数学文卷·2018届天津市耀华中学高三上学期第一次月考试题（解析版）

数学文卷·2018届天津市耀华中学高三上学期第一次月考试题（解析版）

天津市耀华中学2018届高三年级第一次月考 文科 数学试卷 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.是虚数单位，复数等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意 故选A ‎2. 下列函数中，既是偶函数，又在区间内是增函数的为( )‎ A. ， B. ，且 C. ， D. ，‎ ‎【答案】B ‎【解析】对于A，令，则，所以在上为偶函数，而在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递减，在上单调递增，故A错误；‎ 对于B，令，，且，同理可证为偶函数，当时，，为增函数，故B满足题意；‎ 对于C，令，，，为奇函数，故C错误；‎ 对于D，为非奇非偶函数，故D错误.‎ 故选B ‎3. 函数，（）的最大值和最小值分别是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：，，‎ ‎，∴当时，，当时，.故选B．‎ 考点：1、函数的基本性质；2、二次函数；3、同角的三角函数基本关系式．‎ ‎4. 设函数，则不等式的解集为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】当时，即 ，故 ‎ ；‎ 当时，即 或 ，故 ；‎ 综上，不等式的解集为 故选C ‎5. 要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点( )‎ A. 横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，所得图象再向左平移个单位 B. 横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，所得图象再向右平移个单位 C. 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象向左平移个单位 D. 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象向右平移个单位 ‎【答案】C ‎【解析】根据，令 要得到的图象，需将函数的所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到 ‎∵‎ ‎∴将的图象向左平移个单位长度，可得到的图象 故选C ‎6. 已知函数的图象如下图，（其中是函数的导数)，下面四个图像中，的图象大致是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由函数的图象可知：‎ 当时，，，此时单调递增；‎ 当时，，，此时单调递减；‎ 当时，，，此时单调递减；‎ 当时，，，此时单调递增.‎ 综上所述，故选C ‎7. “命题为真”是“命题为真”的( )‎ A. 充分必要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 ‎【答案】D ‎【解析】 对于：若为真命题，则至少有一个为真命题，若为真命题，则都为真命题，则“为真命题”是“为真命题”的必要不充分条件，故选D.‎ ‎8. 若，，，，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：因为，所以，所以．因为，所以，所以，所以＝＋，故选C．‎ 考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、两角差的余弦函数．‎ ‎【方法点睛】三角函数的化简与求值要遵循“三看”原则：（1）一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理地拆分，从而正确使用公式；（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，常见的有“通分”“去根号”“降幂”等．‎ ‎9. 已知函数，，的零点分别为，则的大小关系为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵函数，，的零点分别为 ‎∴，，‎ 即，，‎ ‎∴根据函数图象可得，，，‎ ‎∴‎ 故选A ‎10. 函数有两个极值点，则实数的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 函数，则，‎ ‎ 令，得，‎ 函数有两个极值点，等价于有两个零点，‎ 等价于函数与的图象有两个交点，‎ 在同一坐标系中作出它们的图象（如图），‎ 当时，直线与的图象相切，‎ 由图可知，当时，与的图象有两个交点，‎ 则实数的取值范围是，故选B.‎ ‎11. 已知，且，则( )‎ A. -5 B. -3 C. 3 D. 