数学卷·2018届江苏省扬州中学高二上学期期中数学试卷 （解析版）

数学卷·2018届江苏省扬州中学高二上学期期中数学试卷 （解析版）

‎2016-2017学年江苏省扬州中学高二（上）期中数学试卷 ‎　‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.‎ ‎1．命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是　　．‎ ‎2．直线y=x+1的倾斜角是　　．‎ ‎3．若方程+=1表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎4．命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题是　　．‎ ‎5．与椭圆+=1有相同的焦点，且离心率为的椭圆标准方程为　　．‎ ‎6．如果对任何实数k，直线（3+k）x+（1﹣2k）y+1+5k=0都过一个定点A，那么点A的坐标是　　．‎ ‎7．如果p：x＞2，q：x＞3，那么p是q的　　条件．（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选出适当的一种填空）‎ ‎8．已知椭圆+上一点M到左焦点F1的距离是8，则M到右准线的距离为　　．‎ ‎9．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线与直线l：2x﹣y+1=0垂直，则实数a=　　．‎ ‎10．如果实数x，y满足等式（x﹣2）2+y2=3，那么的最大值是　　．‎ ‎11．圆心在抛物线y=x2上，并且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程为　　．‎ ‎12．已知F1、F2为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2作双曲线渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|2﹣|PF2|2=c2．则双曲线离心率的值为　　．‎ ‎13．已知直线： ax+by=1（其中a，b是实数） 与圆：x2+y2=1（O是坐标原点）相交于A，B两点，且△AOB是直角三角形，点P（a，b）是以点M（0，1）为圆心的圆M上的任意一点，则圆M的面积最小值为　　．‎ ‎14．已知直线l：y=x+4，动圆O：x2+y2=r2（1＜r＜2），菱形ABCD的一个内角为60°，顶点A，B在直线l上，顶点C，D在圆O上．当r变化时，菱形ABCD的面积S的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.‎ ‎15．已知命题p：“关于x，y的方程x2﹣2ax+y2+2a2﹣5a+4=0（a∈R）表示圆”，命题q：“∀x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1＞0（a∈R）恒成立”．‎ ‎（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若命题p∧q为真命题，求实数a的取值范围．‎ ‎16．已知直线l过点P（2，1）‎ ‎（1）点A（﹣1，3）和点B（3，1）到直线l的距离相等，求直线l的方程；‎ ‎（2）若直线l与x正半轴、y正半轴分别交于A，B两点，且△ABO的面积为4，求直线l的方程．‎ ‎17．如图，F1，F2分别是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是椭圆C的上顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2=60°‎ ‎（1）求椭圆C的离心率；‎ ‎（2）若a=2，求△AF1B的面积．‎ ‎18．为了迎接青奥会，南京将在主干道统一安装某种新型节能路灯，该路灯由灯柱和支架组成．在如图所示的直角坐标系中，支架ACB是抛物线y2=2x的一部分，灯柱CD经过该抛物线的焦点F且与路面垂直，其中C在抛物线上，B为抛物线的顶点，DH表示道路路面，BF∥DH，A为锥形灯罩的顶，灯罩轴线与抛物线在A处的切线垂直．安装时要求锥形灯罩的顶到灯柱的距离是1.5米，灯罩的轴线正好通过道路路面的中线．‎ ‎（1）求灯罩轴线所在的直线方程；‎ ‎（2）若路宽为10米，求灯柱的高．‎ ‎19．已知圆O：x2+y2=4与x轴负半轴的交点为A，点P在直线l： x+y﹣a=0上，过点P作圆O的切线，切点为T ‎（1）若a=8，切点T（，﹣1），求点P的坐标；‎ ‎（2）若PA=2PT，求实数a的取值范围；‎ ‎（3）若不过原点O的直线与圆O交于B，C两点，且满足直线OB，BC，OC的斜率依次成等比数列，求直线l的斜率．