2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）

2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）

‎2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（　　）‎ A．3 B．6 C．8 D．10‎ ‎2．（5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（　　）‎ A．12种 B．10种 C．9种 D．8种 ‎3．（5分）下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（　　），‎ p1：|z|=2，‎ p2：z2=2i，‎ p3：z的共轭复数为1+i，‎ p4：z的虚部为﹣1．‎ A．p2，p3 B．p1，p2 C．p2，p4 D．p3，p4‎ ‎4．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（5分）已知{an}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（　　）‎ A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣7‎ ‎6．（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，an，输出A，B，则（　　）‎ A．A+B为a1，a2，…，an的和 B．为a1，a2，…，an的算术平均数 C．A和B分别是a1，a2，…，an中最大的数和最小的数 D．A和B分别是a1，a2，…，an中最小的数和最大的数 ‎7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（　　）‎ A．6 B．9 C．12 D．18‎ ‎8．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（　　）‎ A． B． C．4 D．8‎ ‎9．（5分）已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．（0，2]‎ ‎10．（5分）已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．（5分）设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（　　）‎ A．1﹣ln2 B． C．1+ln2 D．‎ ‎　‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．（5分）已知向量夹角为45°，且，则=　　．‎ ‎14．（5分）设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为　　．‎ ‎15．（5分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为　　．‎ ‎16．（5分）数列{an}满足an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，则{an}的前60项和为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．‎ ‎（1）求A；‎ ‎（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．‎ ‎18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．‎ ‎（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．‎ ‎（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：‎ 日需求量n ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ 频数 ‎10‎ ‎20‎ ‎16‎ ‎16‎ ‎15‎ ‎13‎ ‎10‎ 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．‎ ‎（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差；‎ ‎（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．‎ ‎19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD ‎（1）证明：DC1⊥BC；‎ ‎（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．‎ ‎20．（12分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；‎ ‎（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；‎ ‎（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）ex﹣1﹣f（0）x+x2；‎ ‎（1）求f（x）的解析式及单调区间；‎ ‎（2）若，求（a+1）b的最大值．‎ ‎　‎ 四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．‎ ‎22．（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：‎ ‎（1）CD=BC；‎ ‎（2）△BCD∽△GBD．‎ ‎23．选修4﹣4；坐标系与参数方程 已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．‎ ‎（1）求点A，B，C，D的直角坐标；‎ ‎（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．‎ ‎24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|‎ ‎（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；‎ ‎（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）（2012•新课标）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（　　）‎ A．3 B．6 C．8 D．10‎ ‎【分析】由题意，根据集合B中的元素属性对x，y进行赋值得出B中所有元素，即可得出B中所含有的元素个数，得出正确选项 ‎【解答】解：由题意，x=5时，y=1，2，3，4，‎ x=4时，y=1，2，3，‎ x=3时，y=1，2，‎ x=2时，y=1‎ 综上知，B中的元素个数为10个 故选D ‎　‎ ‎2．（5分）（2012•新课标）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（　　）‎ A．12种 B．10种 C．9种 D．8种 ‎【分析】将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果 ‎【解答】解：第一步，为甲地选一名老师，有=2种选法；‎ 第二步，为甲地选两个学生，有=6种选法；‎ 第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法 故不同的安排方案共有2×6×1=12种 故选 A ‎　‎ ‎3．（5分）（2012•新课标）下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（　　），‎ p1：|z|=2，‎ p2：z2=2i，‎ p3：z的共轭复数为1+i，‎ p4：z的虚部为﹣1．‎ A．p2，p3 B．p1，p2 C．p2，p4 D．