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文档介绍
天津市南开中学2020届高三10月月考数学试题
天津南开中学 2020 届高三第一次月考数学试卷 一、选择题（共 9 小题：共 45 分） 1.已知集合 ， ，则 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 解出集合 、 ，再利用交集和补集的定义求出集合 . 【详解】解不等式 ，即 ，得 ， . 解不等式 ，解得 ， ， 则 ，因此， ，故选：A. 【点睛】本题考查集合的交集与补集的混合运算，同时也考查了指数不等式和一元二次不等 式的解法，解题的关键就是解出问题中所涉及的集合，考查运算求解能力，属于基础题. 2.“ 成立”是“ 成立”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 试题分析：由|x-1|＜2 得-1＜x＜3，由 x（x-3）＜0 得 0＜x＜3，所以“|x-1|＜2 成立”是“x （x-3）＜0 成立”的必要不充分条件 考点：1．解不等式；2．充分条件与必要条件 【此处有视频，请去附件查看】 { }12 4xA x −= ≥ { }2 2 3 0B x x x= − − < ( )RA B { }3x x ≥ { }3x x > { }1 3x x− < < { }3 1x x x≥ ≤ −或 A B ( )RA B 12 4x− ≥ 1 2x − ≥ 3x ≥ { }3A x x∴ = ≥ 2 2 3 0x x− − < 1 3x- < < { }1 3B x x∴ = − < < { }1 3R B x x x= ≤ − ≥或 ( ) { }3RA B x x∩ = ≥ 1 2x − < ( 3) 0x x − < 3.已知 ，命题 ， ，则（ ） A. 是假命题， B. 是假命题， C. 是真命题， D. 是真命题， 【答案】D 【解析】 试 题 分 析 ： ， 当 ， ， 因 此 是 减 函 数 ， 所 以 ， ，命题 是真命题， 是： ，故选 D． 考点：命题的真假，命题的否定． 4.已知 ， ， ，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 ， ， ， ，所以 ， 选 D. 5.已知函数 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递增，若对于任意 ， ( ) sinf x x x= − + : 0, 2p x π ∀ ∈ ( ) 0f x < p : 0, , ( ) 02p x f x π ¬ ∀ ∈ ≥ p 0 0: 0, , ( ) 02p x f x π ¬ ∃ ∈ ≥ p : 0, , ( ) 02p x f x π ¬ ∀ ∈ ≥ p 0 0: 0, , ( ) 02p x f x π ¬ ∃ ∈ ≥ '( ) 1 cosf x x= − + (0, )2x π∈ '( ) 0f x < ( )f x (0, )2x π∈ ( ) (0) 0f x f< = p p¬ 0 00, , ( ) 02x f x π ∃ ∈ ≥ lnx π= 5log 2y = 1 2z e − = x y z< < z x y< < z y x< < y z x< < ( )f x R [ )0,+∞ x R∈ 恒成立，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 因 为 是 偶 函 数 ， 所 以 不 等 式 可 化 为 ，又 在 上单调递增，所以 ，而 的 最 小 值 为 1 ， 所 以 ， ， 解 得 ． 6.若函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 因 为 函 数 在 区 间 上 单 调 递 减 ， 所 以 函 数 在区间 上恒成立，即 在 恒成立，而 在 递减，在 递增，且 ，即 ；故选 C. 7.