‎ ‎20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为．A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足=，‎ ‎（1）若点P的坐标为（2，），求椭圆的方程；‎ ‎（2）设过点P的一条直线交椭圆于B，C两点，且=m，直线OA，OB的斜率之积﹣，求实数m的值；‎ ‎（3）在（1）的条件下，是否存在定圆M，使得过圆M上任意一点T都能作出该椭圆的两条切线，且这两条切线互相垂直？若存在，求出定圆M；若不存在，说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江苏省扬州中学高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.‎ ‎1．命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是　∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0　．‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．‎ ‎【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0；‎ 故答案为：∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0．‎ ‎　‎ ‎2．直线y=x+1的倾斜角是　　．‎ ‎【考点】直线的倾斜角．‎ ‎【分析】设直线y=x+1的倾斜角为α，α∈[0，π）．可得tanα=1，解得α即可得出．‎ ‎【解答】解：设直线y=x+1的倾斜角为α，α∈[0，π）．‎ ‎∴tanα=1，解得α=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎3．若方程+=1表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是　a＞7　．‎ ‎【考点】椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】方程=1表示焦点在x轴上的椭圆的充要条件是，即可求出实数m的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵方程+=1表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，‎ ‎∴，‎ 解得：a＞7．‎ ‎∴实数m的取值范围是a＞7．‎ 故答案为：a＞7．‎ ‎　‎ ‎4．命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题是　“若a2＞b2，则a＞b”　．‎ ‎【考点】四种命题．‎ ‎【分析】根据已知中的原命题，结合逆命题的定义，可得答案．‎ ‎【解答】解：命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题是“若a2＞b2，则a＞b”，‎ 故答案为：“若a2＞b2，则a＞b”‎ ‎　‎ ‎5．与椭圆+=1有相同的焦点，且离心率为的椭圆标准方程为　　．‎ ‎【考点】椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】由已知得所求椭圆的焦点坐标为（±，0），离心率为，由此能求出椭圆方程．‎ ‎【解答】解：由椭圆+=1，‎ 得a2=9，b2=4，‎ ‎∴c2=a2﹣b2=5，‎ ‎∴该椭圆的焦点坐标为（±，0）．‎ 设所求椭圆方程为，a＞b＞0，‎ 则，又，解得a=5．‎ ‎∴b2=25﹣5=20．‎ ‎∴所求椭圆方程为：．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎6．如果对任何实数k，直线（3+k）x+（1﹣2k）y+1+5k=0都过一个定点A，那么点A的坐标是　（﹣1，2）　．‎ ‎【考点】恒过定点的直线．‎ ‎【分析】由（3+k）x+（1﹣2k）y+1+5k=0可得3x+y+1+k（x﹣2y+5）=0，进而有x﹣2y+5=0且3x+y+1=0，由此即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由（3+k）x+（1﹣2k）y+1+5k=0可得3x+y+1+k（x﹣2y+5）=0‎ ‎∴x﹣2y+5=0且3x+y+1=0‎ ‎∴x=﹣1，y=2‎ ‎∴对任何实数k，直线（3+k）x+（1﹣2k）y+1+5k=0都过一个定点A（﹣1，2）‎ 故答案为：（﹣1，2）‎ ‎　‎ ‎7．