2005年黑龙江省高考数学试卷Ⅱ(文)【附答案、word版本,可再编辑;B4纸型两栏】

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2005年黑龙江省高考数学试卷Ⅱ(文)【附答案、word版本,可再编辑;B4纸型两栏】

‎2005年黑龙江省高考数学试卷Ⅱ(文)‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)‎ ‎1. 函数f(x)=|sinx+cosx|‎的最小正周期是( )‎ A.π‎4‎ B.π‎2‎ C.π D.‎‎2π ‎2. 正方体ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中,P,Q,R分别是AB,AD,B‎1‎C‎1‎的中点.那么,正方体的过P,Q,R的截面图形是‎(‎        ‎‎)‎ A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 ‎3. 函数y=x‎2‎-1(x≥0)‎的反函数是( )‎ A.y=x+1‎(x≥-1)‎ B.y=-x+1‎(x≥0)‎ C.y=x-1‎(x≥-1)‎ D.‎y=x+1‎(x≥0)‎ ‎4. 已知函数y=tanωx在‎(-π‎2‎,π‎2‎)‎上是减函数,则( )‎ A.‎0<ω≤1‎ B.‎-1≤ω<0‎ C.ω≥1‎ D.‎ω≤-1‎ ‎5. 抛物线x‎2‎‎=4y上一点A的纵坐标为‎4‎,则点A与抛物线焦点的距离为( )‎ A.‎2‎ B.‎3‎ C.‎4‎ D.‎‎5‎ ‎6. 双曲线x‎2‎‎4‎‎-y‎2‎‎9‎=1‎的渐近线方程是( )‎ A.y=±‎2‎‎3‎x B.y=±‎4‎‎9‎x C.y=±‎3‎‎2‎x D.‎y=±‎9‎‎4‎x ‎7. 如果数列‎{an}‎是等差数列,则( )‎ A.a‎1‎‎+a‎8‎>a‎4‎+‎a‎5‎ B.a‎1‎‎+a‎8‎=a‎4‎+‎a‎5‎ C.a‎1‎‎+a‎8‎0}‎,则M∩N为( )‎ A.‎{x|-4≤x<-2或33}‎ D.‎‎{x|x<-2或x≥3}‎ ‎11. 点P在平面上作匀速直线运动,速度向量v‎→‎‎=(4, -3)‎(即点P的运动方向与v‎→‎相同,且每秒移动的距离为‎|v‎→‎|‎个单位.设开始时点P的坐标为‎(-10, 10)‎,则‎5‎秒后点P的坐标为(         )‎ A.‎(-2, 4)‎ B.‎(-30, 25)‎ C.‎(10, -5)‎ D.‎‎(5, -10)‎ ‎12. ‎△ABC的顶点在平面α内,A、C在α的同一侧,AB、BC与α所成的角分别是‎30‎‎∘‎和‎45‎‎∘‎.若AB=3‎,BC=4‎‎2‎,AC=5‎,则AC与α所成的角为( )‎ A.‎60‎‎∘‎ B.‎45‎‎∘‎ C.‎30‎‎∘‎ D.‎‎15‎‎∘‎ 二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分)‎ ‎13. 在‎8‎‎3‎和‎27‎‎2‎之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为________.‎ ‎14. 圆心为‎(1, 2)‎且与直线‎5x-12y-7=0‎相切的圆的方程为________.