2014年湖南省高考数学试卷(理科)

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文档介绍

2014年湖南省高考数学试卷(理科)

‎2014年湖南省高考数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)‎ ‎1.(5分)满足=i(i为虚数单位)的复数z=(  )‎ A.+i B.﹣i C.﹣+i D.﹣﹣i ‎2.(5分)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为P1,P2,P3,则(  )‎ A.P1=P2<P3 B.P2=P3<P1 C.P1=P3<P2 D.P1=P2=P3‎ ‎3.(5分)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)﹣g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=(  )‎ A.﹣3 B.﹣1 C.1 D.3‎ ‎4.(5分)(x﹣2y)5的展开式中x2y3的系数是(  )‎ A.﹣20 B.﹣5 C.5 D.20‎ ‎5.(5分)已知命题p:若x>y,则﹣x<﹣y;命题q:若x>y,则x2>y2,在命题①p∧q;②p∨q;③p∧(¬q);④(¬p)∨q中,真命题是(  )‎ A.①③ B.①④ C.②③ D.②④‎ ‎6.(5分)执行如图所示的程序框图,如果输入的t∈[﹣2,2],则输出的S属于(  )‎ A.[﹣6,﹣2] B.[﹣5,﹣1] C.[﹣4,5] D.[﹣3,6]‎ ‎7.(5分)一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎8.(5分)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为(  )‎ A. B. C.pq D.﹣1‎ ‎9.(5分)已知函数f(x)=sin(x﹣φ),且f(x)dx=0,则函数f(x)的图象的一条对称轴是(  )‎ A.x= B.x= C.x= D.x=‎ ‎10.(5分)若函数f(x)=x2+ex﹣(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)图象上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是(  )‎ A.(﹣) B.() C.() D.()‎ ‎ ‎ 二、填空题(共3小题,每小题5分,满分10分)(一)选做题(请考生在第11,12,13三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分)‎ ‎11.(5分)在平面直角坐标系中,倾斜角为的直线l与曲线C:,(α为参数)交于A,B两点,且|AB|=2,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l的极坐标方程是  .‎ ‎12.(5分)如图所示,已知AB,BC是⊙O的两条弦,AO⊥BC,AB=,BC=2,则⊙O的半径等于  .‎ ‎13.若关于x的不等式|ax﹣2|<3的解集为{x|﹣<x<},则a=  .‎ ‎ ‎ ‎(二)必做题(14-16题)‎ ‎14.(5分)若变量x,y满足约束条件,且z=2x+y的最小值为﹣6,则k=  .‎ ‎15.(5分)如图所示,正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为a,b(a<b),原点O为AD的中点,抛物线y2=2px(p>0)经过C,F两点,则=  .‎ ‎16.(5分)在平面直角坐标系中,O为原点,A(﹣1,0),B(0,),C(3,0),动点D满足||=1,则|++|的最大值是  .‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共75分 ‎17.(12分)某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B,设甲、乙两组的研发相互独立.‎ ‎(Ⅰ)求至少有一种新产品研发成功的概率;‎ ‎(Ⅱ)若新产品A研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B研发成功,预计企业可获利润100万元,求该企业可获利润的分布列和数学期望.‎ ‎18.