如果p：x＞2，q：x＞3，那么p是q的　必要不充分　条件．（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选出适当的一种填空）‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】直接利用充要条件的判断方法结合集合的包含关系判断即可．‎ ‎【解答】解：因为p：x＞2，得不到q：x＞3；‎ 但是x＞3；得到x＞2；‎ 所以么p是q的必要不充分条件．‎ 故答案为：必要不充分．‎ ‎　‎ ‎8．已知椭圆+上一点M到左焦点F1的距离是8，则M到右准线的距离为　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】先由椭圆的第一定义求出点M到左焦点的距离，再用第二定义求出点M到右准线的距离d即可．‎ ‎【解答】解：由椭圆+，‎ 得a=5，b=3，c==4，‎ 由椭圆的第一定义得点M到右焦点的距离等于10﹣8=2，‎ 离心率e=，‎ 再由椭圆的第二定义得=e=，‎ ‎∴点M到右准线的距离d=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎9．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线与直线l：2x﹣y+1=0垂直，则实数a=　2　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】先求出直线方程的斜率，并表示出双曲线方程的渐近线，再由双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线与直线l：2x﹣y+1=0垂直可知两直线的斜率之积等于﹣1，可求出a的值．‎ ‎【解答】解：直线l：2x﹣y+1=0的斜率等于2，双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的渐近线可以表示为：y=±‎ 又因为双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线与直线l：2x﹣y+1=0垂直，‎ ‎∴2×（﹣）=﹣1，∴a=2，‎ 故答案为2‎ ‎　‎ ‎10．如果实数x，y满足等式（x﹣2）2+y2=3，那么的最大值是　　．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】设，的最大值就等于连接原点和圆上的点的直线中斜率的最大值，由数形结合法的方式，易得答案．‎ ‎【解答】解：设，则y=kx表示经过原点的直线，k为直线的斜率．‎ 所以求的最大值就等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的最大值．‎ 从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且与圆相切，‎ 此时的斜率就是其倾斜角∠EOC的正切值．‎ 易得，可由勾股定理求得|OE|=1，‎ 于是可得到，即为的最大值．‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎11．圆心在抛物线y=x2上，并且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程为　（x±1）2+（y﹣）2=1　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】由题意设出圆心坐标，由相切列出方程求出圆心坐标和半径，代入圆的标准方程即可．‎ ‎【解答】解：由题意知，设P（t， t2）为圆心，且准线方程为y=﹣，‎ ‎∵与抛物线的准线及y轴相切，‎ ‎∴|t|=t2+，‎ ‎∴t=±1．‎ ‎∴圆的标准方程为（x±1）2+（y﹣）2=1．‎ 故答案为：（x±1）2+（y﹣）2=1．‎ ‎　‎ ‎12．已知F1、F2为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2作双曲线渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|2﹣|PF2|2=c2．