江苏省扬州中学2021届高三10月月考数学试题 Word版含答案
江苏省扬州中学 2020-2021 学年高三年级月考数学试题
2020.10.5
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合 A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则 A∩B＝( )．
A．{1,4} B．{2,3} C．{9,16} D．{1,2}
2．点 P 从（1,0）出发，沿单位圆按顺时针方向运动 弧长到达Q 点，则Q 的坐标为
（ ）
12
A． (，) B． (-，) C． (，-) D． (-,)
12
3. 若幂函数 f (x)的图象过点(,)，则函数 g (x) =的递增区间为（ ）
A.(0,2) B.(-¥,0)È(2,+¥) C.( -2,0) D. (-¥,-2)È (0,+¥)
4．已知函数 f (x) 的部分图象如图所示，则 f (x) 的解析式可能为（ ）
12
A． f (x) =
sin | x | 2 + cos x
B． f (x) = sin x ln | x |
2 + cos x
12
12
C． f (x) = cos x ln | x |
2 + cos x
D． f (x) = cos x
x
12
5．2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联
12
系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 L2 点的轨道运行． L2 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为 M1 ，月球质量为 M 2 ，地月距离为 R ， L2 点到月球的距离为 r ， 根据牛顿运动定律和万有引力定律， r 满足方程：
. 设，由于 a 的 值 很 小 ， 因 此 在 近 似 计 算 中
，则r 的近似值为( )
D． 3 M 2 R
3M1
M 2
M1
M 2
2M1
C． 3 3M2 R
M1
A． R B． R
6.已知函数若存在实数 x1，x2 满足0 x1
0 B. ln( y - x +1) < 0 C.ln | x - y |> 0 D.ln | x - y |< 0
8.设平行于 x 轴的直线l 分别与函数 y = 2x 与 y = 2x+1 的图像相交于点 A, B ,若函数 y = 2x 的图像上存在点C ,使得DABC 为等边三角形，则这样的直线l （ ）
A.不存在 B.有且只有一条 C.有且只有两条 D.有无数条
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分.
9．5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对 GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值．如图，某单位结合近年数据，对今后几年的 5G 经济产岀做出预测，由图提供的信息可知（ ）
12
A．运营商的经济产出逐年增加
B．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓
C．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位
D．信息服务商与运营商的经济产岀的差距有逐步拉大的趋势
10.下列说法正确的是（ ）
A.“ a > 1”是“a2 > 1”的充分不必要条件
B. “ 4 < a < 2 ”是“ (a -1)-2 < (2a - 3)-2 ”的充要条件
3
C.命题“ "x R, x2 +1 < 0 ”的否定是“ $x R ,使得 x2 +1 0 ”
D. 已知函数 y = f (x) 的定义域为 R ,则 “ f (0) = 0 ”是“函数 y = f (x) 为奇函数”的必要不充分条件
11.已知函数 y = f (x) 是奇函数，且对定义域内的任意 x 都有 f (1+ x) = - f (1- x) ，当x (2, 3) 时， f (x) = log2 (x -1) ，以下 4 个结论正确的有（ ） A.函数 y = f (x) 的图像关于点(1, 0) 成中心对称；
B.函数 y = f (x) 是以 2 为周期的周期函数； C.当 x (-1, 0) 时， f (x) = - log2 (1- x) ; D.函数 y = f (| x |) 在(-1, 0) 上单调递增.
12.关于函数 f (x) = a ln x + ，下列判断正确的是（ ）
A. 当a =1时， f (x) ln 2 +1；
B. 当a = -1时，不等式 f (2x -1)- f (x) > 0 的解集为;
C. 当a > e 时， 函数 f (x)有两个零点；
D. 当 f (x) 的最小值为 2 时， a = 2 .
三、填空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.已知 f (x) 为偶函数，当 x < 0 时， f (x) = ln(-x) + 3x ，则曲线 y = f (x) 在点(1, -3)
12
处的切线斜率是 .