设函数 ， ，若 ，则（ ） A. B. C. D. ( ) ( )2 2 2 2f log a f x x≤ − + a ( ]0,1 1 ,22 ( ]0,2 [ )2,+∞ ( )f x 2 2(log ) ( 2 2)f a f x x≤ − + 2 2( log ) ( 2 2)f a f x x≤ − + ( )f x [0, )+∞ 2 2log 2 2a x x≤ − + 2 22 2 ( 1) 1x x x− + = − + 2log 1a ≤ 21 log 1a− ≤ ≤ 1 22 a≤ ≤ ( ) 3 2 13 2 x af x x x= − + + 1 ,32 a 1 ,3 +∞ 5 ,3 +∞ 10 ,3 +∞ 16 ,3 +∞ ( ) 3 2 13 2 x af x x x= − + + 1 ,32 ( ) 2 1 0f x x ax= − + ≤′ 1[ ,3]2 2 1 1xa xx x +≥ = + 1[ ,3]2 1( )g x x x = + 1[ ,1]2 [1,3] 1 5 10( ) (3)2 2 3g g= < = 10 3a ≥ ( ) 1 4 4xf x e x−= + − ( ) 1lng x x x = − ( ) ( )1 2 0f x g x= = ( ) ( )1 20 g x f x< < ( ) ( )1 20g x f x< < ( ) ( )2 10f x g x< < ( ) ( )2 1 0f x g x< < 【答案】B 【解析】 【分析】 分析函数 和 的单调性，利用零点存在定理求出函数零点的取值范围，再 由函数的单调性来得出 与 的正负. 【详解】 ， ，则函数 为增函数， ， ，且 ，由零点存在定理知 . ，则 ，所以，函数 为增函数， 且 ， ，又 ，由零点存在定理可知 . ， ，因此， ，故选：B. 【点睛】本题考查函数值符号的判断，同时也考查了函数单调性与零点存在定理的应用，解 题的关键就是利用函数的单调性与零点存在定理求出零点的取值范围，考查分析问题的和解 决问题的能力，属于中等题. 8.设实数 分别满足 ， 则 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 令 ， 则 在 上 单 调 递 增 ， 且 ，即 ，在同一坐标系中作出 的图象，由图象，得 ，即 ；故选 C. ( )y f x= ( )y g x= ( )2f x ( )1g x ( ) 1 4 4xf x e x−= + − ( ) 1 4 0xf x e −′∴ = + > ( )y f x= ( )0 0f < ( )1 0f > ( )1 0f x = 10 1x< < ( ) 1lng x x x = − ( ) 2 2 1 1 1 0xg x x x x +′ = + = > ( )y g x= ( )1 0g < ( ) 12 ln 2 02g = − > ( )2 0g x = 21 2x< < ( ) ( )2 1 0f x f∴ > > ( ) ( )1 1 0g x g< < ( ) ( )1 20g x f x< < , ,a b c 32 2,a a+ = 2 log 1b b = 5log 1,c c = , ,a b c a b c> > b a c> > c b a> > a c b> > 3( ) 2 2f x x x= + − 3( ) 2 2f x x x= + − R (0) (1) 2 1 1 0f f⋅ = − × = − < (0,1)a∈ 2 5 1 , log , logy y x y xx = = = 1 b c< < c b a> > 点睛：在涉及超越方程 求解问题，往往将其分离成两个基本函数图象的公共点问题，如本 题中判定 的根的取值范围，就转化为 和 的图象交点问题. 9.已知函数 ，若关于 方程 有两个解，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 关于 的方程 有两个解，等价于 和 有两个交点，如图所示： 作出函数 的图象， ， ， ， ， 由图可得 时，直线与曲线有两个交点，由图可得过原点的直线与 有两个 交 点 的 临 界 位 置 为 两 者 相 切 时 ， 联 立 两 者 方 程 得 ： ， 由 解得 ，切点坐标为 和 且 ，要使直线与抛物线有 两个交点，直线的斜率应满足 ，综上可得 ，故选 A. 