则双曲线离心率的值为　2　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】求出双曲线的一条渐近线方程，运用点到直线的距离公式，求得|PF2|=b，运用余弦函数的定义和余弦定理，计算即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，‎ F2（c，0）到渐近线的距离为d=|PF2|==b，‎ cos∠POF2==，‎ 在△POF1中，|PF1|2=|PO|2+|OF1|2﹣2|PO|•|OF1|•cos∠POF1‎ ‎=a2+c2﹣2ac•（﹣）=3a2+c2，‎ 则|PF1|2﹣|PF2|2=3a2+c2﹣b2=4a2，‎ ‎∵|PF1|2﹣|PF2|2=c2，‎ ‎∴4a2=c2，‎ ‎∴e=2．‎ 故答案为2．‎ ‎　‎ ‎13．已知直线： ax+by=1（其中a，b是实数） 与圆：x2+y2=1（O是坐标原点）相交于A，B两点，且△AOB是直角三角形，点P（a，b）是以点M（0，1）为圆心的圆M上的任意一点，则圆M的面积最小值为　（3﹣2）π　．‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】根据圆的方程找出圆心坐标和半径，由|OA|=|OB|根据题意可知△AOB是等腰直角三角形，根据勾股定理求出|AB|的长度，根据等腰直角三角形的性质可得圆心到直线的距离等于|AB|的一半，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离，两者相等即可得到a与b的轨迹方程为一个椭圆，圆M的面积最小时，所求半径为椭圆a2+=1上点P（a，b）到焦点（0，1）的距离最小值，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由圆x2+y2=1，所以圆心（0，0），半径为1‎ 所以|OA|=|OB|=1，则△AOB是等腰直角三角形，得到|AB|=‎ 则圆心（0，0）到直线ax+by=1的距离为，‎ 所以2a2+b2=2，即a2+=1．‎ 因此，圆M的面积最小时，所求半径为椭圆a2+=1上点P（a，b）到焦点（0，1）的距离最小值，由椭圆的性质，可知最小值为﹣1．‎ 所以圆M的面积最小值为π（﹣1）2=（3﹣2）π．‎ 故答案为：（3﹣2）π．‎ ‎　‎ ‎14．已知直线l：y=x+4，动圆O：x2+y2=r2（1＜r＜2），菱形ABCD的一个内角为60°，顶点A，B在直线l上，顶点C，D在圆O上．当r变化时，菱形ABCD的面积S的取值范围是　（0，）∪（，6）　．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】设AB=a，直线CD的方程为y=x+b，则圆心到直线的距离为d=＜r，进而可得b的范围，结合=，可得a的范围，再由菱形ABCD的面积S=a2，得到答案．‎ ‎【解答】解：设AB=a，直线CD的方程为y=x+b，‎ 则圆心到直线的距离为d=＜r，‎ 又由1＜r＜2，‎ ‎∴﹣2＜b＜4，且b≠1‎ ‎∵=，‎ ‎∴b=4﹣a，‎ ‎∴a=（4﹣b）‎ ‎∴0＜a＜，或＜a＜2，‎ ‎∴菱形ABCD的面积S=a2∈（0，）∪（，6），‎ 故答案为：（0，）∪（，6）‎ ‎　‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.‎ ‎15．已知命题p：“关于x，y的方程x2﹣2ax+y2+2a2﹣5a+4=0（a∈R）表示圆”，命题q：“∀x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1＞0（a∈R）恒成立”．‎ ‎（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若命题p∧q为真命题，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用；函数恒成立问题．‎ ‎【分析】（1）若命题p为真，则4a2﹣4（2a2﹣5a+4）＞0，解得实数a的取值范围；‎ ‎（2）若命题p∧q为真命题，则命题p，q均为真命题，进而可得实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）若命题p为真，‎ 则4a2﹣4（2a2﹣5a+4）＞0，‎ 整理得到a2﹣5a+4＜0，‎ 解得1＜a＜4；‎ ‎（2）若命题q为真，则△=（a﹣1）2﹣4＜0，‎ 即a2﹣2a﹣3＜0‎ 解得：﹣1＜a＜3‎ 若p∧q为真，‎ 则1＜a＜3．‎ ‎　‎ ‎16．已知直线l过点P（2，1）‎ ‎（1）点A（﹣1，3）和点B（3，1）到直线l的距离相等，求直线l的方程；‎ ‎（2）若直线l与x正半轴、y正半轴分别交于A，B两点，且△ABO的面积为4，求直线l的方程．