2017-2018学年江苏省扬州中学高二下学期期中考试 数学（理） Word版

2017-2018学年江苏省扬州中学高二下学期期中考试 数学（理） Word版

江苏省扬州中学2017—2018学年第二学期期中考试 高二数学试卷（理科）2018.4‎ 本卷满分：160分考试时间：120分钟 一、填空题：每题5分，14小题，满分70分 ‎1．已知全集,集合, ,则． ‎ ‎2．命题“若，则”的否命题为． ‎ ‎3．设复数满足,则． ‎ ‎4．设，则“”是 “”的条件. （填“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”）‎ ‎5．从5本不同的故事书和4本不同的数学书中选出4本，送给4位同学，每人1本，若故事书甲和数学书乙必须送出，共有种不同的送法（用数字作答）.‎ ‎6．的展开式中的系数是． ‎ ‎7．若方程有两个实数根，一根在区间内，另一根在区间内，则实数的取值范围． ‎ ‎8．函数在区间上的最大值为4，则实数． ‎ ‎9．已知三角形的三边分别为，内切圆的半径为，则三角形的面积为；四面体的四个面的面积分别为，内切球的半径为．类比三角形的面积可得四面体的体积为． ‎ ‎10．已知 是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是． ‎ ‎11．已知（），观察下列算式：‎ ‎；‎ ‎；若（），则的值为． ‎ ‎12．定义区间长度为，已知函数 的定义域与值域都是，则区间取最大长度时的值为． ‎ ‎13．已知是以为周期的上的奇函数，当， ，若在区间，关于的方程恰好有个不同的解，则的取值集合是．‎ ‎14．已知为常数，函数的最大值为，则的所有值为．‎ 二、解答题：6小题，满分90分.‎ ‎15. （本小题满分14分）‎ ‎（1）计算：；‎ ‎（2）在复平面内，复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围．‎ ‎16. （本小题满分14分）‎ 已知，命题p：“”，命题q：“”．‎ ‎（1）若命题p为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数的取值范围．‎ ‎17. （本小题满分15分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）当时，方程的解的个数；‎ ‎（2）对任意时，函数的图象恒在函数图象的下方，求的取值范围.‎ ‎18. （本小题满分15分）‎ 如图，在直三棱柱中，‎ 是的中点．‎ ‎（1）求证：A1B∥平面ADC1；‎ ‎（2）试问线段上是否存在点，使 成角？若存在，确定点位置；若不存在，说明理由．‎ ‎19. （本小题满分16分）‎ 已知各项均为正数的数列的前项和满足：.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）猜想的通项公式，并用数学归纳法证明．‎ ‎20.（本小题满分16分）‎ 已知函数． ‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间； ‎ ‎（2）若存在与函数的图象都相切的直线，求实数的取值范围． ‎ 命题人：王祥富、徐孝慧 审核人：江金彪 理科答案：‎ ‎1、2、若，则3、 4、充分不必要条件 ‎5、504 6、35 7、8、或 9、 ‎10、11、‎ ‎12、3 13.14.‎ 15、 ‎（1）； ‎ ‎（2）‎ ‎16．（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎17．(1)当=3时，，‎ 当或时，方程有两个解；‎ 当或时，方程一个解；‎ 当时，方程有三个解.‎ ‎(2) 由题意知恒成立，即在x∈[1,2]上恒成立，在x∈[1,2]上恒成立 在x∈[1,2]上恒成立，∴‎ ‎18．(1)证明　连结A1C，交AC1于点O，连结OD.‎ 由ABC－A1B1C1是直三棱柱，得四边形ACC1A1为矩形，O为A1C的中点．‎ 又D为BC的中点，‎ 所以OD为△A1BC的中位线，所以A1B∥OD.‎ 因为OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，‎ 所以A1B∥平面ADC1.（7分）‎ ‎(2)解　假设存在满足条件的点E.[来源:Z_xx_k.Com]‎ 因为点E在线段A1B1上，A1(0,2,1)，B1(0,0,1)，故可设E(0，λ，1)，其中0≤λ≤2.‎ 所以＝(0，λ－2,1)，1＝(1,0,1)．‎ 因为AE与DC1成60°角，‎ 所以|cos〈，1〉|＝＝，‎ 即＝，解得λ＝1或λ＝3(舍去)．‎ 所以当点E为线段A1B1的中点时，AE与DC1成60°角．（8分）‎ ‎19.（1），所以.又因为，所以 ‎，所以 ‎，所以 ‎（2）由(1)猜想，.‎ 下面用数学归纳法加以证明：‎ ‎①当时，由（1）知成立．‎ ‎②假设()时，成立．‎ 当时，‎ 所以,解得：，‎ 所以 即当时猜想也成立．综上可知，猜想对一切都成立．‎ ‎20.【解析】（1）函数的定义域为 当时，，‎ 所以 所以当时，，当时，，‎ 所以函数在区间单调递减，在区间单调递增。‎ ‎（2）设函数上点与函数上点处切线相同，‎ 则 所以 所以，代入得：‎ 设，则 不妨设则当时，，当时，‎ 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ 代入可得：‎ 设，则对恒成立，‎ 所以在区间上单调递增，又 所以当时，即当时, ‎ 又当时 因此当时，函数必有零点；即当时，必存在使得成立；‎ 即存在使得函数上点与函数上点处切线相同．‎ 又由得：‎ 所以单调递减，因此 所以实数的取值范围是．‎