随的取值而定 ‎【答案】C ‎【解析】 设，则，‎ ‎ 因为，，‎ ‎ 所以，‎ ‎ 所以 ‎ 所以，故选C.‎ ‎12. 已知函数定义域为，且函数的图象关于直线对称，当时，（其中是的导函数），若，，，则的大小关系为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：解：因为函数的图象关于直线对称，所以函数的图象关于轴对称，所以是上的偶函数；‎ 当时，，‎ 所以 ‎=(因为)‎ 所以在上为减函数，在上为增函数；‎ 又因为，，‎ 所以，‎ 所以，，故选B.‎ 考点：1、函数的奇偶性的应用；2、函数单调性判断及其应用；3、指数函数、对数函数的性质.‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题：共8 个小题，每小题5分，共40分，将答案填写在答题纸上．‎ ‎13. 已知集合，，则集合__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵集合，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 故答案为 ‎14. 函数的值域为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 由题意得，设，且，整理得 ‎ ‎ 因为，所以，所以，解得或，‎ ‎ 所以函数的值域为.‎ ‎15. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 因为函数的定义域为，即，‎ ‎ 所以，所以函数的定义域为，‎ ‎ 令，解得，即函数的定义域为为.‎ ‎16. 已知偶函数对任意满足，且当时，，则的值为__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】∵‎ ‎∴‎ ‎∵为偶函数 ‎∴‎ ‎∴，即函数的周期为4‎ ‎∴‎ ‎∵当时，‎ ‎∴‎ 故答案为1‎ ‎ ‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】∵‎ ‎∴函数关于对称 构造函数，当时，‎ ‎，则与在时的图象如图所示：‎ ‎∴根据图象可得，当时，与的图象有4个交点 ‎∴根据对称性，与的图象在时有8个交点.‎ 故答案为8‎ ‎18. 己知奇函数的定义域为，且在上是增函数，关于的不等式 对所有都成立，则实数的范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 因为位奇函数，且在上是增函数，‎ ‎ 则在上为增函数，且，‎ 所以原不等式可化为，‎ 所以，即，‎ 令，则原不等式可转化为：‎ 当时，是否存在，使得恒成立，‎ 由，，得时，‎ 令，即当且仅当时，取得最小值，‎ 故，‎ 即存在实数，且.‎ ‎ 点睛：本题主要考查了函数的基本性质的综合应用，其中解答中涉及函数的单调性，函数的奇偶性等应用，以及利用基本不等式求最值等知识点的综合运用，同时着重考查了转化思想的应用，试题有一定的难度，属于中档试题，解答中根据函数的奇偶性，借助函数的单调性转化不等式关系是解答的关键.‎ ‎19. 设函数，，对，不等式恒成立，则正数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 因为当时，，‎ ‎ 所以时，函数有最小值，‎ ‎ 因为，所以，‎ ‎ 当时，，则函数在上单调递增，‎ ‎ 当时，，则函数在上单调递减，‎ ‎ 所以时，函数有最大值，‎ ‎ 则有，‎ ‎ 因为恒成立，且，所以，所以.‎ ‎ 点睛：本题主要考查了利用基本不等式求解函数的最值，恒成立问题的求解，其中解答中涉及到利用基本不等式的最值，利用函数导数研究函数的单调性，利用导数求解函数的最值的综合运用，试题有一定的难度，属于难题，解答中利用导数、合理转化是解答的关键.‎ ‎20. 已知函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】画出的图象如图所示：‎ 当时，显然成立 当时，直线与相切，即，判别式为，解得或（舍），即有 当时，直线与，设直线与相切，切点坐标为，可得，解得，由直线过定点，所以要使在时恒成立，只需，即有 ‎ 综上所述：‎ 故答案为 三、解答题 （本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎21. 设函数，（）.‎ ‎(Ⅰ)求函数的最小正周期及单调增区间；‎ ‎(Ⅱ) 当时，的最小值为O，求实数的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）的单调增区间为，，的最小正周期为；；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）利用两角和的余弦公式、正弦公式化简解析式，由三角函数的周期公式求出的最小正周期，由正弦函数的增区间求出的单调增区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得在区间上单调递增，在区间上单调递减，然后比较与的大小，求出的最小值，列出方程，即可求解的值.