‎ ‎【考点】待定系数法求直线方程．‎ ‎【分析】（1）若直线斜率不存在，点A，B到直线l的距离不相等．故直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为y=k（x﹣2）+1，代入点到直线距离公式，求出k值，可得答案；‎ ‎（2）由题可设l的截距式方程为：，结合已知构造方程，可得a，b的值，进而得到答案．‎ ‎【解答】解：（1）若直线斜率不存在，即x=2，此时，点A，B到直线l的距离不相等．‎ 故直线l的斜率一定存在，‎ 设直线l的方程为y=k（x﹣2）+1，即kx﹣y﹣2k+1=0，‎ 由题意得： =‎ 解之得：k=﹣或k=﹣1，‎ 故所求直线方程为x+2y﹣4=0或x+y﹣3=0‎ ‎（2）由题可知，直线l的横、纵截距a，b存在，且均为正数，‎ 则l的截距式方程为：，又l过点（2，1），△ABO的面积为4，‎ ‎∴，‎ 解得，‎ 故l方程为，‎ 即x+2y﹣4=0．‎ ‎　‎ ‎17．如图，F1，F2分别是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是椭圆C的上顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2=60°‎ ‎（1）求椭圆C的离心率；‎ ‎（2）若a=2，求△AF1B的面积．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由题意可知：△AF1B为等边三角形，因此a=2c，e===，即可求得椭圆C的离心率；‎ ‎（2）由题意题意可知：当a=2，则c=1，由b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆方程，由直线的斜率k=﹣tan∠AF1F2=﹣，即可求得直线方程，代入椭圆方程，即可求得B点坐标，由=+=丨F1F2丨•丨AO丨+丨F1F2丨•丨yB丨，代入即可求得△AF1B的面积．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可知，△AF1B为等边三角形，‎ ‎∴a=2c，‎ ‎∴e===，‎ 椭圆C的离心率；‎ ‎（2）由（1）可知：a=2c，a=2，c=1，则b2=a2﹣c2，b=，‎ ‎∴椭圆方程为：，‎ ‎∴A（0，），F2（1，0），‎ ‎∴直线AC的斜率k=﹣tan∠AF1F2=﹣，‎ ‎∴直线AC的方程为y﹣0=﹣（x﹣1）=﹣x+，‎ ‎∴，解得：或（舍）‎ ‎∴点B的坐标为（，﹣），‎ 所以 ‎=+=丨F1F2丨•丨AO丨+丨F1F2丨•丨yB丨=•2•+•2•=，‎ ‎∴△AF1B的面积．‎ ‎　‎ ‎18．为了迎接青奥会，南京将在主干道统一安装某种新型节能路灯，该路灯由灯柱和支架组成．在如图所示的直角坐标系中，支架ACB是抛物线y2=2x的一部分，灯柱CD经过该抛物线的焦点F且与路面垂直，其中C在抛物线上，B为抛物线的顶点，DH表示道路路面，BF∥DH，A为锥形灯罩的顶，灯罩轴线与抛物线在A处的切线垂直．安装时要求锥形灯罩的顶到灯柱的距离是1.5米，灯罩的轴线正好通过道路路面的中线．‎ ‎（1）求灯罩轴线所在的直线方程；‎ ‎（2）若路宽为10米，求灯柱的高．‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用．‎ ‎【分析】（1）求出A的坐标，设点A处的切线方程，代入抛物线方程，求出斜率，即可得出灯罩轴线所在的直线方程；‎ ‎（2）求出FD，利用CF，可求灯柱的高．‎ ‎【解答】解：（1）由题意知，BF=，则xA=1.5+=2，‎ 代入y2=2x得yA=2，故A（2，2）．‎ 设点A处的切线方程为y﹣2=k（x﹣2），‎ 代入抛物线方程y2=2x消去x，得ky2﹣2y+4﹣4k=0．‎ 则△=4﹣4k（4﹣4k）=0，解得k=．‎ 故灯罩轴线的斜率为﹣2，其方程为y﹣2=﹣2（x﹣2），即y=﹣2x+6．‎ ‎（2）由于路宽为10，则当x=时，y=﹣5，从而FD=5．‎ 又CF=1，则CD=6．‎ 答：灯柱的高为6米．‎ ‎　‎ ‎19．已知圆O：x2+y2=4与x轴负半轴的交点为A，点P在直线l： x+y﹣a=0上，过点P作圆O的切线，切点为T ‎（1）若a=8，切点T（，﹣1），求点P的坐标；‎ ‎（2）若PA=2PT，求实数a的取值范围；‎ ‎（3）若不过原点O的直线与圆O交于B，C两点，且满足直线OB，BC，OC的斜率依次成等比数列，求直线l的斜率．