(12分)如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=.‎ ‎(Ⅰ)求cos∠CAD的值;‎ ‎(Ⅱ)若cos∠BAD=﹣,sin∠CBA=,求BC的长.‎ ‎19.(12分)如图,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都相等,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.‎ ‎(Ⅰ)证明:O1O⊥底面ABCD;‎ ‎(Ⅱ)若∠CBA=60°,求二面角C1﹣OB1﹣D的余弦值.‎ ‎20.(13分)已知数列{an}满足a1=1,|an+1﹣an|=pn,n∈N*.‎ ‎(Ⅰ)若{an}是递增数列,且a1,2a2,3a3成等差数列,求p的值;‎ ‎(Ⅱ)若p=,且{a2n﹣1}是递增数列,{a2n}是递减数列,求数列{an}的通项公式.‎ ‎21.(13分)如图,O为坐标原点,椭圆C1:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e1;双曲线C2:﹣=1的左、右焦点分别为F3,F4,离心率为e2,已知e1e2=,且|F2F4|=﹣1.‎ ‎(Ⅰ)求C1、C2的方程;‎ ‎(Ⅱ)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB,M为AB的中点,当直线OM与C2交于P,Q两点时,求四边形APBQ面积的最小值.‎ ‎22.(13分)已知常数a>0,函数f(x)=ln(1+ax)﹣.‎ ‎(Ⅰ)讨论f(x)在区间(0,+∞)上的单调性;‎ ‎(Ⅱ)若f(x)存在两个极值点x1,x2,且f(x1)+f(x2)>0,求a的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎2014年湖南省高考数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)‎ ‎1.(5分)(2014•湖南)满足=i(i为虚数单位)的复数z=(  )‎ A.+i B.﹣i C.﹣+i D.﹣﹣i ‎【分析】根据复数的基本运算即可得到结论.‎ ‎【解答】解:∵=i,‎ ‎∴z+i=zi,‎ 即z===﹣i,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)(2014•湖南)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为P1,P2,P3,则(  )‎ A.P1=P2<P3 B.P2=P3<P1 C.P1=P3<P2 D.P1=P2=P3‎ ‎【分析】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论.‎ ‎【解答】解:根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知,无论哪种抽样,每个个体被抽中的概率都是相等的,‎ 即P1=P2=P3.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)(2014•湖南)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)﹣g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=(  )‎ A.﹣3 B.﹣1 C.1 D.3‎ ‎【分析】‎ 将原代数式中的x替换成﹣x,再结合着f(x)和g(x)的奇偶性可得f(x)+g(x),再令x=1即可.‎ ‎【解答】解:由f(x)﹣g(x)=x3+x2+1,将所有x替换成﹣x,得 f(﹣x)﹣g(﹣x)=﹣x3+x2+1,‎ 根据f(x)=f(﹣x),g(﹣x)=﹣g(x),得 f(x)+g(x)=﹣x3+x2+1,再令x=1,计算得,‎ f(1)+g(1)=1.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)(2014•湖南)(x﹣2y)5的展开式中x2y3的系数是(  )‎ A.﹣20 B.﹣5 C.5 D.20‎ ‎【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式,求解所求项的系数即可.‎ ‎【解答】解:由二项式定理可知:Tr+1=,‎ 要求解(x﹣2y)5的展开式中x2y3的系数,‎ 所以r=3,‎ 所求系数为:=﹣20.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)(2014•湖南)已知命题p:若x>y,则﹣x<﹣y;命题q:若x>y,则x2>y2,在命题①p∧q;②p∨q;③p∧(¬q);④(¬p)∨q中,真命题是(  )‎ A.①③ B.①④ C.②③ D.②④‎ ‎【分析】根据不等式的性质分别判定命题p,q的真假,利用复合命题之间的关系即可得到结论.‎ ‎【解答】解:根据不等式的性质可知,若若x>y,则﹣x<﹣y成立,即p为真命题,‎ 当x=1,y=﹣1时,满足x>y,但x2>y2不成立,即命题q为假命题,‎ 则①p∧q为假命题;②p∨q为真命题;③p∧(¬q)为真命题;④(¬p)∨q为假命题,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)(2014•湖南)执行如图所示的程序框图,如果输入的t∈[﹣2,2],则输出的S属于(  )‎ A.[﹣6,﹣2] B.[﹣5,﹣1] C.[﹣4,5] D.[﹣3,6]‎ ‎【分析】根据程序框图,结合条件,利用函数的性质即可得到结论.‎ ‎【解答】解:若0≤t≤2,则不满足条件输出S=t﹣3∈[﹣3,﹣1],‎ 若﹣2≤t<0,则满足条件,此时t=2t2+1∈(1,9],此时不满足条件,输出S=t﹣3∈(﹣2,6],‎ 综上:S=t﹣3∈[﹣3,6],‎ 故选:D ‎ ‎ ‎7.(5分)(2014•湖南)一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【分析】由题意,该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r.‎ ‎【解答】解:由题意,该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r,则 ‎8﹣r+6﹣r=,‎ ‎∴r=2.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)(2014•湖南)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为(  )‎ A. B. C.pq D.﹣1‎ ‎【分析】设该市这两年生产总值的年平均增长率为x,可得(1+p)(1+q)=(1+x)2,解出即可.‎ ‎【解答】解:设该市这两年生产总值的年平均增长率为x,‎ 则(1+p)(1+q)=(1+x)2,‎ 解得x=﹣1,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎9.(5分)(2014•湖南)已知函数f(x)=sin(x﹣φ),且f(x)dx=0,则函数f(x)的图象的一条对称轴是(  )‎ A.x= B.x= C.x= D.x=‎ ‎【分析】由f(x)dx=0求得cos(φ+)=0,故有 φ+=kπ+,k∈z.可取φ=,则f(x)=sin(x﹣).‎ 令x﹣=kπ+,求得x的值,可得函数f(x)的图象的一条对称轴方程.‎ ‎【解答】解:∵函数f(x)=sin(x﹣φ),‎ f(x)dx=﹣cos(x﹣φ)=﹣cos(﹣φ)﹣[﹣cos(﹣φ)]=cosφ﹣sinφ=cos(φ+)=0,‎ ‎∴φ+=kπ+,k∈z,即 φ=kπ+,k∈z,故可取φ=,f(x)=sin(x﹣).‎ 令x﹣=kπ+,求得 x=kπ+,k∈Z,‎ 则函数f(x)的图象的一条对称轴为 x=,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)(2014•湖南)若函数f(x)=x2+ex﹣(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)图象上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是(  )‎ A.(﹣) B.() C.() D.()‎ ‎【分析】由题意可得ex0﹣﹣ln(﹣x0+a)=0有负根,函数h(x)=ex﹣﹣ln(﹣x+a)为增函数,由此能求出a的取值范围.‎ ‎【解答】解:由题意可得:‎ 存在x0∈(﹣∞,0),满足x02+ex0﹣=(﹣x0)2+ln(﹣x0+a),‎ 即ex0﹣﹣ln(﹣x0+a)=0有负根,‎ ‎∵当x趋近于负无穷大时,ex0﹣﹣ln(﹣x0+a)也趋近于负无穷大,‎ 且函数h(x)=ex﹣﹣ln(﹣x+a)为增函数,‎ ‎∴h(0)=e0﹣﹣lna>0,‎ ‎∴lna<ln,‎ ‎∴a<,‎ ‎∴a的取值范围是(﹣∞,),‎ 故选:A ‎ ‎ 二、填空题(共3小题,每小题5分,满分10分)(一)选做题(请考生在第11,12,13三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分)‎ ‎11.(5分)(2014•湖南)在平面直角坐标系中,倾斜角为的直线l与曲线C:,(α为参数)交于A,B两点,且|AB|=2,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l的极坐标方程是 ρ(cosθ﹣sinθ)=1 .‎ ‎【分析】由题意可得直线l的方程为y=x+b,曲线方程化为直角坐标,表示一个圆,由于弦长正好等于直径,可得圆心(2,1)在直线l上,由此求得b的值,可得直线的方程.‎ ‎【解答】解:设倾斜角为的直线l的方程为y=x+b,‎ 曲线C:(α为参数),即 (x﹣2)2+(y﹣1)2=1,表示以(2,1)为圆心、半径等于1的圆.‎ 由于弦长|AB|=2,正好等于直径,故圆心(2,1)在直线l上,故有1=2+b,解得b=﹣1,‎ 故直线l的方程为 y=x﹣1,即x﹣y﹣1=0.‎ 再根据极坐标与直角坐标的互化公式可得ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0,即ρ(cosθ﹣sinθ)=1‎ 故答案为:ρ(cosθ﹣sinθ)=1.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)(2014•湖南)如图所示,已知AB,BC是⊙O的两条弦,AO⊥BC,AB=,BC=2,则⊙O的半径等于 1.5 .‎ ‎【分析】设垂足为D,⊙O的半径等于R,先计算AD,再计算R即可.‎ ‎【解答】解:设垂足为D,⊙O的半径等于R,则 ‎∵AB,BC是⊙O的两条弦,AO⊥BC,AB=,BC=2,‎ ‎∴AD=1,‎ ‎∴R2=2+(R﹣1)2,‎ ‎∴R=1.5.‎ 故答案为:1.5‎ ‎ ‎ ‎13.(2014•湖南)若关于x的不等式|ax﹣2|<3的解集为{x|﹣<x<},则a= ﹣3 .‎ ‎【分析】分a=0、a>0、a<0三种情况,分别去掉绝对值求得不等式的解集,再把求得的解集和所给的解集作对比,从而求得a的值,综合可得结论.‎ ‎【解答】解:显然,a=0时,条件|ax﹣2|<3恒成立,不满足解集为{x|﹣<x<}.‎ 当a>0时,由关于x的不等式|ax﹣2|<3可得﹣3<ax﹣2<3,解得﹣<x<,‎ 再根据的解集为{x|﹣<x<},∴,a无解.‎ 当a<0时,由关于x的不等式|ax﹣2|<3可得﹣3<ax﹣2<3,解得 <x<﹣,‎ 再根据的解集为{x|﹣<x<},∴,解得a=﹣3,‎ 故答案为:﹣3.‎ ‎ ‎ ‎(二)必做题(14-16题)‎ ‎14.(5分)(2014•湖南)若变量x,y满足约束条件,且z=2x+y的最小值为﹣6,则k= ﹣2 .‎ ‎【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即先确定z的最优解,然后确定k的值即可.‎ ‎【解答】解:作出不等式对应的平面区域,(阴影部分)‎ 由z=2x+y,得y=﹣2x+z,‎ 平移直线y=﹣2x+z,由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时,直线y=﹣2x+z的截距最小,此时z最小.‎ 目标函数为2x+y=﹣6,‎ 由,解得,‎ 即A(﹣2,﹣2),‎ ‎∵点A也在直线y=k上,‎ ‎∴k=﹣2,‎ 故答案为:﹣2.‎ ‎ ‎ ‎15.(5分)(2014•湖南)如图所示,正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为a,b(a<b),原点O为AD的中点,抛物线y2=2px(p>0)经过C,F两点,则=  .‎ ‎【分析】可先由图中的点与抛物线的位置关系,写出C,F两点的坐标,再将坐标代入抛物线方程中,消去参数p后,得到a,b的关系式,再寻求的值.‎ ‎【解答】解:由题意可得,,‎ 将C,F两点的坐标分别代入抛物线方程y2=2px中,得 ‎∵a>0,b>0,p>0,两式相比消去p得,化简整理得a2+2ab﹣b2=0,‎ 此式可看作是关于a的一元二次方程,由求根公式得,‎ 取,‎ 从而,‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎16.(5分)(2014•湖南)在平面直角坐标系中,O为原点,A(﹣1,0),B(0,),C(3,0),动点D满足||=1,则|++|的最大值是 +1 .‎ ‎【分析】由题意可得,点D在以C(3,0)为圆心的单位圆上,设点D的坐标为(3+cosθ,sinθ),求得|++|≤|++|+||,可得|++|的最大值.‎ ‎【解答】解:由题意可得,点D在以C(3,0)为圆心的单位圆上,设点D的坐标为(3+cosθ,sinθ),‎ 则|++|≤|++|+||=+1.‎ ‎∴|++|的最大值是 +1,‎ 故答案为:+1.‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共75分 ‎17.(12分)(2014•湖南)某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B,设甲、乙两组的研发相互独立.‎ ‎(Ⅰ)求至少有一种新产品研发成功的概率;‎ ‎(Ⅱ)若新产品A研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B研发成功,预计企业可获利润100万元,求该企业可获利润的分布列和数学期望.‎ ‎【分析】(Ⅰ)利用对立事件的概率公式,计算即可,‎ ‎(Ⅱ)求出企业利润的分布列,再根据数学期望公式计算即可.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)设至少有一种新产品研发成功的事件为事件A且事件B为事件A的对立事件,则事件B为一种新产品都没有成功,‎ 因为甲乙研发新产品成功的概率分别为和.‎ 则P(B)=,‎ 再根据对立事件的概率之间的公式可得P(A)=1﹣P(B)=,‎ 故至少有一种新产品研发成功的概率为.‎ ‎(Ⅱ)由题可得设企业可获得利润为X,则X的取值有0,120,100,220,‎ 由独立试验的概率计算公式可得,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 所以X的分布列如下:‎ X ‎0‎ ‎120‎ ‎100‎ ‎220‎ P(x)‎ 则数学期望E(X)==140.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)(2014•湖南)如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=.‎ ‎(Ⅰ)求cos∠CAD的值;‎ ‎(Ⅱ)若cos∠BAD=﹣,sin∠CBA=,求BC的长.‎ ‎【分析】(Ⅰ)利用余弦定理,利用已知条件求得cos∠CAD的值.‎ ‎(Ⅱ)根据cos∠CAD,cos∠BAD的值分别,求得sin∠BAD和sin∠CAD,进而利用两角和公式求得sin∠BAC的值,最后利用正弦定理求得BC.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)cos∠CAD===.‎ ‎(Ⅱ)∵cos∠BAD=﹣,‎ ‎∴sin∠BAD==,‎ ‎∵cos∠CAD=,‎ ‎∴sin∠CAD==‎ ‎∴sin∠BAC=sin(∠BAD﹣∠CAD)=sin∠BADcos∠CAD﹣cos∠BADsin∠CAD=×+×=,‎ ‎∴由正弦定理知=,‎ ‎∴BC=•sin∠BAC=×=3‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)(2014•湖南)如图,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都相等,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.‎ ‎(Ⅰ)证明:O1O⊥底面ABCD;‎ ‎(Ⅱ)若∠CBA=60°,求二面角C1﹣OB1﹣D的余弦值.‎ ‎【分析】(Ⅰ)由已知中,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都相等,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.可得O1O∥CC1∥BB1且CC1⊥AC,BB1⊥BD,进而OO1⊥AC,OO1⊥‎ BD,再由线面垂直的判定定理得到O1O⊥底面ABCD;‎ ‎(Ⅱ)设四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长均为2a,设AB为2,若∠CBA=60°,OA=OC=1,OB=OD=,以O为坐标原点,分别以OB,OC,OO1为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系,求出平面BDD1B1和平面OB1C1的法向量,代入向量夹角公式,求出二面角的余弦值.‎ ‎【解答】证明:(Ⅰ)∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都相等,‎ ‎∴四边形ABCD为菱形,‎ 又∵AC∩BD=O,‎ 故O为BD的中点,‎ 同理O1也是B1D1的中点,‎ 又∵四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形,‎ ‎∴O1O∥CC1∥BB1且CC1⊥AC,BB1⊥BD,‎ ‎∴OO1⊥AC,OO1⊥BD,‎ 又∵AC∩BD=O,AC,BD⊂平面ABCD,‎ ‎∴O1O⊥底面ABCD;‎ 解:(Ⅱ)设四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长均相等,所以四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴AC⊥BD,‎ 又∵O1O⊥底面ABCD,‎ ‎∴OB,OC,OO1两两垂直,‎ 如图,以O为坐标原点,OB,OC,OO1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立直角坐标系O﹣xyz.‎ 设AB=2,‎ ‎∵∠CBA=60°,‎ ‎∴OA=OC=1,OB=OD=,‎ 则O(0,0,0),B1(),C1(0,1,2)‎ 易知,=(0,1,0)是平面BDD1B1的一个法向量,‎ 设=(x,y,z)是平面OB1C1的一个法向量,则,即 取z=﹣,则x=2,y=2,所以=(2,2,﹣)‎ 设二面角C1﹣OB1﹣D的大小为θ,易知θ是锐角,于是:‎ cosθ=|cos<,>|=||==,‎ 故二面角C1﹣OB1﹣D的余弦值为.‎ ‎ ‎ ‎20.(13分)(2014•湖南)已知数列{an}满足a1=1,|an+1﹣an|=pn,n∈N*.‎ ‎(Ⅰ)若{an}是递增数列,且a1,2a2,3a3成等差数列,求p的值;‎ ‎(Ⅱ)若p=,且{a2n﹣1}是递增数列,{a2n}是递减数列,求数列{an}的通项公式.‎ ‎【分析】(Ⅰ)根据条件去掉式子的绝对值,分别令n=1,2代入求出a2和a3,再由等差中项的性质列出关于p的方程求解,利用“{an}是递增数列”对求出的p的值取舍;‎ ‎(Ⅱ)根据数列的单调性和式子“|an+1﹣an|=pn”、不等式的可加性,求出和a2n+1﹣a2n=,再对数列{an}的项数分类讨论,利用累加法和等比数列前n项和公式,求出数列{an}的奇数项、偶数项对应的通项公式,再用分段函数的形式表示出来.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)∵数列{an}是递增数列,∴an+1﹣an>0,‎ 则|an+1﹣an|=pn化为:an+1﹣an=pn,‎ 分别令n=1,2可得,a2﹣a1=p,,‎ 即a2=1+p,,‎ ‎∵a1,2a2,3a3成等差数列,∴4a2=a1+3a3,‎ 即4(1+p)=1+3(p2+p+1),‎ 化简得3p2﹣p=0,解得或0,‎ 当p=0时,数列an为常数数列,不符合数列{an}是递增数列,‎ ‎∴;‎ ‎(2)由题意可得,|an+1﹣an|=,‎ 则|a2n﹣a2n﹣1|=,|a2n+2﹣a2n+1|=,‎ ‎∵数列{a2n﹣1}是递增数列,且{a2n}是递减数列,‎ ‎∴a2n+1﹣a2n﹣1>0,且a2n+2﹣a2n<0,‎ 则﹣(a2n+2﹣a2n)>0,两不等式相加得 a2n+1﹣a2n﹣1﹣(a2n+2﹣a2n)>0,即a2n+1﹣a2n+2>a2n﹣1﹣a2n,‎ 又∵|a2n﹣a2n﹣1|=>|a2n+2﹣a2n+1|=,‎ ‎∴a2n﹣a2n﹣1>0,即,‎ 同理可得:a2n+3﹣a2n+2>a2n+1﹣a2n,即|a2n+3﹣a2n+2|<|a2n+1﹣a2n|,‎ 则a2n+1﹣a2n=‎ 当数列{an}的项数为偶数时,令n=2m(m∈N*),‎ ‎,,,…,,‎ 这2m﹣1个等式相加可得,‎ ‎==,‎ 则;‎ 当数列{an}的项数为奇数时,令n=2m+1(m∈N*)‎ ‎,,,…,,‎ 这2m个等式相加可得,…﹣…+‎ ‎=﹣=,‎ 则,且当m=0时a1=1符合,‎ 故,‎ 综上得,.‎ ‎ ‎ ‎21.(13分)(2014•湖南)如图,O为坐标原点,椭圆C1:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e1;双曲线C2:﹣=1的左、右焦点分别为F3,F4,离心率为e2,已知e1e2=,且|F2F4|=﹣1.‎ ‎(Ⅰ)求C1、C2的方程;‎ ‎(Ⅱ)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB,M为AB的中点,当直线OM与C2交于P,Q两点时,求四边形APBQ面积的最小值.‎ ‎【分析】(Ⅰ)由斜率公式写出e1,e2,把双曲线的焦点用含有a,b的代数式表示,结合已知条件列关于a,b的方程组求解a,b的值,则圆锥曲线方程可求;‎ ‎(Ⅱ)设出AB所在直线方程,和椭圆方程联立后得到关于y的一元二次方程,由根与系数的关系得到AB中点M的坐标,并由椭圆的焦点弦公式求出AB的长度,写出PQ的方程,和双曲线联立后解出P,Q的坐标,由点到直线的距离公式分别求出P,Q到AB的距离,然后代入代入三角形面积公式得四边形APBQ的面积,再由关于n的函数的单调性求得最值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由题意可知,,且.‎ ‎∵e1e2=,且|F2F4|=﹣1.‎ ‎∴,且.‎ 解得:.‎ ‎∴椭圆C1的方程为,双曲线C2的方程为;‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可得F1(﹣1,0).‎ ‎∵直线AB不垂直于y轴,‎ ‎∴设AB的方程为x=ny﹣1,‎ 联立,得(n2+2)y2﹣2ny﹣1=0.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),‎ 则,.‎ 则 ‎==.‎ ‎∵M在直线AB上,‎ ‎∴.‎ 直线PQ的方程为,‎ 联立,得.‎ 解得,代入 得.‎ 由2﹣n2>0,得﹣<n<.‎ ‎∴P,Q的坐标分别为,‎ 则P,Q到AB的距离分别为:,.‎ ‎∵P,Q在直线A,B的两端,‎ ‎∴.‎ 则四边形APBQ的面积S=|AB|.‎ ‎∴当n2=0,即n=0时,四边形APBQ面积取得最小值2.‎ ‎ ‎ ‎22.(13分)(2014•湖南)已知常数a>0,函数f(x)=ln(1+ax)﹣.‎ ‎(Ⅰ)讨论f(x)在区间(0,+∞)上的单调性;‎ ‎(Ⅱ)若f(x)存在两个极值点x1,x2,且f(x1)+f(x2)>0,求a的取值范围.‎ ‎【分析】(Ⅰ)利用导数判断函数的单调性,注意对a分类讨论;‎ ‎(Ⅱ)利用导数判断函数的极值,注意a的讨论及利用换元法转化为求函数最值问题解决.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)∵f(x)=ln(1+ax)﹣.‎ ‎∴f′(x)==,‎ ‎∵(1+ax)(x+2)2>0,∴当1﹣a≤0时,即a≥1时,f′(x)≥0恒成立,则函数f(x)在(0,+∞)单调递增,‎ 当0<a≤1时,由f′(x)=0得x=±,则函数f(x)在(0,)单调递减,在(,+∞)单调递增.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当a≥1时,f′(x)≥0,此时f(x)不存在极值点.‎ 因此要使f(x)存在两个极值点x1,x2,则必有0<a<1,又f(x)的极值点值可能是x1=,x2=﹣,‎ 且由f(x)的定义域可知x>﹣且x≠﹣2,‎ ‎∴﹣>﹣且﹣≠﹣2,解得a≠,则x1,x2分别为函数f(x)的极小值点和极大值点,‎ ‎∴f(x1)+f(x2)=ln[1+ax1]﹣+ln(1+ax2)﹣=ln[1+a(x1+x2)+a2x1x2]﹣‎ ‎=ln(2a﹣1)2﹣=ln(2a﹣1)2+﹣2.‎ 令2a﹣1=x,由0<a<1且a≠得,‎ 当0<a<时,﹣1<x<0;当<a<1时,0<x<1.‎ 令g(x)=lnx2+﹣2.‎ ‎(i)当﹣1<x<0时,g(x)=2ln(﹣x)+﹣2,∴g′(x)=﹣=<0,‎ 故g(x)在(﹣1,0)上单调递减,g(x)<g(﹣1)=﹣4<0,‎ ‎∴当0<a<时,f(x1)+f(x2)<0;‎ ‎(ii)当0<x<1.g(x)=2lnx+﹣2,g′(x)=﹣=<0,‎ 故g(x)在(0,1)上单调递减,g(x)>g(1)=0,‎ ‎∴当<a<1时,f(x1)+f(x2)>0;‎ 综上所述,a的取值范围是(,1).‎ ‎ ‎ 参与本试卷答题和审题的老师有:maths;任老师;qiss;刘长柏;沂蒙松;caoqz;智者乐水;尹伟云;whgcn;wsj1012;豫汝王世崇;gongjy;sxs123;liu老师(排名不分先后)‎ ‎2017年2月3日
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