【2020年高考数学预测题】上海市高考数学试卷（文科）3【附详细答案和解析_可编辑】
【2020年高考数学预测题】上海市高考数学试卷（文科）3【附详细答案和解析_可编辑】
学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
一、 选择题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ， ）
1. 已知命题p:“x>2”，是命题q:“x>11”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2. 异面直线是指（ ）
A.空间中两条不相交的直线
B.平面内的一条直线与平面外的一条直线
C.分别位于两个不同平面内的两条直线
D.不同在任何一个平面内的两条直线
3. 函数 y=sin2x-π4，x∈R 的周期和初相分别是( )
A.π，π4 B.π，-π4 C.2π，π4 D.2π，-π4
4. 设f(x)，g(x)，h(x)是定义域为R的三个函数，对于命题：①若f(x)+g(x)，f(x)+h(x)，g(x)+h(x)均是增函数，则f(x)，g(x)，h(x)均是增函数；②若f(x)+g(x)，f(x)+h(x)，g(x)+h(x)均是以T为周期的函数，则f(x)，g(x)，h(x)均是以T为周期的函数，下列判断正确的是( )
A.①和②均为真命题 B.①和②均为假命题
C.①为真命题，②为假命题 D.①为假命题，②为真命题
二、 填空题 （本题共计 14 小题 ，每题 4 分 ，共计56分 ， ）
5. 设x∈R，则不等式|x-3|<1的解集为________．
6. 若复数z满足i⋅z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的虚部为________．
7. 直线l1:2x-y+c=0(c>0)与直线l2:4x-2y+4=0的距离为5，则c=________．
8. 已知样本数据x1，x2，⋯，xn的平均数x¯=5，则样本数据2x1+1，2x2+1，…，2xn+1的平均数为________．
9. 已知θ∈(0,π2)，sin(π4-θ)=55，则sin(2θ+π3)的值为________.
10. （理）已知函数y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数，又y=f-1(x+1)与y=g(x)的图象关于直线y=x对称，若f(x)是R上的函数，f(x)=ax+x+1(a>1)，则g(x)=________．
11. 若x，y满足2x-y≤0，x+y≤3，x≥0，则z=3x+2y的最大值为________．
12. 已知sinα+3cosα＝0，则sin2α＝________．
13. 若2+x5=a0+a11+x+a21+x2+⋯+a51+x5，则a4的值为________．
14. △ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(b+c)(b-c)=a(b-a)，则内角C等于________.
15. 从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后在随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为________．
16. 若α∈(0, π2)，且cos2α=255sin(α+π4)，则tanα=________．
17. 在半径为2的球O中有一内接正四棱柱(底面是正方形，侧棱垂直底面)，当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是________.
18. 无穷数列{an}由k个不同的数组成，Sn为{an}的前n项和．若对任意n∈N*，Sn∈{2, 3}，则k的最大值为________．
三、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 14 分 ，共计70分 ， ）
19. 在如图所示的圆锥中，底面直径与母线长均为4，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PA的中点.
(1)求该圆锥的侧面积与体积；
(2)求异面直线AB与CD所成角的大小．
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20. 有一块正方形EFGH，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F点或河边运走．于是，菜地分别为两个区域S1和S2，其中S1中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为(1, 0)，如图
(1)求菜地内的分界线C的方程；
(2)菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍，由此得到S1面积的经验值为83．设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边，另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于S1面积的“经验值”．
21. 双曲线x2-y2b2=1(b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，直线l过F2且与双曲线交于A，B两点．
(1)若l的倾斜角为π2，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
(2)设b=3，若l的斜率存在，且|AB|=4，求l的斜率．
22. 已知数列{an}是首项a1=14，公比q=14的等比数列，设bn+2=3log14an(n∈N*)，数列{cn}满足cn=an⋅bn．
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{cn}的前n项和Sn．
23. 已知函数fx=xa-exa>0.
(1)求函数fx在1,2上的最大值；
(2)若函数 fx有两个零点x1,x2x1<x2，证明 :x1x2
0)可化为4x-2y+2c=0，
∵ 直线l1:2x-y+c=0(c>0)与直线l2:4x-2y+4=0的距离为5，
∴ |2c-4|16+4=5，
∵ c>0，
∴ c=7，
故答案为：7．
8.【答案】
11
【解答】
解：∵ x1，x2，⋯xn的平均数为x¯=5．
∴ 2x1+1，2x2+1
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，⋯2xn+1的平均数为2×5+1=11．
故答案为：11．
9.【答案】
43+310
【解答】
解：因为已知θ∈(0,π2)，sin(π4-θ)=55，
所以π4-θ为锐角，
cos(π4-θ)=1-sin2(π4-θ)=255，
所以sin(π2-2θ)=2sin(π4-θ)cos(π4-θ)
=45=cos2θ，
cos(π2-2θ)=2cos2(π4-θ)-1=35=sin2θ，
则sin(2θ+π3)=sin2θcosπ3+cos2θsinπ3
=35⋅12+45⋅32=3+4310.
故答案为：43+310.
10.【答案】
y=ax+x
【解答】
解：由y=f-1(x)的图象向左平移1个单位得出y=f-1(x+1)图象
函数y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数，
即y=f(x)与y=f-1(x)图象关于直线y=x对称，
y=f-1(x+1)与y=g(x)的图象关于直线y=x对称
∴ 函数y=f(x)向下平移1个单位可以得出y=g(x)的图象
∵ f(x)=ax+x+1(a>1)，
∴ g(x)=ax+x(a>1)，
故答案为：y=ax+x．
11.【答案】
7
【解答】
解：作出2x-y≤0，x+y≤3，x≥0表示的可行域，如图阴影部分所示：
平移直线3x+2y=0，
易知当直线z=3x+2y经过点P1,2时，取得最大值，
且zmax=3×1+2×2=7．
故答案为：7.
12.【答案】
-35
【解答】
∵ sinα+3cosα＝0，即sinα＝-3cosα，
∴ tanα＝-3．
则sin2α＝2sinαcosα=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanαtan2α+1=2×(-3)9+1=-35．
13.【答案】
5
【解答】
解：由题意可知，
(2+x)5=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+⋯+a5(1+x)5，
因为(2+x)5=[1+(1+x)]5，
令1+x=t，
则有(1+t)5=a0+a1t+a2t2+⋯+a5t5；
(1+t)5的展开式为Tr+1=C5r⋅15-r⋅tr，
a4为t4的系数，
∴ r=4，
∴ 系数a4=C54⋅11=5．
故答案为：5.
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14.【答案】
π3
【解答】
解：∵ 根据题意得b2-c2=ab-a2,
即b2+a2-c2=ab.
∵ cosC=a2+b2-c22ab，
∴ cosC=ab2ab=12，
∴ C=π3.
故答案为：π3.
15.【答案】
25
【解答】
解：从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，
放回后再随机抽取1张，
基本事件总数n=5×5=25，
抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件(m,n)有10个，分别为：
(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),
∴ 抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为p=1025=25,
故答案为：25．
16.【答案】
13
【解答】
α∈(0,π2)，且cos2α=255sin(α+π4)，
∴ cos2α-sin2α=255sin(α+π4)，
∴ (cosα+cosα)(cosα-sinα)=255⋅22(sinα+cosα)，
∴ cosα-sinα=105，
两边平方，得sin2α-2sinαcosα+cos2α=25，
∴ sinαcosα=310，
∴ sinαcosαsin2α+cos2α=tanαtan2α+1=310，
整理得3tan2α-10tanα+3=0，
解得tanα=13或tanα=3，
cosα>sinα，
∴ tanα<1，
∴ tanα=13．
17.【答案】
16(π-2)
【解答】
解：设球内接正四棱柱的底面边长为a，高为h，
则球的半径r=h22+22a2=2，
∴ h2+2a2=16≥22ah，
∴ ah≤42，
∴ S侧=4ah≤162，
∴ 球的表面积S=4π×22=16π，
∴ 当正四棱柱的側面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差为16π-162=16(π-2).
故答案为：16(π-2).
18.【答案】
4
【解答】
解：依题意得，a1=S1∈{2,3}，Sn∈{2,3}且Sn+1∈{2,3}，
因此an+1=Sn+1-Sn∈{-1,0,1}(n∈N*)，
即数列{an}从第2项起的不同取值不超过3个，
进而可知数列{an}中的项的所有不同取值的个数k≤4，
且事实上，取数列{an}为2,1,0,-1,1,0,-1,1,0,-1,⋯，
此时相应的k=4，Sn∈{2,3}．
因此k的最大值是4．
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故答案为：4．
三、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 14 分 ，共计70分 ）
19.【答案】
解：(1)由题意得，OB=2，PB=4，
PO=PB2-OB2=23，
S侧=πrl=8π，
V=13πr2h=13π×22×23
=833π；
(2)取PO的中点E，连接DE，CE，
则∠CDE或其补角即为所求，
易证DE⊥面EOC，
∴ DE⊥EC，
DE=12OA=1，
CE=OC2+OE2=22+(3)2=7，
∴ tan∠CDE=7，
故异面直线AB与DE所成角的大小为arctan7．
【解答】
解：(1)由题意得，OB=2，PB=4，
PO=PB2-OB2=23，
S侧=πrl=8π，
V=13πr2h=13π×22×23
=833π；
(2)取PO的中点E，连接DE，CE，
则∠CDE或其补角即为所求，
易证DE⊥面EOC，
∴ DE⊥EC，
DE=12OA=1，
CE=OC2+OE2=22+(3)2=7，
∴ tan∠CDE=7，
故异面直线AB与DE所成角的大小为arctan7．
20.【答案】
解：(1)设分界线上任意一点为(x, y)，
由题意得|x+1|=(x-1)2+y2，
整理得：y2=4x，(0≤x≤1).
(2)如图，过M作MD⊥x轴，
因为M是C上纵坐标为1的点，
设M(x0, 1)，则y0=1，
∴ x0=y024=14，
∴ 设所表述的矩形面积为S3，则S3=2×(14+1)=2×54=52，
设五边形EMOGH的面积为S4，
则S4=S3-S△OMP+S△MGN=52-12×14×1+12×34×1=114，
S1-S3=83-52=16，S4-S1=114-83=112<16，
∴ 五边形EMOGH的面积更接近S1的面积．
【解答】
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解：(1)设分界线上任意一点为(x, y)，
由题意得|x+1|=(x-1)2+y2，
整理得：y2=4x，(0≤x≤1).
(2)如图，过M作MD⊥x轴，
因为M是C上纵坐标为1的点，
设M(x0, y0)，则y0=1，
∴ x0=y024=14，
∴ 设所表述的矩形面积为S3，则S3=2×(14+1)=2×54=52，
设五边形EMOGH的面积为S4，
则S4=S3-S△OMP+S△MGN=52-12×14×1+12×34×1=114，
S1-S3=83-52=16，S4-S1=114-83=112<16，
∴ 五边形EMOGH的面积更接近S1的面积．
21.【答案】
解：(1)若l的倾斜角为π2，△F1AB是等边三角形，
把x=c=1+b2代入双曲线的方程可得点A的纵坐标为b2，
由tan∠AF1F2=tanπ6=33=b221+b2，
求得b2=2，b=2，
故双曲线的渐近线方程为y=±bx=±2x，
即双曲线的渐近线方程为y=±2x．
(2)设b=3，则双曲线为x2-y23=1，F2(2, 0)，
若l的斜率存在，设l的斜率为k，
则l的方程为y-0=k(x-2)，即y=kx-2k，
联立y=kx-2kx2-y23=1，可得(3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0，
由直线与双曲线有两个交点，则3-k2≠0，即k≠±3．
Δ=36(1+k2)>0．
x1+x2=4k2k2-3，x1⋅x2=4k2+3k2-3．
∵ |AB|=1+k2⋅|x1-x2|
=1+k2⋅(x1+x2)2-4x1⋅x2
=1+k2⋅(4k2k2-3)2-4⋅4k2+3k2-3=4，
化简可得，5k4+42k2-27=0，解得k2=35，
求得k=±155．
∴ l的斜率为±155．
【解答】
解：(1)若l的倾斜角为π2，△F1AB是等边三角形，
把x=c=1+b2代入双曲线的方程可得点A的纵坐标为b2，
由tan∠AF1F2=tanπ6=33=b221+b2，
求得b2=2，b=2，
故双曲线的渐近线方程为y=±bx=±2x，
即双曲线的渐近线方程为y=±2x．
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(2)设b=3，则双曲线为x2-y23=1，F2(2, 0)，
若l的斜率存在，设l的斜率为k，
则l的方程为y-0=k(x-2)，即y=kx-2k，
联立y=kx-2kx2-y23=1，可得(3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0，
由直线与双曲线有两个交点，则3-k2≠0，即k≠±3．
Δ=36(1+k2)>0．
x1+x2=4k2k2-3，x1⋅x2=4k2+3k2-3．
∵ |AB|=1+k2⋅|x1-x2|
=1+k2⋅(x1+x2)2-4x1⋅x2
=1+k2⋅(4k2k2-3)2-4⋅4k2+3k2-3=4，
化简可得，5k4+42k2-27=0，解得k2=35，
求得k=±155．
∴ l的斜率为±155．
22.【答案】
(1)证明：由已知可得an=a1qn-1=14n，
∴ bn+2=3log1414n=3n，
∴ bn=3n-2，
∴ bn+1-bn=3，b1=3×1-2=1，
∴ 数列{bn}为等差数列，其中首项b1=1，公差d=3．
(2)解：cn=anbn=(3n-2)×14n，
∴ Sn=1×14+4×142+7×143+⋯+
(3n-2)×14n，①
14Sn=1×142+4×143+⋯+
(3n-5)×14n+(3n-2)×14n+1，②
①-②，得
34Sn=14+3142+143+144+⋯+14n-
(3n-2)×14n+1
=14+3×142×1-14n-11-14-(3n-2)×14n+1
=12-(3n+2)×14n+1，
∴ Sn=23-3n+23×4n．
【解答】
(1)证明：由已知可得an=a1qn-1=14n，
∴ bn+2=3log1414n=3n，
∴ bn=3n-2，
∴ bn+1-bn=3，b1=3×1-2=1，
∴ 数列{bn}为等差数列，其中首项b1=1，公差d=3．
(2)解：cn=anbn=(3n-2)×14n，
∴ Sn=1×14+4×142+7×143+⋯+
(3n-2)×14n，①
14Sn=1×142+4×143+⋯+
(3n-5)×14n+(3n-2)×14n+1，②
①-②，得
34Sn=14+3142+143+144+⋯+14n-
(3n-2)×14n+1
=14+3×142×1-14n-11-14-(3n-2)×14n+1
=12-(3n+2)×14n+1，
∴ Sn=23-3n+23×4n．
23.【答案】
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解：(1)因为fx=xa-exa>0，则f'x=1a-ex，
令f'x=1a-ex=0，解得x=ln1a，
当x0，
当x>ln1a时， f'x<0，
故函数fx的增区间为(-∞,ln1a)，
减区间为ln1a,+∞，
当ln1a≥2，即00,可得ln1a>1，
则1a>e，此时f1=1a-e>0，由此可得x1<1ln1a-1，即x1-x2<1-ln1a.
又因为f(x1)=x1a-ex1=0,f(x2)=x2a-ex2=0,
所以x1x2=ex1ex2=ex1-x20，则f'x=1a-ex，
令f'x=1a-ex=0，解得x=ln1a，
当x0，
当x>ln1a时， f'x<0，
故函数fx的增区间为(-∞,ln1a)，
减区间为ln1a,+∞，
当ln1a≥2，即00,可得ln1a>1，
则1a>e，此时f1=1a-e>0，由此可得x1<1ln1a-1，即x1-x2<1-ln1a.
又因为f(x1)=x1a-ex1=0,f(x2)=x2a-ex2=0,
所以x1x2=ex1ex2=ex1-x2
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