‎ ‎【考点】圆方程的综合应用；直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）直线PT切于点T，则OT⊥PT，求出kOT，kPT，直线l和PT，求出P的坐标．‎ ‎（2）设P（x，y），由PA=2PT，求出点P的轨迹方程，问题可转化为直线与圆（x﹣）2+y2=，有公共点，列出不等式求解即可．‎ ‎（3）当直线BC垂直与x轴时，显然不成立，设直线BC为y=kx+b（b≠0），将它与圆方程联立，设B（x1，y1），C（x2，y2），利用kOBkOC===k2，求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）由题意，直线PT切于点T，则OT⊥PT，‎ 又切点T（，﹣1），所以kOT=﹣，∴kPT=，‎ 故直线PT的方程为y+1=（x﹣），即．‎ 联立直线l和PT，解得即P（2）．‎ ‎（2）设P（x，y），由PA=2PT，可得（x+2）2+y2=4（x2+y2﹣4），‎ 即3x2+3y2﹣4x﹣20=0，即满足PA=2PT的点P的轨迹是一个圆（x﹣）2+y2=，‎ 所以问题可转化为直线与圆（x﹣）2+y2=，有公共点，‎ 所以d=，解得．‎ ‎（3）当直线BC垂直与x轴时，显然不成立，所以设直线BC为y=kx+b（b≠0），‎ 将它与圆方程联立并消去y得（k2+1）x2+2kbx+b2﹣4=0，‎ 设B（x1，y1），C（x2，y2），‎ 则x1x2=，x1+x2=，因为则y1y2=，‎ 故kOBkOC===k2，‎ 即b2（k2﹣1）=0，因为b≠0，所以k2=1，即k=±1．‎ ‎　‎ ‎20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为．A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足=，‎ ‎（1）若点P的坐标为（2，），求椭圆的方程；‎ ‎（2）设过点P的一条直线交椭圆于B，C两点，且=m，直线OA，OB的斜率之积﹣，求实数m的值；‎ ‎（3）在（1）的条件下，是否存在定圆M，使得过圆M上任意一点T都能作出该椭圆的两条切线，且这两条切线互相垂直？若存在，求出定圆M；若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由题意可知： =，求得A点坐标，由e==，将A代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆的方程；‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），根据=m，求得．代入椭圆方程+=1，由直线OA，OB的斜率之积﹣，利用斜率公式求得，代入整理得：，解得：m=，；‎ ‎（3）假设存在否存在定圆M，求得直线的切线方程，代入椭圆方程，由△=0，求得（2﹣）k2+2kx0y0+1﹣=0，则椭圆的两条切线斜率k1，k2分别是（2﹣）k2+2kx0y0+1﹣‎ ‎=0的两解，由韦达定理求得k1k2====﹣1，因此椭圆的两条切线垂直，则当x0=±时，显然存在两条互相垂直的切线，即可求得圆的方程．‎ ‎【解答】解：（1）由P（2，），设A（x，y），则=（2，），=（﹣x，﹣y），‎ 由题意可知： =，‎ ‎∴，则，‎ A（﹣1，﹣），代入椭圆方程，得，‎ 又椭圆的离心率e==，‎ 则=，②‎ 由①②，得a2=2，b2=1，‎ 故椭圆的方程为；‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），‎ ‎∵=，‎ ‎∴P（﹣2x1，﹣2y1），．‎ ‎∵=m，‎ ‎∴（﹣2x1﹣x2，﹣2y1﹣y2）=m（x3﹣x2，y3﹣y2），‎ 即，‎ 于是．‎ 代入椭圆方程，得+=1，‎ ‎（+）+（+）﹣（+）=1，‎ ‎∵A，B在椭圆上，，，‎ 由直线OA，OB的斜率之积﹣，即•=﹣‎ ‎∴，‎ ‎∴，解得：m=，‎ ‎（3）存在定圆M，x2+y2=3，‎ 在定圆M上任取一点T（x0，y0），其中x0≠±，‎ 设过点T（x0，y0）的椭圆的切线方程为y﹣y0=k（x﹣y0），即y=kx﹣kx0+y0，‎ ‎∴，整理得：（1+2k2）x2﹣4k（﹣kx0+y0）x+2（﹣kx0+y0）2﹣2=0，‎ 由△=16k2（﹣kx0+y0）2﹣8（1+2k2）[（﹣kx0+y0）2﹣1]=0，‎ 整理得：（2﹣）k2+2kx0y0+1﹣=0‎ 故过点T（x0，y0）的椭圆的两条切线斜率k1，k2分别是（2﹣）k2+2kx0y0+1﹣=0的两解．‎ 故k1k2====﹣1，‎ ‎∴椭圆的两条切线垂直．‎ 当x0=±时，‎ 显然存在两条互相垂直的切线．‎ ‎　‎