2005年黑龙江省高考数学试卷Ⅱ（文）【附答案、word版本，可再编辑；B4纸型两栏】
2005年黑龙江省高考数学试卷Ⅱ（文）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1. 函数f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期是（ ）
A.π4 B.π2 C.π D.2π
2. 正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点．那么，正方体的过P，Q，R的截面图形是( )
A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形
3. 函数y=x2-1(x≥0)的反函数是（ ）
A.y=x+1(x≥-1) B.y=-x+1(x≥0) C.y=x-1(x≥-1) D.y=x+1(x≥0)
4. 已知函数y=tanωx在(-π2，π2)上是减函数，则（ ）
A.0<ω≤1 B.-1≤ω<0 C.ω≥1 D.ω≤-1
5. 抛物线x2=4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
6. 双曲线x24-y29=1的渐近线方程是（ ）
A.y=±23x B.y=±49x C.y=±32x D.y=±94x
7. 如果数列{an}是等差数列，则（ ）
A.a1+a8>a4+a5 B.a1+a8=a4+a5 C.a1+a8
0}，则M∩N为（ ）
A.{x|-4≤x<-2或33} D.{x|x<-2或x≥3}
11. 点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v→=(4, -3)（即点P的运动方向与v→相同，且每秒移动的距离为|v→|个单位．设开始时点P的坐标为(-10, 10)，则5秒后点P的坐标为（ ）
A.(-2, 4) B.(-30, 25) C.(10, -5) D.(5, -10)
12. △ABC的顶点在平面α内，A、C在α的同一侧，AB、BC与α所成的角分别是30∘和45∘．若AB=3，BC=42，AC=5，则AC与α所成的角为（ ）
A.60∘ B.45∘ C.30∘ D.15∘
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13. 在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________．
14. 圆心为(1, 2)且与直线5x-12y-7=0相切的圆的方程为________．
15. 在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有________个．
16. 下面是关于三棱锥的四个命题：
①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．
②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．
③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．
④侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．
其中，真命题的编号是________．（写出所有真命题的编号）
三、解答题（共6小题，满分74分）
17. 已知α为第二象限的角，sinα=35，β为第一象限的角，cosβ=513．求tan(2α-β)的值．
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18. 甲、乙两队进行一场排球比赛．根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.60，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影响．
(I)前三局比赛甲队领先的概率；
(II)本场比赛乙队以3:2取胜的概率．（精确到0.001）
19. 已知{an}是各项均为正数的等差数列，lga1，lga2，lga4成等差数列．又bn=1a2n，n=1，2，3，…．
(I)证明{bn}为等比数列；
(II)如果数列{bn}前3项的和等于724，求数列{an}的首项a1和公差d．
20. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E，F分别为CD，PB的中点．
（1）求证：EF⊥面PAB；
（2）若AB=2BC，求AC与面AEF所成的角．
21. 设a为实数，函数f(x)=x3-x2-x+a．
(I)求f(x)的极值；
(II)当a在什么范围内取值时，曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点．
22. P，Q，M，N四点都在椭圆x2+y22=1上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点．已知PF→与FQ→共线，MF→与FN→共线，且PF→⋅MF→=0．求四边形PMQN的面积的最小值和最大值．
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参考答案与试题解析
2005年黑龙江省高考数学试卷Ⅱ（文）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1.C
2.D
3.A
4.B
5.D
6.C
7.B
8.A
9.C
10.A
11.C
12.C
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13.216
14.(x-1)2+(y-2)2=4
15.192
16.①，④
三、解答题（共6小题，满分74分）
17.解：∵ α为第二象限角，sinα=35，∴ cosα=-45，tanα=-34，tan2α=-247，
又∵ β为第一象限角，cosβ=513，∴ sinβ=1213，tanβ=125，
∴ tan(2α-β)=tan2α-tanβ1+tan2α⋅tanβ=-247-1251-247×125=204253
18.解：(1)∵ 前三局比赛甲队领先分为两种情况，这两种情况是互斥的，
①前三局比赛中甲队全部获胜，其概率为P1=C33(0.6)3×(0.4)0=0.216；
②前三局比赛中甲队两局获胜、一局失败，其概率为P2=C32(0.6)2×(0.4)1=0.432；
∴ 前三局比赛甲队领先的概率为：P=P1+P2=0.648
(2)本场比赛乙队以3:2取胜，则乙队在前四局比赛中乙队获胜两局、在第五局比赛中获胜，
其概率为P=C42(0.6)2×(0.4)2×0.4=0.13824≈0.138
19.(1)证明：设{an}中首项为a1，公差为d．
∵ lga1，lga2，lga4成等差数列
∴ 2lga2=lga1+lga4∴ a22=a1⋅a4，即(a1+d)2=a1(a1+3d)
∴ d=0或d=a1
当d=0时，an=a1，bn=1a2n=1a1，
∴ bn+1bn=1，
∴ {bn}为等比数列；
当d=a1时，an=na1，bn=1a2n=12na1，
∴ bn+1bn=12，
∴ {bn}为等比数列
综上可知{bn}为等比数列
(2)当d=0时，bn=1a2n=1a1，
∴ b1+b2+b3=3a1=724
∴ a1=727；
当d=a1时，bn=1a2n=12na1
∴ b1+b2+b3=12a1+14a1+18a1=78a1=724
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∴ a1=3
综上可知a1=727d=0或a1=3d=3
20.解：方法一：（1）取PA中点G，连接FG，DG
BF=FP⇒FG= // 12ABCE=ED⇒DE= // 12AB⇒FG= // DE
⇒四边形DEFG为平行四边形⇒EF= // DG
⇒平面PAB⊥平面PAD
又PD=AD，PG=GA⇒DG⊥PA
⇒DG⊥平面PABDE，又FE // DG
⇒EF⊥平面PAB．
（2）设AC，BD交于O，连接FO．
由PF=BF，BO=OD得FO= // 12PD，又PD⊥平面ABCD
∴ FO⊥平面ABCD
设BC=a，则AB=2a，∴ PA=2a，
DG=22a=EF，∴ PB=2a，AF=a．
设C到平面AEF的距离为h．
∵ VC-AEF=VF-ACE，∴ 13×12EF⋅AF⋅h=13×12CE⋅AD⋅FO
即22a⋅a⋅h=22a⋅a⋅a2∴ h=a2
∴ AC与平面AEF所成角的正弦值为hAC=a/23a=36．
即AC与平面AEF所成角为arcsin36
方法二：以D为坐标原点，DA的长为单位，建立如图所示的直角坐标系，
（1）证明：
设E(a, 0, 0)，其中a>0，则C(2a,0,0),A(0,1,0),B(2a,1,0),P(0,0,1),F(a,12，12)，EF→=(0,12,12)，PB→=(2a,1,-1)，AB→=(2a,0,0)，EF→⋅PB→=0，∴ EF⊥PB，AB→⋅EF→=0，∴ AB⊥EF
又PB⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，PB∩AB=B，∴ EF⊥⊂平面PAB
（2）解：由AB=2BC，得a=22，
可得AC→=(2,-1,0)，PB→=(2,1,-1)
cos⟨AC→，PB→>=|AC→|⋅|PB→|˙=36，
则异面直线AC，PB所成的角为arccos36，
AF→=(22,-12,12)，∴ AF→⋅PB→=0，AF⊥PB，
又PB⊥EF，AF为平面AEF内两条相交直线，
∴ PB⊥平面AEF，∴ AC与平面AEF所成的角为π2-arccos36(=arcsin36)，
即AC与平面AEF所成的角为arcsin36．
21.解：(1)令f'(x)=3x2-2x-1=0得：x1=-13，x2=1．
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又∵ 当x∈(-∞, -13)时，f'(x)>0；
当x∈(-13, 1)时，f'(x)<0；
当x∈(1, +∞)时，f'(x)>0；
∴ x1=-13与x2=1分别为f(x)的极大值与极小值点．
∴ f(x)极大值=f(-13)=a+527；f(x)极小值=a-1
(2)∵ f(x)在(-∞, -13)上单调递增，
∴ 当x→-∞时，f(x)→-∞；
又f(x)在(1, +∞)单调递增，当x→+∞时，f(x)→+∞
∴ 当f(x)极大值<0或f(x)极小值>0时，曲线f(x)与x轴仅有一个交点．
即a+527<0或a-1>0，
∴ a∈(-∞, -527)∪(1, +∞)
22.解：∵ PF→⋅MF→=0⇒PF→⊥MF→．即MN⊥PQ．
当MN或PQ中有一条直线垂直于x轴时，另一条直线必垂直于y轴．
不妨设MN⊥y轴，则PQ⊥x轴，
∵ F(0, 1)
∴ MN的方程为：y=1，PQ的方程为：x=0
分别代入椭圆x2+y22=1中得：|MN|=2，|PQ|=22．
S四边形PMQN=12|MN|⋅|PQ|=12×2×22=2
当MN，PQ都不与坐标轴垂直时，
设MN的方程为y=kx+1(k≠0)，
代入椭圆x2+y22=1中得：(k2+2)x2+2kx-1=0，
∴ x1+x2=-2kk2+2，x1⋅x2=-1k2+2
∴ |MN|=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=(1+k2)[(2kk2+2)2+4k2+2]=22(1+k2)k2+2
同理可得：|PQ|=22(1+k2)2k2+1，
S四边形PMQN=12|MN|⋅|PQ|=2×2k4+4k2+22k4+5k2+2=2(1-k22k4+5k2+2)=2(1-12(k2+1/k2)+5)≥169
（当且仅当k2=1k2即k=±1时，取等号）．
又S四边形PMQN=2(1-k22k4+5k2+2)<2，∴ 此时169≤S四边形PMQN<2．
综上可知：(S四边形PMQN)max=2，(S四边形PMQN)min=169．
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