎ ‎【答案】（1）；（2）分布列见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎⑴运用古典概率方法，从有奖的4张奖券中抽到了1张或2张算出答案 依题意可知，的所有可能取值为，用古典概型分别求出概率，列出分布列 ‎【详解】‎ ‎（1）该顾客中奖，说明是从有奖的4张奖券中抽到了1张或2张，由于是等可能地抽取，所以该顾客中奖的概率 P＝.（或用间接法，P=1-）. ‎ ‎(2)依题意可知，X的所有可能取值为0,10,20,50,60(元)，且 P(X＝0)＝，P(X＝10)＝，P(X＝20)＝，‎ P(X＝50)＝，P(X＝60)＝.所以X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎60‎ P ‎【点睛】‎ 本题主要考查的是等可能事件的概率及离散型随机变量及其分布列，本题的解题关键是看出要求概率的事件包含的结果数比较多，注意做到不重不漏 ‎20．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线上两点的极坐标分别为，圆的参数方程为（为参数）．‎ ‎（1）设为线段的中点，求直线的平面直角坐标方程；‎ ‎（2）判断直线与圆的位置关系．‎ ‎【答案】(Ⅰ)(Ⅱ) 直线和圆相交 ‎【解析】试题分析：（1）根据极值互化的公式得到的平面直角坐标为，再根据中点坐标公式得到的坐标为（2）根据参普互化的公式得到直线的一般方程，在比较圆心到直线的距离的大小关系，从而得到直线和圆的位置关系.‎ ‎（1）的平面直角坐标为 于是的坐标为 所以的平面直角坐标方程为：‎ ‎（2）直线的方程为：‎ 圆的方程为：，‎ 到的距离 所以与相交.‎ ‎21．电视传媒公司为了解世界杯期间某地区电视观众对《战斗吧足球》节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该节目时间的频率分布直方图：‎ ‎(注：频率分布直方图中纵轴表示，例如，收看时间在分钟的频率是)‎ 将日均收看该足球节目时间不低于40分钟的观众称为“足球迷”．‎ ‎（1）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料判断是否可以认为“足球迷”与性别有关？如果有关，有多大把握？‎ 非足球迷 足球迷 合计 男 女 ‎10‎ ‎55‎ 合计 ‎（2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“足球迷”人数为．若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列、均值和方差．‎ 附：， ‎ ‎【答案】（1）；（2），.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎⑴由所给的频率分布直方图计算出“足球迷”人数和“非足球迷”人数，填入列联表，计算观测值，对照临界值得到答案 ‎⑵由频率分布直方图知，抽到“足球迷”的频率为，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“足球迷”的概率为，由于，从而给出分布列，再由公式计算出均值和方差 ‎【详解】‎ ‎(1)由所给的频率分布直方图知，“足球迷”人数为100(100.020＋100.005)＝25，‎ ‎“非足球迷”人数为75，从而22列联表如下 非足球迷 足球迷 合计 男 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ 女 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 合计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ 将22列联表的数据代入公式计算：‎ ‎， ‎ 因为2.706<3.030<3.841，所以有90%的把握认为“足球迷”与性别有关． ‎ ‎(2)由频率分布直方图知，抽到“足球迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“足球迷”的概率为.由题意，X～B，从而X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P EX＝np＝3＝，DX＝np(1－p)＝3.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查的是独立性检验的运用及期望与方差的求法，频率分布直方图的性质，涉及到的知识点比较多，有一定的综合性，难度不大，是高考中的易考题型，属于中档题 ‎22．已知函数.‎ ‎（1）当时，求的图像在处的切线方程；‎ ‎（2）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎⑴求出函数的导数，利用导数的几何意义即可求出的图像在处的切线方程 ‎⑵利用导数求出函数在上的极值和最值，即可得到答案 ‎【详解】‎ ‎(1)当a＝2时，f(x)＝2lnx－x2＋2x，f′(x)＝－2x＋2，切点坐标为(1,1)，切线的斜率k＝f′(1)＝2，则切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0. ‎ ‎(2)g(x)＝2lnx－x2＋m，则g′(x)＝－2x＝.∵x∈[，e]，‎ ‎∴当g′(x)＝0时，x＝1.当0；当1

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