‎ ‎15. 在由数字‎0‎,‎1‎,‎2‎,‎3‎,‎4‎,‎5‎所组成的没有重复数字的四位数中,不能被‎5‎整除的数共有________个.‎ ‎16. 下面是关于三棱锥的四个命题:‎ ‎①底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.‎ ‎②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.‎ ‎③底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥.‎ ‎④侧棱与底面所成的角相等,且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.‎ 其中,真命题的编号是________.(写出所有真命题的编号)‎ 三、解答题(共6小题,满分74分)‎ ‎17. 已知α为第二象限的角,sinα=‎‎3‎‎5‎,β为第一象限的角,cosβ=‎‎5‎‎13‎.求tan(2α-β)‎的值.‎ ‎ 5 / 5‎ ‎18. 甲、乙两队进行一场排球比赛.根据以往经验,单局比赛甲队胜乙队的概率为‎0.60‎,本场比赛采用五局三胜制,即先胜三局的队获胜,比赛结束.设各局比赛相互间没有影响.‎ ‎(I)‎前三局比赛甲队领先的概率;‎ ‎(II)‎本场比赛乙队以‎3:2‎取胜的概率.(精确到‎0.001‎)‎ ‎19. 已知‎{an}‎是各项均为正数的等差数列,lga‎1‎,lga‎2‎,lga‎4‎成等差数列.又bn‎=‎‎1‎a‎2‎n,n=1‎,‎2‎,‎3‎,….‎ ‎(I)‎证明‎{bn}‎为等比数列;‎ ‎(II)‎如果数列‎{bn}‎前‎3‎项的和等于‎7‎‎24‎,求数列‎{an}‎的首项a‎1‎和公差d.‎ ‎20. 如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥‎底面ABCD,AD=PD,E,F分别为CD,PB的中点.‎ ‎(1)求证:EF⊥‎面PAB;‎ ‎(2)若AB=‎2‎BC,求AC与面AEF所成的角.‎ ‎21. 设a为实数,函数f(x)=x‎3‎-x‎2‎-x+a.‎ ‎(I)‎求f(x)‎的极值;‎ ‎(II)‎当a在什么范围内取值时,曲线y=f(x)‎与x轴仅有一个交点.‎ ‎22. P,Q,M,N四点都在椭圆x‎2‎‎+y‎2‎‎2‎=1‎上,F为椭圆在y轴正半轴上的焦点.已知PF‎→‎与FQ‎→‎共线,MF‎→‎与FN‎→‎共线,且PF‎→‎‎⋅MF‎→‎=0‎.求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.‎ ‎ 5 / 5‎ 参考答案与试题解析 ‎2005年黑龙江省高考数学试卷Ⅱ(文)‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)‎ ‎1.C ‎2.D ‎3.A ‎4.B ‎5.D ‎6.C ‎7.B ‎8.A ‎9.C ‎10.A ‎11.C ‎12.C 二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分)‎ ‎13.‎‎216‎ ‎14.‎‎(x-1‎)‎‎2‎+(y-2‎)‎‎2‎=4‎ ‎15.