2017-2018学年江苏省扬州中学高二上学期10月月考试题 数学

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2017-2018学年江苏省扬州中学高二上学期10月月考试题 数学

‎2017-2018学年江苏省扬州中学高二上学期10月月考试题 ‎ 数 学 2017-10-7‎ 一、填空题(每小题5分,共14小题)‎ ‎1. 空间中,点(2,0,1)位于 平面上(填“xOy”“yOz”或“xOz”)‎ ‎2. 椭圆的离心率是 ‎ ‎3.已知两点A(0,10),B(a,-5)之间的距离为17,则实数a的值为 ‎ ‎4. 过点且与直线平行的直线方程是 ‎ ‎5.圆与圆相交所得的公共弦所在直线方程为 ‎ ‎6. 已知点A(1,3)关于直线l的对称点为B(-5,1),则直线l的方程为 ‎ ‎7已知方程表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围是 ‎ ‎8. 椭圆上横坐标为2的点到右焦点的距离为 ‎ ‎9. 直线截圆所得弦长等于4,则以|a|、|b|、|c|为边长的三角形一定是 .‎ ‎10. 若直线l:y=kx经过点,则直线l的倾斜角为α = .‎ ‎11. 圆心在直线上,且与直线相切于点的圆的标准方程为 .‎ ‎12. 已知圆,直线l:与圆交于点A,B(异于原点O),直线AO、直线l与直线BO的斜率依次成等比数列,则k= ‎ ‎13. 已知椭圆C: 的左右焦点分别为,,点P在椭圆C 上,线段与圆: 相切于点Q,若Q是线段的中点,e为C的离心率,则的最小值是______________‎ ‎14.过椭圆C:上任意一点作一半径为r的圆M,过原点O向圆M作两条切线,若两条切线的斜率之积为定值,则半径 ‎ 二、解答题(共6大题,分值14分+14分+14分+16分+16分+16分)‎ ‎15.已知圆C方程为。‎ ‎(1)求m的取值范围;‎ ‎(2)若直线与圆C相切,求m的值。‎ ‎16. 如图,已知等腰直角三角形APB的一条直角边AP在轴上,A点位于轴的下方,B点位于轴的右方,斜边AB的长为,且A、B两点在椭圆上。‎ ‎(1)若点,求椭圆方程;‎ ‎(2)若,求A、B两点在椭圆C上时的取值范围。‎ ‎17. 已知两条直线,,求分别满足下列条件的a,b的值:‎ ‎(1)直线过点(-3,-1),并且直线与直线垂直;‎ ‎(2)直线与直线平行,并且坐标原点到的距离相等。‎ ‎18.如图,在平面直角坐标系中,已知圆及点,.‎ ‎(1)若直线平行于,与圆相交于,两点,,求直线的方程;‎ ‎(2)在圆上是否存在点,使得?若存在,求点的个数;若不存在,说明理由.‎ ‎19. 某宾馆在装修时,为了美观,欲将客房的窗户设计成半径为的圆形,并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域,其中四边形为中心在圆心的矩形,现计划将矩形区域设计为可推拉的窗口.‎ ‎(1)若窗口为正方形,且面积大于(木条宽度忽略不计),求四根木条总长的取值范围;‎ ‎(2)若四根木条总长为,求窗口面积的最大值.‎ ‎20. 已知焦距为2的椭圆C: +=1(a>b>0)的右顶点为A,直线y=与椭圆C交于P、Q两点(P在Q的左边),Q在x轴上的射影为B,且四边形ABPQ是平行四边形.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)斜率为k的直线l与椭圆C交于两个不同的点M,N.‎ ‎(i)若直线l过原点且与坐标轴不重合,E是直线3x+3y﹣2=0上一点,‎ 且△EMN是以E为直角顶点的等腰直角三角形,求k的值 ‎(ii)若M是椭圆的左顶点,D是直线MN上一点,且DA⊥AM,点G是x轴上异于点M的点,且以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点,求证:点G是定点.‎ ‎10月月考答案 ‎1. xOz 2. 3. 4. ‎ ‎5. 6. 7 8. ‎ ‎9. 直角三角形 10. 11. 12. ‎ ‎13. 14. ‎ ‎15. 解:(1) 7分 ‎ (2) 7分 ‎16.解:(1) 7分 ‎(2) 7分 ‎17. 解:(1) 7分 ‎ (2)或 7分 ‎18. (1)圆的标准方程为,所以圆心,半径为.‎ 因为,,,所以直线的斜率为,‎ 设直线的方程为, ‎ 则圆心到直线的距离为.‎ 因为, ‎ 而,所以, ‎ 解得或,‎ 故直线的方程为或. 8分 ‎(2)假设圆上存在点,设,则,‎ ‎,‎ ‎ 即,即,‎ ‎ 因为,‎ ‎ 所以圆与圆相交,‎ ‎ 所以点的个数为. 8分 ‎19. 解(1)设一根木条长为,则正方形的边长为 因为,所以,即 又因为四根木条将圆分成9个区域,所以 所以; 7分 ‎(2)设所在木条长为,所在木条长为 由条件,,即 因为,所以,从而 由于,‎ 因为 当且仅当时,‎ 答:窗口面积的最大值为 9分 ‎20. 解:(1)由题意可得2c=2,即c=,‎ 直线y=代入椭圆方程可得+=1,‎ 解得x=±a,‎ 可得|AB|=a﹣a,‎ 由四边形ABPQ是平行四边形,‎ 可得|AB|=|PQ|=2a,‎ 解得b=,a==2,‎ 可得椭圆的方程为+=1; 5分 ‎(2)(i)由直线y=kx代入椭圆方程,可得(1+2k2)x2=4,‎ 解得x=±,‎ 可设M(,),‎ 由△EMN是以E为直角顶点的等腰直角三角形,‎ 可设E(m,﹣m),E到直线kx﹣y=0的距离为d=,‎ 即有OE⊥MN,|OM|=d,‎ 即为=﹣, =,‎ 由m=,代入第二式,化简整理可得7k2﹣18k+8=0,‎ 解得k=2或; 5分 ‎(ii)证明:由M(﹣2,0),可得直线MN的方程为y=k(x+2),‎ 代入椭圆方程可得,(1+2k2)x2+8k2x+8k2﹣4=0,‎ 可得﹣2+xN=﹣,‎ 解得xN=,‎ yN=k(xN+2)=,即N(,),‎ 设G(t,0),(t≠﹣2),由题意可得D(2,4k),A(2,0),‎ 以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点,‎ 可得AN⊥DG,‎ 即有kAN•kDG=﹣1,‎ 即为•=﹣1,‎ 解得t=0.‎ 故点G是定点,即为原点(0,0). 6分
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