‎ 试题解析：：（Ⅰ）‎ ‎ ‎ ‎，‎ 由，得，‎ 则的单调增区间为 ，的最小正周期为； ‎ ‎（Ⅱ）∵函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，，，，∴．‎ ‎22. 如图，在四棱锥中，底面是矩形.已知，，，， .‎ ‎(Ⅰ) 证明: 平面；‎ ‎(Ⅱ)求异面直线与所成角的正切值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．‎ ‎（Ⅱ）由题设，，可得（或其补角）是异面直线与所成的角.‎ 在中，由余弦定理得，在是直角三角形，求解的值，即可异面直线与所成的角. ‎ ‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）证明：在中，由题设可得 于是.在矩形中，.又，‎ 所以平面.‎ ‎（Ⅱ）由题设，，所以（或其补角）是异面直线与所成的角.‎ 在中，由余弦定理得 由（Ⅰ）知平面，平面，‎ 所以，因而，于是是直角三角形，故 所以异面直线与所成的角的大小的正切值为.‎ ‎23. 已知点，椭圆离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程；‎ ‎(Ⅱ)设过点的动直线与相交于两点，当的面积最大时，求直线的方程.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或.．‎ ‎【解析】试题分析：设出，由直线的斜率为求得，结合离心率求得，再由隐含条件求得，即可求椭圆方程；（2）点轴时，不合题意；当直线斜率存在时，设直线，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得的范围，再由弦长公式求得，由点到直线的距离公式求得到的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出值，则直线方程可求.‎ 试题解析：（1）设，因为直线的斜率为，‎ 所以，. ‎ 又 解得，‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）解：设 由题意可设直线的方程为：，‎ 联立消去得，‎ 当，所以，即或时 ‎.‎ 所以 点到直线的距离 所以，‎ 设，则，‎ ‎，‎ 当且仅当，即，‎ 解得时取等号，‎ 满足 所以的面积最大时直线的方程为：或.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.‎ ‎ ‎ ‎24. 己知函数的图象在点处的切线方程为.‎ ‎(Ⅰ)用表示出；‎ ‎(Ⅱ)若在上恒成立，求的取值范围；‎ ‎(Ⅲ)证明: ．‎ ‎【答案】（Ⅰ）,；（Ⅱ）；（III）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）通过函数的导数，利用导数数值就是切线的斜率，切点在切线上，求出即可；（2）利用，构造函数，问题可转化为在上恒成立，利用导数求出函数上最小值大于，即可求出的取值范围；（3）由（1）可知时，在上恒成立，则当时，在上恒成立，对不等式的左侧每一项裂项，然后求和，即可推出要证的结论；或利用数学归纳法的证明步骤，证明不等式成立即可．‎ 试题解析：（1），则有，解得，‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 令，‎ 则，‎ ‎①当时，，‎ 若，则是减函数，所以，‎ 即，故在上不恒成立．‎ ‎②当时，．‎ 若，则是增函数，所以，‎ 即，故当时，．‎ 综上所述，所求的取值范围为．‎ ‎（3）解法一：由（2）知：当时，有，‎ 令，有，且当时，．‎ 令，有，‎ 即．‎ 将上述个不等式依次相加得，‎ 整理得．‎ 解法二：用数学归纳法证明．‎ ‎（1）当时，左边=1，右边=，不等式成立．‎ ‎（2）假设时，不等式成立，就是、‎ ‎．‎ 那么．‎ 由（2）知：当时，有，‎ 令，有．‎ 令，得：，‎ ‎∴，∴．‎ 这就是说，当时，不等式也成立．‎ 根据（1）和（2），可知不等式对任何都成立．‎ 考点：函数的恒成立；利用导数在闭区间上函数的最值；领用导数研究曲线上某点切线方程；数学归纳法及数列求和．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了函数与导数的关系、曲线切线方程的求解、函数恒成立问题的应用、同时涉及到累加法与裂项法的应用、数学归纳法的应用等知识，知识综合能力较强，方法多样、思维量与运算大，属于难题，需要仔细审题、认真解答，同时着重考查了转化与化归思想及分类讨论思想的应用，本题的解答中，利用，构造函数，问题可转化为在上恒成立，利用导数求出函数上最小值大于，即可求出的取值范围；第三问中可对不等式的左侧每一项裂项，然后求和，即可推出要证的结论；或利用数学归纳法的证明步骤，证明不等式成立即可．‎ ‎ ‎