‎‎192‎ ‎16.①,④‎ 三、解答题(共6小题,满分74分)‎ ‎17.解:∵ α为第二象限角,sinα=‎‎3‎‎5‎,∴ cosα=-‎‎4‎‎5‎,tanα=-‎‎3‎‎4‎,tan2α=-‎‎24‎‎7‎,‎ 又∵ β为第一象限角,cosβ=‎‎5‎‎13‎,∴ sinβ=‎‎12‎‎13‎,tanβ=‎‎12‎‎5‎,‎ ‎∴ ‎tan(2α-β)=tan2α-tanβ‎1+tan2α⋅tanβ=‎-‎24‎‎7‎-‎‎12‎‎5‎‎1-‎24‎‎7‎×‎‎12‎‎5‎=‎‎204‎‎253‎ ‎18.解:‎(1)‎∵ 前三局比赛甲队领先分为两种情况,这两种情况是互斥的,‎ ‎①前三局比赛中甲队全部获胜,其概率为P‎1‎‎=C‎3‎‎3‎(0.6‎)‎‎3‎×(0.4‎)‎‎0‎=0.216‎;‎ ‎②前三局比赛中甲队两局获胜、一局失败,其概率为P‎2‎‎=C‎3‎‎2‎(0.6‎)‎‎2‎×(0.4‎)‎‎1‎=0.432‎;‎ ‎∴ 前三局比赛甲队领先的概率为:‎P=P‎1‎+P‎2‎=0.648‎ ‎(2)‎本场比赛乙队以‎3:2‎取胜,则乙队在前四局比赛中乙队获胜两局、在第五局比赛中获胜,‎ 其概率为P=C‎4‎‎2‎(0.6‎)‎‎2‎×(0.4‎)‎‎2‎×0.4=0.13824≈0.138‎ ‎19.‎(1)‎证明:设‎{an}‎中首项为a‎1‎,公差为d.‎ ‎∵ lga‎1‎,lga‎2‎,lga‎4‎成等差数列 ‎∴ ‎2lga‎2‎=lga‎1‎+lga‎4‎∴ a‎2‎‎2‎‎=a‎1‎⋅‎a‎4‎,即‎(a‎1‎+d‎)‎‎2‎=a‎1‎(a‎1‎+3d)‎ ‎∴ d=0‎或d=‎a‎1‎ 当d=0‎时,an‎=‎a‎1‎,bn‎=‎1‎a‎2‎n=‎‎1‎a‎1‎,‎ ‎∴ bn+1‎bn‎=1‎,‎ ‎∴ ‎{bn}‎为等比数列;‎ 当d=‎a‎1‎时,an‎=na‎1‎,bn‎=‎1‎a‎2‎n=‎‎1‎‎2‎na‎1‎,‎ ‎∴ bn+1‎bn‎=‎‎1‎‎2‎,‎ ‎∴ ‎{bn}‎为等比数列 综上可知‎{bn}‎为等比数列 ‎(2)‎当d=0‎时,bn‎=‎1‎a‎2‎n=‎‎1‎a‎1‎,‎ ‎∴ ‎b‎1‎‎+b‎2‎+b‎3‎=‎3‎a‎1‎=‎‎7‎‎24‎ ‎∴ a‎1‎‎=‎‎72‎‎7‎;‎ 当d=‎a‎1‎时,‎bn‎=‎1‎a‎2‎n=‎‎1‎‎2‎na‎1‎ ‎∴ ‎b‎1‎‎+b‎2‎+b‎3‎=‎1‎‎2‎a‎1‎+‎1‎‎4‎a‎1‎+‎1‎‎8‎a‎1‎=‎7‎‎8‎a‎1‎=‎‎7‎‎24‎ ‎ 5 / 5‎ ‎∴ ‎a‎1‎‎=3‎ 综上可知a‎1‎‎=‎‎72‎‎7‎d=0‎或a‎1‎‎=3‎d=3‎ ‎20.解:方法一:(1)取PA中点G,连接FG,‎DG ‎  ‎BF=FP⇒FG‎=‎‎ // ‎‎1‎‎2‎ABCE=ED⇒DE‎=‎‎ // ‎‎1‎‎2‎AB‎⇒FG‎=‎‎ // ‎DE ‎⇒‎四边形DEFG为平行四边形‎⇒EF‎=‎‎ // ‎DG ‎⇒‎平面PAB⊥‎平面PAD 又PD=AD,‎PG=GA⇒DG⊥PA ‎⇒DG⊥‎平面PABDE,又FE // DG ‎⇒EF⊥‎平面PAB.‎ ‎(2)设AC,BD交于O,连接FO.