14.函数 f (x) = cos 2x + cos x 的最小值等于 .
15. 设a = log4 9 ， b = 2-1.2 ， c = ，则将a, b, c 按从大到小排序： .
16．设函数 f (x) = x(x -1)(x - a) （其中a > 1）有两个不同的极值点 x1, x2 ，若不等式
f (x1 ) + f (x2 ) 0 成立，则实数a 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. .在① A B ；② CR B CR A ;③ A B = A; 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中。若问题中的实数a 存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由。
问题：已知集合 A = {x | log2 (x -1) > 1, x R}, B = {x | (x - a)(x - 4 + a) > 0, x R}, 是否存在
实数a，使得 ？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．已知 f (a ) =.
（1）化简 f (a ) ；
（2）若a 是第三象限角，且cos,求 f (a ) 的值.
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19. 随着城市规模的扩大和人们生活水平的日益提高，某市近年机动车保有量逐年递增.根据机动车管理部门的统计数据，以 5 年为一个研究周期，得到机动车每 5 年纯增数据情况为：
年度周期
1995~2000
2000~2005
2005~2010
2010~2015
2015~2020
时间变量 xi
1
2
3
4
5
纯增数量 yi
（单位：万辆）
3
6
9
15
27
其中i = 1, 2, 3,鬃 ，时间变量 xi 对应的机动车纯增数据为 yi ，且通过数据分析得到时间变量 x 与对应的机动车纯增数量 y （单位：万辆）具有线性相关关系.
（1）求机动车纯增数量 y （单位：万辆）关于时间变量 x 的回归方程，并预测 2025~2030 年间该市机动车纯增数量的值；
附：回归直线方程 y = bx + a 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
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（2）该市交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的赞同情况，随机采访了 220 名市民，将他们的意见和是否拥有私家车情况进行了统计，得到如下的2 2 列联表：
赞同限行
不赞同限行
合计
没有私家车
90
20
110
有私家车
70
40
110
合计
160
60
220
根据上面的列联表判断，能否有99% 的把握认为“对限行的意见与是否拥有私家车”有关.
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附： K 2 =
n (ad - bc)2
(a + b)(c + d )(a + c)(b + d )
， n = a + b + c + d .
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P (K 2 k )
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
19. 如图，三棱柱 ABC - A1B1C1 中，平面 AA1C1C ^ 平面 AA1B1B ， BAA1 = 45 ， CA = CB ,
点O 在棱 AA1 上， CO ^ AA1
（1）求证： AA1 ^ BC ；
（2）若 BB1 = 2AB = 2 ，直线 BC 与平面 ABB1 A1 所成角为45 ， D 为CC1 的中点，求二面
角 B1 - A1D - C1 的余弦值.
21．已知函数 f (x) = x | 2a - x | +2x, a R
(1)若函数 f (x) 在 R 上是增函数，求实数a 的取值范围（直接写出结果，不需要解题过程)；
(2)若存在实数a [-2, 2]，使得关于 x 的方程 f (x) - tf (2a) = 0 有三个不相等的实数根，求实数
t 的取值范围.
22.若函数 f (x) = ex - e- x - mx(m R) 在 x = x0时 f(x)有极小值 f (x0 ) ．
（1）求实数m 的取值范围；
（2）若 恒成立，求实数m 的最大值．
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一、单项选择题：
1—5.ACABD 6—8.BAB
二、多项选择题：
9．ABD 10.ACD 11.ABC 12. ABD
三、填空题：
13. 14. 15. a＞c＞b 16．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.解：由得即，故
选①：
当时，；
当时，即；
当时，此时
综上：
选②③：答案同①
18．解：（1）；
（2）是第三象限角,，
又，所以，所以
12
故
19. 解：（1）由
年度周期
1
2
3
4
5
纯增数量（单位：万辆）
3
6
9
15
27
所以，，
.
所以.
因为过点，所以，
，所以.
2025~2030年时，，所以，
所以2025~2030年间，机动车纯增数量的值约为34.8万辆.
（2）根据列联表，计算得的观测值为
，
，
所以有的把握认为“对限行的意见与是否拥有私家车有关”.
20. 解：（1），当时，的对称轴为：；
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当时，的对称轴为：；∴当时，在R上是增函数，即时，函数在上是增函数；
（2）方程的解即为方程的解．
①当时，函数在上是增函数，∴关于的方程不可能有三个不相等的实数根；
②当时，即，∴在上单调增，在上单调减，在上单调增，∴当时，关于的方程有三个不相等的实数根；即，∵∴．
设，∵存在使得关于的方程有三个不相等的实数根， ∴，又可证在上单调增
∴∴；
③当时，即，∴在上单调增，在上单调减，在上单调增，
∴当时，关于的方程有三个不相等的实数根；
即，∵∴，设
∵存在使得关于的方程有三个不相等的实数根，
∴，又可证在上单调减∴
∴；
综上：．
21．
（1）
12
因为平面平面，
所以平面，故，
又因为，，，
所以，故，
因为，所以，
又因为，所以平面，故.
（2）以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
因为平面，
所以是直线与平面所成角，
故，
所以，，
，，，，，，
设平面的法向量为，则
，所以，
令，得，
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因为平面，
所以为平面的一条法向量，
，
，
所以二面角的余弦值为.
22. 解：（1）方法一：由（1）可得f(x)＝ex－e－x－mx，所以f '(x)＝ex＋e－x－m＝．
①当m≤2时，由于e2x－mex＋1≥0恒成立，
即f '(x)≥0恒成立，故不存在极小值．
②当m＞2时，令ex＝t，则方程t2－mt＋1＝0有两个不等的正根t1，t2 (t1＜t2)，
故可知函数f(x)＝ex－e－x－mx在(－∞，lnt1)，(lnt2，＋∞)上单调递增，
在(lnt1，lnt2)上单调递减，即在lnt2处取到极小值，
所以，m的取值范围是(2，＋∞)．
方法二：由（1）可得f(x)＝ex－e－x－mx，令g(x)＝f '(x)＝ex＋e－x－m，
则g′ (x)＝ex－e－x＝．
故当x≥0时，g′(x)≥0；当x＜0时，g′(x)＜0，
故g(x)在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增，所以g(x)min＝g(0)＝2－m．
①若2－m≥0，则g(x)≥0恒成立，所以f(x)单调递增，此时f(x)无极值点．
②若2－m＜0，即m＞2时，g(0)＝2－m＜0．取t＝lnm，则g(t)＝＞0．
又函数g(x)的图象在区间[0，t]上不间断，所以存在x0∈ (0，t)，使得 g(x0)＝0．
又g(x)在(0，＋∞)上递增，
所以x∈(0，x0)时，g(x)＜0，即f '(x)＜0；x∈(x0，＋∞)时，g(x)＞0，即f '(x)＞0，
所以f(x0)为f(x)极小值，符合题意．
所以，m的取值范围是(2，＋∞)．
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（2）由x0满足e＋e＝m，代入f(x)＝ex－e－x－mx,
消去m，可得f(x0)＝(1－x0)e－(1＋x0)e．
构造函数h(x)＝(1－x)ex－(1＋x)e－x，所以h′(x)＝x(e－x－ex)．
当x>0时，e－x－ex＝≤0，所以当x>0时，h′(x)≤0恒成立，
故h(x)在(0，＋∞)上为单调减函数，其中h(1)＝－,
则f(x0)≥－可转化为h(x0)≥h(1)，故00时，y’＝ex－e－x≥0，所以y＝ex＋e－x在(0，1]上递增，故m≤e＋．
综上，m的最大值为e＋．
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