p3，p4‎ ‎【分析】由z===﹣1﹣i，知，，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为﹣1，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：∵z===﹣1﹣i，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ p3：z的共轭复数为﹣1+i，‎ p4：z的虚部为﹣1，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2012•新课标）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．‎ ‎【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，‎ ‎∴|PF2|=|F2F1|‎ ‎∵P为直线x=上一点 ‎∴‎ ‎∴‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2012•新课标）已知{an}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（　　）‎ A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣7‎ ‎【分析】由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=﹣8可求a4，a7，进而可求公比q，代入等比数列的通项可求a1，a10，即可 ‎【解答】解：∵a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=﹣8‎ ‎∴a4=4，a7=﹣2或a4=﹣2，a7=4‎ 当a4=4，a7=﹣2时，，‎ ‎∴a1=﹣8，a10=1，‎ ‎∴a1+a10=﹣7‎ 当a4=﹣2，a7=4时，q3=﹣2，则a10=﹣8，a1=1‎ ‎∴a1+a10=﹣7‎ 综上可得，a1+a10=﹣7‎ 故选D ‎　‎ ‎6．（5分）（2012•新课标）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，an，输出A，B，则（　　）‎ A．A+B为a1，a2，…，an的和 B．为a1，a2，…，an的算术平均数 C．A和B分别是a1，a2，…，an中最大的数和最小的数 D．A和B分别是a1，a2，…，an中最小的数和最大的数 ‎【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出a1，a2，…，an中最大的数和最小的数．‎ ‎【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，‎ 再根据流程图所示的顺序，‎ 可知，该程序的作用是：求出a1，a2，…，an中最大的数和最小的数 其中A为a1，a2，…，an中最大的数，B为a1，a2，…，an中最小的数 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2012•新课标）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（　　）‎ A．6 B．9 C．12 D．18‎ ‎【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．‎ ‎【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；‎ 底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，‎ 此几何体的体积为V=×6×3×3=9．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2012•新课标）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（　　）‎ A． B． C．4 D．8‎ ‎【分析】设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，由C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，，能求出C的实轴长．‎ ‎【解答】解：设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），‎ y2=16x的准线l：x=﹣4，‎ ‎∵C与抛物线y2=16x的准线l：x=﹣4交于A，B两点，‎ ‎∴A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2），‎ 将A点坐标代入双曲线方程得=4，‎ ‎∴a=2，2a=4．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2012•新课标）已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．（0，2]‎ ‎【分析】法一：通过特殊值ω=2、ω=1，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果．‎ 法二：可以通过角的范围，直接推导ω的范围即可．‎ ‎【解答】解：法一：令：不合题意 排除（D）‎ 合题意 排除（B）（C）‎ 法二：，‎ 得：．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2012•新课标）已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】考虑函数f（x）的分母的函数值恒小于零，即可排除A，C，由f（x）的定义域能排除D，这一性质可利用导数加以证明 ‎【解答】解：设 则g′（x）=‎ ‎∴g（x）在（﹣1，0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数 ‎∴g（x）＜g（0）=0‎ ‎∴f（x）=＜0‎ 得：x＞0或﹣1＜x＜0均有f（x）＜0排除A，C，‎ 又f（x）=中，，能排除D．‎ 故选 B ‎　‎ ‎11．（5分）（2012•新课标）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．‎ ‎【解答】解：根据题意作出图形：‎ 设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，‎ 延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．‎ ‎∵CO1==，‎ ‎∴OO1==，‎ ‎∴高SD=2OO1=，‎ ‎∵△ABC是边长为1的正三角形，‎ ‎∴S△ABC=，‎ ‎∴V三棱锥S﹣ABC==．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2012•新课标）设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（　　）‎ A．1﹣ln2 B． C．1+ln2 D．‎ ‎【分析】由于函数与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，要求|PQ|的最小值，只要求出函数上的点到直线y=x的距离为的最小值，‎ 设g（x）=，利用导数可求函数g（x）的单调性，进而可求g（x）的最小值，即可求．‎ ‎【解答】解：∵函数与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，‎ 函数上的点到直线y=x的距离为，‎ 设g（x）=（x＞0），则，‎ 由≥0可得x≥ln2，‎ 由＜0可得0＜x＜ln2，‎ ‎∴函数g（x）在（0，ln2）单调递减，在[ln2，+∞）单调递增，‎ ‎∴当x=ln2时，函数g（x）min=1﹣ln2，‎ ‎，‎ 由图象关于y=x对称得：|PQ|最小值为．‎ 故选B．‎ ‎　‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．（5分）（2012•新课标）已知向量夹角为45°，且，则=　3　．‎ ‎【分析】由已知可得，=，代入|2|====可求 ‎【解答】解：∵，=1‎ ‎∴=‎ ‎∴|2|====‎ 解得 故答案为：3‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2012•新课标）设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为　　．