‎ 由PF=BF,BO=OD得FO‎=‎‎ // ‎‎1‎‎2‎PD,又PD⊥‎平面ABCD ‎∴ FO⊥‎平面ABCD 设BC=a,则AB=‎2‎a,∴ PA=‎2‎a,‎ DG=‎2‎‎2‎a=EF‎,∴ PB=2a,AF=a.‎ 设C到平面AEF的距离为h.‎ ‎∵ VC-AEF‎=‎VF-ACE,∴ ‎‎1‎‎3‎‎×‎1‎‎2‎EF⋅AF⋅h=‎1‎‎3‎×‎1‎‎2‎CE⋅AD⋅FO 即‎2‎‎2‎a⋅a⋅h=‎2‎‎2‎a⋅a⋅‎a‎2‎∴ ‎h=‎a‎2‎ ‎∴ AC与平面AEF所成角的正弦值为hAC‎=a/2‎‎3‎a=‎‎3‎‎6‎.‎ 即AC与平面AEF所成角为arcsin‎3‎‎6‎ 方法二:以D为坐标原点,DA的长为单位,建立如图所示的直角坐标系,‎ ‎(1)证明:‎ 设E(a, 0, 0)‎,其中a>0‎,则C(2a,0,0),A(0,1,0),B(2a,1,0),P(0,0,1),F(a,‎1‎‎2‎,‎1‎‎2‎)‎,EF‎→‎‎=(0,‎1‎‎2‎,‎1‎‎2‎),PB‎→‎=(2a,1,-1),AB‎→‎=(2a,0,0),EF‎→‎⋅PB‎→‎=0‎,∴ EF⊥PB,AB‎→‎‎⋅EF‎→‎=0‎,∴ ‎AB⊥EF 又PB⊂‎平面PAB,AB⊂‎平面PAB,PB∩AB=B,∴ EF⊥⊂‎平面PAB ‎(2)解:由AB=‎2‎BC,得a=‎‎2‎‎2‎,‎ 可得AC‎→‎‎=(‎2‎,-1,0),PB‎→‎=(‎2‎,1,-1)‎ cos⟨AC‎→‎,PB‎→‎>=‎|AC‎→‎|⋅|PB‎→‎|‎‎˙‎=‎‎3‎‎6‎‎,‎ 则异面直线AC,PB所成的角为arccos‎3‎‎6‎,‎ AF‎→‎‎=(‎2‎‎2‎,-‎1‎‎2‎,‎1‎‎2‎)‎‎,∴ AF‎→‎‎⋅PB‎→‎=0,AF⊥PB,‎ 又PB⊥EF,AF为平面AEF内两条相交直线,‎ ‎∴ PB⊥‎平面AEF,∴ AC与平面AEF所成的角为π‎2‎‎-arccos‎3‎‎6‎(=arcsin‎3‎‎6‎)‎,‎ 即AC与平面AEF所成的角为arcsin‎3‎‎6‎.‎ ‎21.解:‎(1)‎令f‎'‎‎(x)=3x‎2‎-2x-1=0‎得:x‎1‎‎=-‎1‎‎3‎,x‎2‎=1‎.‎ ‎ 5 / 5‎ 又∵ 当x∈(-∞, -‎1‎‎3‎)‎时,f‎'‎‎(x)>0‎;‎ 当x∈(-‎1‎‎3‎, 1)‎时,f‎'‎‎(x)<0‎;‎ 当x∈(1, +∞)‎时,f‎'‎‎(x)>0‎;‎ ‎∴ x‎1‎‎=-‎‎1‎‎3‎与x‎2‎‎=1‎分别为f(x)‎的极大值与极小值点.‎ ‎∴ f(x‎)‎极大值=f(-‎1‎‎3‎)=a+‎‎5‎‎27‎;‎f(x‎)‎极小值=a-1‎ ‎(2)‎‎∵ f(x)‎在‎(-∞, -‎1‎‎3‎)‎上单调递增,‎ ‎∴ 当x→-∞‎时,f(x)→-∞‎;‎ 又f(x)‎在‎(1, +∞)‎单调递增,当x→+∞‎时,‎f(x)→+∞‎ ‎∴ 当f(x‎)‎极大值<0‎或f(x‎)‎极小值>0‎时,曲线f(x)‎与x轴仅有一个交点.‎ 即a+‎5‎‎27‎<0‎或a-1>0‎,‎ ‎∴ ‎a∈(-∞, -‎5‎‎27‎)∪(1, +∞)‎ ‎22.解:∵ PF‎→‎‎⋅MF‎→‎=0⇒PF‎→‎⊥‎MF‎→‎.即MN⊥PQ.‎ 当MN或PQ中有一条直线垂直于x轴时,另一条直线必垂直于y轴.‎ 不妨设MN⊥y轴,则PQ⊥x轴,‎ ