2013年江西省高考数学试卷(理科)

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文档介绍

2013年江西省高考数学试卷(理科)

‎2013年江西省高考数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(5分)已知集合M={1,2,zi},i为虚数单位,N={3,4},M∩N={4},则复数z=(  )‎ A.﹣2i B.2i C.﹣4i D.4i ‎2.(5分)函数y=ln(1﹣x)的定义域为(  )‎ A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1]‎ ‎3.(5分)等比数列x,3x+3,6x+6,…的第四项等于(  )‎ A.﹣24 B.0 C.12 D.24‎ ‎4.(5分)总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为(  )‎ ‎7816‎ ‎6572‎ ‎0802‎ ‎6314‎ ‎0702‎ ‎4369‎ ‎9728‎ ‎0198‎ ‎3204‎ ‎9234‎ ‎4935‎ ‎8200‎ ‎3623‎ ‎4869‎ ‎6938‎ ‎7481‎ A.08 B.07 C.02 D.01‎ ‎5.(5分)(x2﹣)5的展开式中的常数项为(  )‎ A.80 B.﹣80 C.40 D.﹣40‎ ‎6.(5分)若S1=x2dx,S2=dx,S3=exdx,则S1,S2,S3的大小关系为(  )‎ A.S1<S2<S3 B.S2<S1<S3 C.S2<S3<S1 D.S3<S2<S1‎ ‎7.(5分)阅读如下程序框图,如果输出i=5,那么在空白矩形框中应填入的语句为(  )‎ A.S=2*i﹣2 B.S=2*i﹣1 C.S=2*i D.S=2*i+4‎ ‎8.(5分)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为m,n,那么m+n=(  )‎ A.8 B.9 C.10 D.11‎ ‎9.(5分)过点()引直线l与曲线y=相交于A,B两点,O为坐标原点,当△ABO的面积取得最大值时,直线l的斜率等于(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.(5分)如图,半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1,l2之间,l∥l1,l与半圆相交于F,G两点,与三角形ABC两边相交于E,D两点.设弧的长为x(0<x<π),y=EB+BC+CD,若l从l1平行移动到l2,则函数y=f(x)的图象大致是(  )‎ A. B. C.‎ ‎ D.‎ ‎ ‎ 二.第Ⅱ卷填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分 ‎11.(5分)函数y=sin2x+2sin2x最小正周期T为  .‎ ‎12.(5分)设,为单位向量.且、的夹角为,若=+3,=2,则向量在方向上的射影为  .‎ ‎13.(5分)设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(ex)=x+ex,则f′(1)=  .‎ ‎14.(5分)抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=  .‎ ‎ ‎ 三.第Ⅱ卷选做题:请在下列两题中任选一题作答,若两道题都做,按第一题评卷计分.本题共5分.‎ ‎15.(5分)(坐标系与参数方程选做题)‎ 设曲线C的参数方程为(t为参数),若以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C的极坐标方程为  .‎ ‎16.(不等式选做题)‎ 在实数范围内,不等式||x﹣2|﹣1|≤1的解集为  .‎ ‎ ‎ 四.第Ⅱ卷解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(cosA﹣sinA)cosB=0.‎ ‎(1)求角B的大小;‎ ‎(2)若a+c=1,求b的取值范围.‎ ‎18.(12分)正项数列{an}的前n项和Sn满足:Sn2‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式an;‎ ‎(2)令b,数列{bn}的前n项和为Tn.证明:对于任意n∈N*,都有T.‎ ‎19.(12分)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队,游戏规则为:以0为起点,再从A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X.若X=0就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队.‎ ‎(1)求小波参加学校合唱团的概率;‎ ‎(2)求X的分布列和数学期望.‎ ‎20.(12分)如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,E为BD的中点,G为PD的中点,△DAB≌△DCB,EA=EB=AB=1,PA=,连接CE并延长交AD于F ‎(1)求证:AD⊥平面CFG;‎ ‎(2)求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值.‎ ‎21.(13分)如图,椭圆C:经过点P(1,),离心率e=,直线l的方程为x=4.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P),设直线AB与直线l相交于点M,记PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3.问:是否存在常数λ,使得k1+k2=λk3?若存在,求λ的值;若不存在,说明理由.‎ ‎22.(14分)已知函数f(x)=,a为常数且a>0.‎ ‎(1)f(x)的图象关于直线x=对称;‎ ‎(2)若x0满足f(f(x0))=x0,但f(x0)≠x0,则x0称为函数f(x)的二阶周期点,如果f(x)有两个二阶周期点x1,x2,试确定a的取值范围;‎ ‎(3)对于(2)中的x1,x2,和a,设x3为函数f(f(x))的最大值点,A(x1,f(f(x1))),B(x2,f(f(x2))),C(x3,0),记△ABC的面积为S(a),讨论S(a)的单调性.‎ ‎ ‎ ‎2013年江西省高考数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(5分)(2013•江西)已知集合M={1,2,zi},i为虚数单位,N={3,4},M∩N={4},则复数z=(  )‎ A.﹣2i B.2i C.﹣4i D.4i ‎【分析】根据两集合的交集中的元素为4,得到zi=4,即可求出z的值.‎ ‎【解答】解:根据题意得:zi=4,‎ 解得:z=﹣4i.‎ 故选C ‎ ‎ ‎2.(5分)(2013•江西)函数y=ln(1﹣x)的定义域为(  )‎ A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1]‎ ‎【分析】由函数的解析式可直接得到不等式组,解出其解集即为所求的定义域,从而选出正确选项 ‎【解答】解:由题意,自变量满足,解得0≤x<1,即函数y=的定义域为[0,1)‎ 故选B ‎ ‎ ‎3.(5分)(2013•江西)等比数列x,3x+3,6x+6,…的第四项等于(  )‎ A.﹣24 B.0 C.12 D.24‎ ‎【分析】由题意可得(3x+3)2=x(6x+6),解x的值,可得此等比数列的前三项,从而求得此等比数列的公比,从而求得第四项.‎ ‎【解答】解:由于 x,3x+3,6x+6是等比数列的前三项,故有(3x+3)2‎ ‎=x(6x+6),解x=﹣3,‎ 故此等比数列的前三项分别为﹣3,﹣6,﹣12,故此等比数列的公比为2,故第四项为﹣24,‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)(2013•江西)总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为(  )‎ ‎7816‎ ‎6572‎ ‎0802‎ ‎6314‎ ‎0702‎ ‎4369‎ ‎9728‎ ‎0198‎ ‎3204‎ ‎9234‎ ‎4935‎ ‎8200‎ ‎3623‎ ‎4869‎ ‎6938‎ ‎7481‎ A.08 B.07 C.02 D.01‎ ‎【分析】从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读,依次为65,72,08,02,63,14,07,02,43,69,97,28,01,98,…,其中08,02,14,07,01符合条件,故可得结论.‎ ‎【解答】解:从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读,‎ 第一个数为65,不符合条件,第二个数为72,不符合条件,‎ 第三个数为08,符合条件,‎ 以下符合条件依次为:08,02,14,07,01,‎ 故第5个数为01.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)(2013•江西)(x2﹣)5的展开式中的常数项为(  )‎ A.80 B.﹣80 C.40 D.﹣40‎ ‎【分析】利用(x)5展开式中的通项公式Tr+1=•x2(5﹣r)•(﹣2)r•x﹣3r,令x的幂指数为0,求得r的值,即可求得(x)5展开式中的常数项.‎ ‎【解答】解:设(x)5展开式中的通项为Tr+1,‎ 则Tr+1=•x2(5﹣r)•(﹣2)r•x﹣3r=(﹣2)r••x10﹣5r,‎ 令10﹣5r=0得r=2,‎ ‎∴(x)5展开式中的常数项为(﹣2)2×=4×10=40.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)(2013•江西)若S1=x2dx,S2=dx,S3=exdx,则S1,S2,S3的大小关系为(  )‎ A.S1<S2<S3 B.S2<S1<S3 C.S2<S3<S1 D.S3<S2<S1‎ ‎【分析】先利用积分基本定理计算三个定积分,再比较它们的大小即可.‎ ‎【解答】解:由于S1=x2dx=|=,‎ S2=dx=lnx|=ln2,‎ S3=exdx=ex|=e2﹣e.‎ 且ln2<<e2﹣e,则S2<S1<S3.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)(2013•江西)阅读如下程序框图,如果输出i=5,那么在空白矩形框中应填入的语句为(  )‎ A.S=2*i﹣2 B.S=2*i﹣1 C.S=2*i D.S=2*i+4‎ ‎【分析】题目给出了输出的结果i=5,让我们分析矩形框中应填的语句,根据判断框中内容,即s<10,我们模拟程序执行的过程,从而得到答案.‎ ‎【解答】解:当空白矩形框中应填入的语句为S=2*I时,‎ 程序在运行过程中各变量的值如下表示:‎ i S 是否继续循环 循环前1 0/‎ 第一圈 2 5 是 第二圈 3 6 是 第三圈 4 9 是 第四圈 5 10 否 故输出的i值为:5,符合题意.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)(2013•江西)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为m,n,那么m+n=(  )‎ A.8 B.9 C.10 D.11‎ ‎【分析】判断CE与EF与正方体表面的关系,即可推出正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为m,n,求出m+n的值.‎ ‎【解答】解:由题意可知直线CE与正方体的上底面平行在正方体的下底面上,与正方体的四个侧面不平行,所以m=4,‎ 直线EF与正方体的左右两个侧面平行,与正方体的上下底面相交,前后侧面相交,所以n=4,所以m+n=8.‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎9.(5分)(2013•江西)过点()引直线l与曲线y=相交于A,B两点,O为坐标原点,当△ABO的面积取得最大值时,直线l的斜率等于(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】由题意可知曲线为单位圆在x轴上方部分(含与x轴的交点),由此可得到过C点的直线与曲线相交时k的范围,设出直线方程,由点到直线的距离公式求出原点到直线的距离,由勾股定理求出直线被圆所截半弦长,写出面积后利用配方法转化为求二次函数的最值.‎ ‎【解答】解:由y=,得x2+y2=1(y≥0).‎ 所以曲线y=表示单位圆在x轴上方的部分(含与x轴的交点),‎ 设直线l的斜率为k,要保证直线l与曲线有两个交点,且直线不与x轴重合,‎ 则﹣1<k<0,直线l的方程为y﹣0=,即.‎ 则原点O到l的距离d=,l被半圆截得的半弦长为.‎ 则=‎ ‎==.‎ 令,则,当,即时,S△ABO有最大值为.‎ 此时由,解得k=﹣.‎ 故答案为B.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)(2013•江西)如图,半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1,l2之间,l∥l1,l与半圆相交于F,G两点,与三角形ABC两边相交于E,D两点.设弧的长为x(0<x<π),y=EB+BC+CD,若l从l1平行移动到l2,则函数y=f(x)的图象大致是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】由题意可知:随着l从l1平行移动到l2,y=EB+BC+CD越来越大,考察几个特殊的情况,计算出相应的函数值y,结合考查选项可得答案.‎ ‎【解答】解:当x=0时,y=EB+BC+CD=BC=;‎ 当x=π时,此时y=AB+BC+CA=3×=2;‎ 当x=时,∠FOG=,三角形OFG为正三角形,此时AM=OH=,‎ 在正△AED中,AE=ED=DA=1,‎ ‎∴y=EB+BC+CD=AB+BC+CA﹣(AE+AD)=3×﹣2×1=2﹣2.如图.‎ 又当x=时,图中y0=+(2﹣)=>2﹣2.‎ 故当x=时,对应的点(x,y)在图中红色连线段的下方,对照选项,D正确.‎ 故选D.‎ ‎ ‎ 二.第Ⅱ卷填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分 ‎11.(5分)(2013•江西)函数y=sin2x+2sin2x最小正周期T为 π .‎ ‎【分析】函数解析式第二项利用二倍角的余弦函数公式化简,整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,找出ω的值,代入周期公式即可求出函数的最小正周期.‎ ‎【解答】解:y=sin2x+2×=sin2x﹣cos2x+=2(sin2x﹣cos2x)+=2sin(2x﹣)+,‎ ‎∵ω=2,∴T=π.‎ 故答案为:π ‎ ‎ ‎12.(5分)(2013•江西)设,为单位向量.且、的夹角为,若=+3,=2,则向量在方向上的射影为  .‎ ‎【分析】根据题意求得的值,从而求得的值,再根据在上的射影为 ,运算求得结果.‎ ‎【解答】解:∵、为单位向量,且 和 的夹角θ等于,∴=1‎ ‎×1×cos=.‎ ‎∵=+3,=2,∴=(+3)•(2)=2+6=2+3=5.‎ ‎∴在上的射影为 =,‎ 故答案为 .‎ ‎ ‎ ‎13.(5分)(2013•江西)设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(ex)=x+ex,则f′(1)= 2 .‎ ‎【分析】由题设知,可先用换元法求出f(x)的解析式,再求出它的导数,从而求出f′(1).‎ ‎【解答】解:函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(ex)=x+ex,‎ 令ex=t,则x=lnt,故有f(t)=lnt+t,即f(x)=lnx+x,‎ ‎∴f′(x)=+1,故f′(1)=1+1=2.‎ 故答案为:2.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)(2013•江西)抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p= 6 .‎ ‎【分析】求出抛物线的焦点坐标,准线方程,然后求出抛物线的准线与双曲线的交点坐标,利用三角形是等边三角形求出p即可.‎ ‎【解答】解:抛物线的焦点坐标为(0,),准线方程为:y=﹣,‎ 准线方程与双曲线联立可得:,‎ 解得x=±,‎ 因为△ABF为等边三角形,所以,即p2=3x2,‎ 即,解得p=6.‎ 故答案为:6.‎ ‎ ‎ 三.第Ⅱ卷选做题:请在下列两题中任选一题作答,若两道题都做,按第一题评卷计分.本题共5分.‎ ‎15.(5分)(2013•江西)(坐标系与参数方程选做题)‎ 设曲线C的参数方程为(t为参数),若以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C的极坐标方程为 ρcos2θ﹣sinθ=0 .‎ ‎【分析】先求出曲线C的普通方程,再利用x=ρcosθ,y=ρsinθ代换求得极坐标方程.‎ ‎【解答】解:由(t为参数),得y=x2,‎ 令x=ρcosθ,y=ρsinθ,‎ 代入并整理得ρcos2θ﹣sinθ=0.‎ 即曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣sinθ=0.‎ 故答案为:ρcos2θ﹣sinθ=0.‎ ‎ ‎ ‎16.(2013•江西)(不等式选做题)‎ 在实数范围内,不等式||x﹣2|﹣1|≤1的解集为 [0,4] .‎ ‎【分析】利用绝对值不等式的等价形式,利用绝对值不等式几何意义求解即可.‎ ‎【解答】解:不等式||x﹣2|﹣1|≤1的解集,就是﹣1≤|x﹣2|﹣1≤1的解集,也就是0≤|x﹣2|≤2的解集,‎ ‎0≤|x﹣2|≤2的几何意义是数轴上的点到2的距离小于等于2的值,所以不等式的解为:0≤x≤4.‎ 所以不等式的解集为[0,4].‎ 故答案为:[0,4].‎ ‎ ‎ 四.第Ⅱ卷解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(12分)(2013•江西)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(cosA﹣sinA)cosB=0.‎ ‎(1)求角B的大小;‎ ‎(2)若a+c=1,求b的取值范围.‎ ‎【分析】(1)已知等式第一项利用诱导公式化简,第二项利用单项式乘多项式法则计算,整理后根据sinA不为0求出tanB的值,由B为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数;‎ ‎(2)由余弦定理列出关系式,变形后将a+c及cosB的值代入表示出b2,根据a的范围,利用二次函数的性质求出b2的范围,即可求出b的范围.‎ ‎【解答】解:(1)由已知得:﹣cos(A+B)+cosAcosB﹣sinAcosB=0,‎ 即sinAsinB﹣sinAcosB=0,‎ ‎∵sinA≠0,∴sinB﹣cosB=0,即tanB=,‎ 又B为三角形的内角,‎ 则B=;‎ ‎(2)∵a+c=1,即c=1﹣a,cosB=,‎ ‎∴由余弦定理得:b2=a2+c2﹣2ac•cosB,即b2=a2+c2﹣ac=(a+c)2﹣3ac=1﹣3a(1﹣a)=3(a﹣)2+,‎ ‎∵0<a<1,∴≤b2<1,‎ 则≤b<1.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)(2013•江西)正项数列{an}的前n项和Sn满足:Sn2‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式an;‎ ‎(2)令b,数列{bn}的前n项和为Tn.证明:对于任意n∈N*,都有T.‎ ‎【分析】(I)由Sn2可求sn,然后利用a1=s1,n≥2时,an=sn﹣sn﹣1可求an ‎(II)由b==,利用裂项求和可求Tn,利用放缩法即可证明 ‎【解答】解:(I)由Sn2‎ 可得,[](Sn+1)=0‎ ‎∵正项数列{an},Sn>0‎ ‎∴Sn=n2+n 于是a1=S1=2‎ n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=n2+n﹣(n﹣1)2﹣(n﹣1)=2n,而n=1时也适合 ‎∴an=2n ‎(II)证明:由b==‎ ‎∴]‎ ‎=‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)(2013•江西)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队,游戏规则为:以0为起点,再从A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X.若X=0就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队.‎ ‎(1)求小波参加学校合唱团的概率;‎ ‎(2)求X的分布列和数学期望.‎ ‎【分析】(1)先求出从8个点中任意取两个点为向量的终点的不同取法,而X=0时,即两向量夹角为直角,求出结果数,代入古典概率的求解公式可求 ‎(2)先求出两向量数量积的所有可能情形及相应的概率,即可求解分布列及期望值 ‎【解答】解:(1)从8个点中任意取两个点为向量的终点的不同取法有=28种 X=0时,两向量夹角为直角共有8种情形 所以小波参加学校合唱团的概率P(X=0)==‎ ‎(2)两向量数量积的所有可能情形有﹣2,﹣1,0,1‎ X=﹣2时有2种情形 X=1时有8种情形 X=﹣1时,有10种情形 X的分布列为:‎ ‎ X ‎﹣2‎ ‎﹣1‎ ‎ 0‎ ‎1 ‎ P EX==‎ ‎ ‎ ‎20.(12分)(2013•江西)如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,E为BD的中点,G为PD的中点,△DAB≌△DCB,EA=EB=AB=1,PA=,连接CE并延长交AD于F ‎(1)求证:AD⊥平面CFG;‎ ‎(2)求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值.‎ ‎【分析】(1)利用直角三角形的判定得到∠BAD=,且∠ABE=∠AEB=.由△DAB≌△DCB得到△EAB≌△ECB,从而得到∠FED=∠FEA=,所以EF⊥AD且AF=FD,结合题意得到FG是△PAD是的中位线,可得FG∥PA,根据PA⊥平面ABCD得FG⊥平面ABCD,得到FG⊥AD,最后根据线面垂直的判定定理证出AD⊥平面CFG;‎ ‎(2)以点A为原点,AB、AD、PA分别为x轴、y轴、z轴建立如图直角坐标系,得到A、B、C、D、P的坐标,从而得到、、的坐标,利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组,解出=(1,﹣,)和=(1,,2)分别为平面BCP、平面DCP的法向量,利用空间向量的夹角公式算出、夹角的余弦,即可得到平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值.‎ ‎【解答】解:(1)∵在△DAB中,E为BD的中点,EA=EB=AB=1,‎ ‎∴AE=BD,可得∠BAD=,且∠ABE=∠AEB=‎ ‎∵△DAB≌△DCB,∴△EAB≌△ECB,从而得到∠FED=∠BEC=∠AEB=‎ ‎∴∠EDA=∠EAD=,可得EF⊥AD,AF=FD 又∵△PAD中,PG=GD,∴FG是△PAD是的中位线,可得FG∥PA ‎∵PA⊥平面ABCD,∴FG⊥平面ABCD,‎ ‎∵AD⊂平面ABCD,∴FG⊥AD 又∵EF、FG是平面CFG内的相交直线,∴AD⊥平面CFG;‎ ‎(2)以点A为原点,AB、AD、PA分别为x轴、y轴、z轴建立如图直角坐标系,可得 A(0,0,0),B(1,0,0),C(,,0),D(0,,0),P(0,0,)‎ ‎∴=(,,0),=(﹣,﹣,),=(﹣,,0)‎ 设平面BCP的法向量=(1,y1,z1),则 解得y1=﹣,z1=,可得=(1,﹣,),‎ 设平面DCP的法向量=(1,y2,z2),则 解得y2=,z2=2,可得=(1,,2),‎ ‎∴cos<,>===‎ 因此平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值等于﹣cos<,>=﹣.‎ ‎ ‎ ‎21.(13分)(2013•江西)如图,椭圆C:经过点P(1,),离心率e=,直线l的方程为x=4.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P),设直线AB与直线l相交于点M,记PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3.问:是否存在常数λ,使得k1+k2=λk3?若存在,求λ的值;若不存在,说明理由.‎ ‎【分析】(1)由题意将点P (1,)代入椭圆的方程,得到,再由离心率为e=,将a,b用c表示出来代入方程,解得c,从而解得a,b,即可得到椭圆的标准方程;‎ ‎(2)方法一:可先设出直线AB的方程为y=k(x﹣1),代入椭圆的方程并整理成关于x的一元二次方程,设A(x1,y1),B(x2,y2),利用根与系数的关系求得x1+x2=,,再求点M的坐标,分别表示出k1,k2,k3.比较k1+k2=λk3即可求得参数的值;‎ 方法二:设B(x0,y0)(x0≠1),以之表示出直线FB的方程为,由此方程求得M的坐标,再与椭圆方程联立,求得A的坐标,由此表示出k1,k2,k3.比较k1+k2=λk3即可求得参数的值 ‎【解答】解:(1)椭圆C:经过点P (1,),可得①‎ 由离心率e=得=,即a=2c,则b2=3c2②,代入①解得c=1,a=2,b=‎ 故椭圆的方程为 ‎(2)方法一:由题意可设AB的斜率为k,则直线AB的方程为y=k(x﹣1)③‎ 代入椭圆方程并整理得(4k2+3)x2﹣8k2x+4k2﹣12=0‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ x1+x2=,④‎ 在方程③中,令x=4得,M的坐标为(4,3k),‎ 从而,,=k﹣‎ 注意到A,F,B共线,则有k=kAF=kBF,即有==k 所以k1+k2=+=+﹣(+)‎ ‎=2k﹣×⑤‎ ‎④代入⑤得k1+k2=2k﹣×=2k﹣1‎ 又k3=k﹣,所以k1+k2=2k3‎ 故存在常数λ=2符合题意 方法二:设B(x0,y0)(x0≠1),则直线FB的方程为 令x=4,求得M(4,)‎ 从而直线PM的斜率为k3=,‎ 联立,得A(,),‎ 则直线PA的斜率k1=,直线PB的斜率为k2=‎ 所以k1+k2=+=2×=2k3,‎ 故存在常数λ=2符合题意 ‎ ‎ ‎22.(14分)(2013•江西)已知函数f(x)=,a为常数且a>0.‎ ‎(1)f(x)的图象关于直线x=对称;‎ ‎(2)若x0满足f(f(x0))=x0,但f(x0)≠x0,则x0称为函数f(x)的二阶周期点,如果f(x)有两个二阶周期点x1,x2,试确定a的取值范围;‎ ‎(3)对于(2)中的x1,x2,和a,设x3为函数f(f(x))的最大值点,A(x1,f(f(x1))),B(x2,f(f(x2))),C(x3,0),记△ABC的面积为S(a),讨论S(a)的单调性.‎ ‎【分析】(1)只要证明成立即可;‎ ‎(2)对a分类讨论,利用二阶周期点的定义即可得出;‎ ‎(3)由(2)得出x3,得出三角形的面积,利用导数即可得出其单调性.‎ ‎【解答】(1)证明:∵==a(1﹣2|x|),=a(1﹣2|x|),‎ ‎∴,∴f(x)的图象关于直线x=对称.‎ ‎(2)解:当时,有f(f(x))=.‎ ‎∴f(f(x))=x只有一个解x=0又f(0)=0,故0不是二阶周期点.‎ 当时,有f(f(x))=.‎ ‎∴f(f(x))=x有解集,{x|x},故此集合中的所有点都不是二阶周期点.‎ 当时,有f(f(x))=,‎ ‎∴f(f(x))=x有四个解:0,,,.‎ 由f(0)=0,,,.‎ 故只有,是f(x)的二阶周期点,综上所述,所求a的取值范围为.‎ ‎(3)由(2)得,.‎ ‎∵x2为函数f(x)的最大值点,∴,或.‎ 当时,S(a)=••|﹣|=.‎ 求导得:S′(a)=.‎ ‎∴当时,S(a)单调递增,当 时,S(a)单调递减.‎ 当时,S(a)=,求导得.‎ ‎∵,从而有.‎ ‎∴当时,S(a)单调递增.‎ ‎ ‎ 参与本试卷答题和审题的老师有:sllwyn;xintrl;caoqz;minqi5;wfy814;qiss;sxs123;邢新丽;吕静;ywg2058;沂蒙松(排名不分先后)‎ ‎2017年2月3日
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