的 的 5log 1c c = 1y x = 5logy x= ( ) 2 1, 2 1 1 4 ,1 5 x x f x x xx + − ≤ ≤ = + − < ≤ x ( ) 0f x ax− = a 6 50 , 225 2 ∪ − − ， 6 50 , 225 2 ∪ − − ， { }5 6, , 0, 22 25 −∞ − ∪ +∞ ∪ − 5 6, ,2 25 −∞ − ∪ +∞ x ( ) 0f x ax− = ( )y f x= y ax= ( ) 2 1, 2 1 1 4 ,1 5 x x f x x xx + − ≤ ≤ = + − < ≤ ( )2,5A − ( )1,2B 65, 5C 6 25OCk = 60, 25k ∈ 2 1y x= + 2 1 y kx y x = = + 2 1 0x kx− + = 2 4 0k= − = 2k = ± ( )1,2− ( )1,2 5 2OAk = − 5 , 22k ∈ − − 6 50, , 225 2k ∈ ∪ − − 二、填空题（共 6 小题：共 30 分） 10.设复数 满足 ，则 __________． 【答案】 【解析】 分析：根据条件先将 z 的表达式求出，再结合复数的四则运算即可. 详解： 点睛：考查复数的计算，属于基础题. 11. 展开式的常数项为 ．（用数字作答） 【答案】-160 【解析】 【详解】由 ，令 得 ， 所以 展开式的常数项为 . 考点：二项式定理. 【此处有视频，请去附件查看】 z ( 2 ) 3i z i+ ⋅ = z = 1 2i+ 3 3 ( 2 ) 1 232 i i iz i i −= = = + + 612 x x − 6 6 6 2 1 6 6 1(2 ) ( 1) (2) ( ) r r r r r r r rT C x C x x − − − + = − = − 6 2 0r− = 3r = 612 x x − 3 3 6 3 6( 1) (2) 160C −− = − 12.在平面直角坐标系 中，点 A 在曲线 y=lnx 上，且该曲线在点 A 处的切线经过点（-e，-1)(e 为自然对数的底数），则点 A 的坐标是____. 【答案】 . 【解析】 【分析】 设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标. 【详解】设点 ，则 .又 ， 当 时， ， 点 A 在曲线 上的切线为 ， 即 ， 代入点 ，得 ， 即 ， 考查函数 ，当 时， ，当 时， ， 且 ，当 时， 单调递增， 注意到 ，故 存在唯一的实数根 ，此时 ， 故点 的坐标为 . 【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题： 一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是 曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点． 13.已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，则不等式 xOy (e, 1) ( )0 0,A x y 0 0lny x= 1y x ′ = 0x x= 0 1y x ′ = lny x= 0 0 0 1 ( )y y x xx − = − 0 0 ln 1xy x x − = − ( ), 1e− − 0 0 1 ln 1ex x −− − = − 0 0lnx x e= ( ) lnH x x x= ( )0,1x∈ ( ) 0H x < ( )1,x∈ +∞ ( ) 0H x > ( )' ln 1H x x= + 1x > ( ) ( )' 0,H x H x> ( )H e e= 0 0lnx x e= 0x e= 0 1y = A ( ),1A e ( )f x R 0x ≤ 2( ) 3f x x x= − − 的解集是 ． 【答案】 【解析】 试题分析： 由图知，当 时， ,由 得 即 所以不等式解集为 考点：利用函数性质解不等式 14.已知函数 若存在实数 a，使函数 g(x)=f(x)-a 有两个零点，则实数 m 的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】 由题意得直线 和函数 的图象有两个交点，故函数 在定义域内不能是 单调函数．在同一坐标系内画出函数 和 的图象，结合图象可得所求的结果． 【详解】∵ 有两个零点， ∴ 有两个零点，即 与 的图象有两个交点， 由 可得， 或 ． ①当 时,函数 的图象如图所示，此时存在 满足题意，故 满足题意． ( 1) 4f x x− > − + (4, )+∞ x a> ( 1) 4f x x− > − + 2( 1) 3( 1) 4, 0x x x x− − − = − + > 4,x = 4,a = (4, )+∞ 3 2 ,( ) , x x mf x x x m ≤= > ， ， ( ) ( ),0 1,−∞ ∪ +∞ y a= ( )y f x= ( )y f x= 3y x= 2y x= ( ) ( )g x f x a= − ( )f x a= ( )y f x= y a= 3 2x x= 0x = 1x = 1m > ( )f x a 1m > ②当 时,由于函数 在定义域 R 上单调递增，故不符合题意． ③当 时,函数 单调递增，故不符合题意． ④ 时, 单调递增，故不符合题意． ⑤当 时,函数 的图象如图所示,此时存在 使得 与 有两个交 点． 综上可得 或 ． 所以实数 的取值范围是 ． 【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法 （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，运用图象 进行求解．对于含有参数的问题，要注意分类讨论的方法在解题中的应用，同时还要注意数 形结合在解题中的应用． 1m = ( )f x 0 1m< < ( )f x 0m = ( )f x 0m < ( )y f x= a ( )y f x= y a= 0m < 1m > m ( ) ( ),0 1,−∞ ∪ +∞ 15.函数 ，若 的解集为 ，且 中只有一个整 数，则实数 的取值范围为___________。 【答案】 【解析】 由题设可将问题转化为 ，即 ，令 ，则 ，所以当 时， ，函数 单调递减；当 时， ，函数 单调递增，即 在 时取得最 小值 。由于 时，所以结合图形可知当 时，其解中恰好含一个整数，故应 填答案 。 点睛：解答本题的思路是先借助导数这一工具分析研究函数的图像的变化规律，再将不等式 在平面直角坐标系中表示出来，然后借助图形的直观，数形结合建立不等式组，然后通过解 不等式组从而使得问题获解。 ( ) ( ) ( )4 ln 1f x kx x x x= + − > ( ) 0f x > ( ),s t ( ),s t k 1 1 4( 2 ]ln 2 ln3 3 − −， ( 4)ln 0kx x x+ − > 4 ln xkx x + > ( ) ln xh x x = 2 ln 1( ) (ln ) xf x x −′ = 1 x e< < 2 ln 1( ) 0(ln ) xf x x −′ = < ( ) ln xf x x = x e> 2 ln 1( ) 0(ln ) xf x x −′ = > ( ) ln xf x x = ( ) ln xh x x = x e= ( ) ln ef e ee = = (2,3)e∈ 2 12 4 2 1 1 4ln 2 ln 2{ { 23 1 4 ln 2 ln3 32 4 ln3 ln3 3 k k k k k + > > − ⇒ ⇒ − < ≤ − + ≤ ≤ − 1 1 4( 2, ]ln 2 ln3 3 − − 三、解答题（共 5 小题：共 75 分） 16.在 中，内角 所对的边分别为 .已知 ， ， . （Ⅰ）求 和 的值； （Ⅱ）求 的值. 【答案】（Ⅰ） . = .（Ⅱ） . 【解析】 试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系 ，再根据余弦定理求出 ， 进而得到 ，由 转化为 ，求出 ，进而求出 ，从而求出 的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果. 试题解析：（Ⅰ） 解：在 中，因为 ，故由 ，可得 .由已知及 余弦定理，有 ，所以 . 由正弦定理 ,得 . 所以， 的值为 ， 的值为 . （Ⅱ）解：由（Ⅰ）及 ，得 ，所以 ， .故 . 考点：正弦定理、余弦定理、解三角形 【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系， 利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值.利用正、余 弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合 正、余弦定理解题. 17.