‎ ‎【分析】先作出不等式组表示的平面区域，由z=x﹣2y可得，y=，则﹣‎ 表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小，结合函数的图形可求z的最大与最小值，从而可求z的范围 ‎【解答】解：作出不等式组表示的平面区域 由z=x﹣2y可得，y=，则﹣表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小 结合函数的图形可知，当直线x﹣2y﹣z=0平移到B时，截距最大，z最小；当直线x﹣2y﹣z=0平移到A时，截距最小，z最大 由可得B（1，2），由可得A（3，0）‎ ‎∴Zmax=3，Zmin=﹣3‎ 则z=x﹣2y∈[﹣3，3]‎ 故答案为：[﹣3，3]‎ ‎　‎ ‎15．（5分）（2012•新课标）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502‎ ‎），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为　　．‎ ‎【分析】先根据正态分布的意义，知三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为，而所求事件“该部件的使用寿命超过1000小时”当且仅当“超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常”和“超过1000小时时，元件3正常”同时发生，由于其为独立事件，故分别求其概率再相乘即可 ‎【解答】解：三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N（1000，502）‎ 得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为 设A={超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常}，B={超过1000小时时，元件3正常}‎ C={该部件的使用寿命超过1000小时}‎ 则P（A）=，P（B）=‎ P（C）=P（AB）=P（A）P（B）=×=‎ 故答案为 ‎　‎ ‎16．（5分）（2012•新课标）数列{an}满足an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，则{an}的前60项和为　1830　．‎ ‎【分析】由题意可得 a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97，变形可得 a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a15=2，a16+a14=56，…利用数列的结构特征，求出{an}的前60项和 ‎【解答】解：∵an+1+（﹣1）n an=2n﹣1，‎ ‎∴有a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5‎ ‎=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97．‎ 从而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a11=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，…‎ 从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．‎ ‎∴{an}的前60项和为 15×2+（15×8+）=1830，‎ 故答案为：1830．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）（2012•新课标）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．‎ ‎（1）求A；‎ ‎（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．‎ ‎【分析】（1）由正弦定理有：sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，可以求出A；‎ ‎（2）有三角形面积以及余弦定理，可以求出b、c．‎ ‎【解答】解：（1）c=asinC﹣ccosA，由正弦定理有：‎ sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，即sinC•（sinA﹣cosA﹣1）=0，‎ 又，sinC≠0，‎ 所以sinA﹣cosA﹣1=0，即2sin（A﹣）=1，‎ 所以A=；‎ ‎（2）S△ABC=bcsinA=，所以bc=4，‎ a=2，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即4=b2+c2﹣bc，‎ 即有，‎ 解得b=c=2．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2012•新课标）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．‎ ‎（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．‎ ‎（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：‎ 日需求量n ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ 频数 ‎10‎ ‎20‎ ‎16‎ ‎16‎ ‎15‎ ‎13‎ ‎10‎ 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．‎ ‎（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差；‎ ‎（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．‎ ‎【分析】（1）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；‎ ‎（2）（i）X可取60，70，80，计算相应的概率，即可得到X的分布列，数学期望及方差；‎ ‎（ii）求出进17枝时当天的利润，与购进16枝玫瑰花时当天的利润比较，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）当n≥16时，y=16×（10﹣5）=80；‎ 当n≤15时，y=5n﹣5（16﹣n）=10n﹣80，得：‎ ‎（2）（i）X可取60，70，80，当日需求量n=14时，X=60，n=15时，X=70，其他情况X=80，‎ P（X=60）===0.1，P（X=70）=0.2，P（X=80）=1﹣0.1﹣0.2=0.7，‎ X的分布列为 X ‎60‎ ‎70‎ ‎80‎ P ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.7‎ EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76‎ DX=162×0.1+62×0.2+42×0.7=44‎ ‎（ii）购进17枝时，当天的利润的期望为y=（14×5﹣3×5）×0.1+（15×5﹣2×5）×0.2+（16×5﹣1×5）×0.16+17×5×0.54=76.4‎ ‎∵76.4＞76，∴应购进17枝 ‎　‎ ‎19．（12分）（2012•新课标）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD ‎（1）证明：DC1⊥BC；‎ ‎（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．‎ ‎【分析】（1）证明DC1⊥BC，只需证明DC1⊥面BCD，即证明DC1⊥DC，DC1⊥BD；‎ ‎（2）证明BC⊥面ACC1A1，可得BC⊥AC取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，C1H，可得点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角，由此可求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．‎ ‎【解答】（1）证明：在Rt△DAC中，AD=AC，∴∠ADC=45°‎ 同理：∠A1DC1=45°，∴∠CDC1=90°‎ ‎∴DC1⊥DC，DC1⊥BD ‎∵DC∩BD=D ‎∴DC1⊥面BCD ‎∵BC⊂面BCD ‎∴DC1⊥BC ‎（2）解：∵DC1⊥BC，CC1⊥BC，DC1∩CC1=C1，∴BC⊥面ACC1A1，‎ ‎∵AC⊂面ACC1A1，∴BC⊥AC 取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，OH ‎∵A1C1=B1C1，∴C1O⊥A1B1，‎ ‎∵面A1B1C1⊥面A1BD，面A1B1C1∩面A1BD=A1B1，‎ ‎∴C1O⊥面A1BD 而BD⊂面A1BD ‎∴BD⊥C1O，‎ ‎∵OH⊥BD，C1O∩OH=O，‎ ‎∴BD⊥面C1OH∴C1H⊥BD，∴点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角 设AC=a，则，，‎ ‎∴sin∠C1DO=‎ ‎∴∠C1DO=30°‎ 即二面角A1﹣BD﹣C1的大小为30°‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2012•新课标）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；‎ ‎（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；‎ ‎（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．‎ ‎【分析】（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，由△ABD的面积S△ABD=，知=，由此能求出圆F的方程．‎ ‎（2）由对称性设，则点A，B关于点F对称得：，得：，由此能求出坐标原点到m，n距离的比值．‎ ‎【解答】解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p 点A到准线l的距离，‎ ‎∵△ABD的面积S△ABD=，‎ ‎∴=，‎ 解得p=2，所以F坐标为（0，1），‎ ‎∴圆F的方程为x2+（y﹣1）2=8．‎ ‎（2）由题设，则，‎ ‎∵A，B，F三点在同一直线m上，‎ 又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．‎ 由点A，B关于点F对称得：‎ 得：，直线，切点 直线 坐标原点到m，n距离的比值为．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2012•新课标）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）ex﹣1﹣f（0）x+x2；‎ ‎（1）求f（x）的解析式及单调区间；‎ ‎（2）若，求（a+1）b的最大值．‎ ‎【分析】（1）对函数f（x）求导，再令自变量为1，求出f′（1）得到函数的解析式及导数，再由导数求函数的单调区间；‎ ‎（2）由题意，借助导数求出新函数的最小值，令其大于0即可得到参数a，b 所满足的关系式，再研究（a+1）b的最大值 ‎【解答】解：（1）‎ 令x=1得：f（0）=1‎ ‎∴令x=0，得f（0）=f'（1）e﹣1=1解得f'（1）=e 故函数的解析式为 令g（x）=f'（x）=ex﹣1+x ‎∴g'（x）=ex+1＞0，由此知y=g（x）在x∈R上单调递增 当x＞0时，f'（x）＞f'（0）=0；当x＜0时，有 f'（x）＜f'（0）=0得：‎ 函数的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0）‎ ‎（2）得h′（x）=ex﹣（a+1）‎ ‎①当a+1≤0时，h′（x）＞0⇒y=h（x）在x∈R上单调递增，x→﹣∞时，h（x）→﹣∞与h（x）≥0矛盾 ‎②当a+1＞0时，h′（x）＞0⇔x＞ln（a+1），h'（x）＜0⇔x＜ln（a+1）‎ 得：当x=ln（a+1）时，h（x）min=（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥‎ ‎0，即（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）≥b ‎∴（a+1）b≤（a+1）2﹣（a+1）2ln（a+1），（a+1＞0）‎ 令F（x）=x2﹣x2lnx（x＞0），则F'（x）=x（1﹣2lnx）‎ ‎∴‎ 当时，‎ 即当时，（a+1）b的最大值为 ‎　‎ 四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．‎ ‎22．（10分）（2012•新课标）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：‎ ‎（1）CD=BC；‎ ‎（2）△BCD∽△GBD．‎ ‎【分析】（1）根据D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，可得DE∥BC，证明四边形ADCF是平行四边形，即可得到结论；‎ ‎（2）证明两组对应角相等，即可证得△BCD～△GBD．‎ ‎【解答】证明：（1）∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点 ‎∴DF∥BC，AD=DB ‎∵AB∥CF，∴四边形BDFC是平行四边形 ‎∴CF∥BD，CF=BD ‎∴CF∥AD，CF=AD ‎∴四边形ADCF是平行四边形 ‎∴AF=CD ‎∵，∴BC=AF，∴CD=BC．‎ ‎（2）由（1）知，所以．‎ 所以∠BGD=∠DBC．‎ 因为GF∥BC，所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC．‎ 所以△BCD～△GBD．‎ ‎　‎ ‎23．（2012•新课标）选修4﹣4；坐标系与参数方程 已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．‎ ‎（1）求点A，B，C，D的直角坐标；‎ ‎（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．‎ ‎【分析】（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐标；‎ ‎（2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为 点A，B，C，D的直角坐标为 ‎（2）设P（x0，y0），则为参数）‎ t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ ‎∵sin2φ∈[0，1]‎ ‎∴t∈[32，52]‎ ‎　‎ ‎24．（2012•新课标）已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|‎ ‎（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；‎ ‎（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．‎ ‎【分析】（1）不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，‎ 再取并集即得所求．‎ ‎（2）原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即①，或②，‎ 或③．‎ 解①可得x≤1，解②可得x∈∅，解③可得x≥4．‎ 把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为 {x|x≤1或x≥4}．‎ ‎（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，‎ 等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．‎ 故当 1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，‎ 故a的取值范围为[﹣3，0]．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：xintrl；xize；zlzhan；刘长柏；吕静；minqi5；qiss；邢新丽；caoqz（排名不分先后）‎ ‎2017年2月3日