如图所示，在四棱柱 中，侧棱 底面 ， 平面 ， ， ， ， ， 为棱 的中点. ABC△ , ,A B C , ,a b c a b> 5, 6a c= = 3sin 5B = b sin A πsin(2 )4A+ 13b = sin A 3 13 13 7 2 26 2a b= cos A sin A 2a b= sin 2sinA B= sin B cos B 2B ABC a b> 3sin 5B = 4cos 5B = 2 2 2 2 cos 13b a c ac B= + − = 13b = sin sin a b A B = sin 3 13sin 13 a BA b = = b 13 sinA 3 13 13 a c< 2 13cos 13A = 12sin2 2sin cos 13A A A= = 2 5cos2 1 2sin 13A A= − = − π π π 7 2sin 2 sin2 cos cos2 sin4 4 4 26A A A + = + = 1 1 1 1ABCD A B C D− 1A A ⊥ ABCD //AB 1111 DCBA //AB DC AB AD⊥ 1AD CD= = 1 2AA AB= = E 1AA （1）证明： ； （2）求二面角 的平面角的正弦值； （3）设点 在线段 上，且直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求线段 的长. 【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3） . 【解析】 【分析】 （1）以 为原点，分别以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标 系，计算出 ，可证明出 ； （2）计算出平面 和平面 的法向量 、 ，然后利用空间向量法计算出二面角 的余弦定理，利用同角三角函数的基本关系可得出其正弦值； （3）设 ，计算出 ，利用空间向量法并结合条件直线 与平面 所成角 正弦值为 ，求出 的值，即可求出 . 【详解】（1）如图所示，以 为原点，分别以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴 建立空间直角坐标系， 依题意得 ， ， ， ， ， . 易得 ， ，于是 ，所以 ； 的 1 1B C CE⊥ 1 1B CE C− − M 1C E AM 1 1ADD A 2 6 AM 21 7 2AM = A AD 1AA AB x y z 1 1 0B C CE⋅ = 1 1B C CE⊥ 1B CE 1C CE m 1 1B C 1 1B CE C− − ( )1 0 1EM ECλ λ= ≤ ≤ AM AM 1 1ADD A 2 6 λ AM A AD 1AA AB x y z ( )0,0,0A ( )0,0,2B ( )1,0,1C ( )1 0,2,2B ( )1 1,2,1C ( )0,1,0E ( )1 1 1,0, 1B C = − ( )1,1, 1CE = − − 1 1 0B C CE⋅ = 1 1B C CE⊥ （2）易得 .设平面 的法向量为 ， , 则 ， 消去 ，得 ，不妨取 ，可得法向量 . 由（1）知 ，又 ，可得 平面 ， 故 为平面 的一个法向量. 于是 ，从而 ， 故二面角 的平面角的正弦值为 ； （3）易得 ， . 设 ， ，则有 ， 可取 为平面 的一个法向量， 设 为直线 与平面 所成的角， 则 ， 于是 （ 舍去），则 ， 所以 . 【点睛】本题考查异面直线垂直、二面角的计算以及直线与平面所成角的动点问题，可以利 ( )1 1, 2, 1B C = − − 1B CE ( ), ,m x y z= ( )1 1, 2, 1B C = − − 1 2 00 00 x y zB C m x y zCE m − − =⋅ = ⇒ − + − =⋅ = x 2 0y z+ = 1z = ( )3, 2,1m = − − 1 1B C CE⊥ 1 1 1CC B C⊥ 1 1B C ⊥ 1CEC ( )1 1 1,0, 1B C = − 1CEC 1 1 1 1 1 1 4 2 7cos , 714 2 m B Cm B C m B C ⋅ −= = = − ×⋅ 1 1 21sin , 7m B C = 1 1B CE C− − 21 7 ( )0,1,0AE = ( )1 1,1,1EC = ( )1 , ,EM ECλ λ λ λ= = 0 1λ≤ ≤ ( ), 1,AM AE EM λ λ λ= + = + ( )0,0,2AB = 1 1ADD A θ AM 1 1ADD A sin cos , AM ABAM AB AM AB θ ⋅= = ⋅ ( )2 22 2 2 3 2 11 2 λ λ λ λλ λ λ = = + ++ + + × 2 2 1 6 33 2 1 λ λ λ λ = ⇒ = + + 1 5 λ = − 1 4 1, ,3 3 3AM = 2 2 21 4 1 23 3 3AM = + + = 用空间向量法来进行等价转化与计算，考查运算求解能力，属于中等题. 18.已知数列 的前 项和是 ，且 .数列 是公差 不等于 的 等差数列，且满足： ， ， ， 成等比数列. （1）求数列 、 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 . 【答案】（1） ；（2） 【解析】 分析：第一问利用题中的条件，类比着写出 ，两式相减求得相邻两项 的关系，从而确定出数列 是等比数列，再令 求得首项，利用等比数列的通项公式求 得结果，对于 ，利用题中条件求得首项，建立关于公差的等量关系式，从而求得结果， 第二问涉及到等差数列和等比数列对应项积构成新数列的求和方法--------错位相减法. 详解：（1） 时， ， 时， ， ，∴ （ ） 是以 为首项， 为公比的等比数列， 又 得： ， ，因为 解得 ， （2） { }na n nS 1 1( )2n nS a n N ∗+ = ∈ { }nb d 0 1 1 3 2b a= 2b 5b 14b { }na { }nb n n nc a b= ⋅ { }nc n nT 12( )3 n na = 2 22 3n n +− 1 1 1 1( 2)2n nS a n− −+ = ≥ { }na 1n = { }nb 1n = 1 1 1 12a a+ = 1 2 3a = 2n ≥ 1 1 11 2 11 2 n n n n S a S a− − = − = − ( )1 1 1 2n n n nS S a a− −− = − 1 1 3n na a −= 2n ≥ { }na 2 3 1 3 12 1 123 3 3 n n na − = × = 1 1b = 2 5 2 14b b b= ( ) ( )( )21 4 1 1 13d d d+ = + + 2 2 0d d− = 0d ≠ 2d = 2 1nb n= − 4 2 3n n nc −= 点睛：该题考查的是有关数列的通项公式以及求和问题，在求解的过程中，要明确递推公式 的利用，要铭记等差数列和等比数列的通项公式的求法，第二问应用错位相减法求和，在求 和的过程中，一定要明确整理之后的括号里的只有 项. 19.设函数 . （1）求 f（x）的单调区间； （2）若当 时，不等式 f （x）＜m 恒成立，求实数 m 的取值范围； （3）若关于 x 的方程 f（x）＝x2+x+a 在区间[0，2]上恰好有两个相异的实根，求实数 a 的取 值范围． 【答案】（1）递增区间是（-2,-1）,（0，+∞），递减区间是 . （2）m＞e2﹣2．（3）2﹣2ln2＜a≤3﹣2ln3． 【解析】 【分析】 （1）已知 f（x）＝（1+x）2﹣ln（1+x）2 求出函数的导数 f′（x），然后令 f′（x）＝0，解出函 数的极值点，最后根据导数判断函数的单调性，从而求解； （2）由题意当 时，不等式 f （x）＜m 恒成立，只要求出 f（x）的最大值小 于 m 就可以了，从而求出实数 m 的取值范围； 2 3 2 6 10 4 2 3 3 3 3n n nT −= + + + + 2 3 4 1 1 2 6 10 4 6 4 2 3 3 3 3 3 3n n n n nT + − −= + + + + + 2 3 1 2 2 1 1 1 4 243 3 3 3 3 3n n n nT + − = + + + + − 1 1 1 1 2 2 4 29 34 13 3 31 3 n n n nT + + − −= + × − − 1 2 4 2 4 2 3 3 3 3n n n nT + −= − − 2 22 3n n nT += − 1n − 2 2( ) (1 ) ln(1 )f x x x= + − + 1 1 1x ee ∈ − − ， ( )2 1 0∞ − −﹣ ， ， ， 1 1 1x ee ∈ − − ， （3）将原式变形转化得方程 g（x）＝x﹣a+1﹣2ln（1+x）＝0 在区间[0，2]上恰好有两个相异 的实根，结合函数的单调性及图象，得到 ，从而求出实数 a 的取值范围． 【详解】（1）函数的定义域为 ． ∵ ， 由 f′（x）＞0，得 x＞0 或-2查看更多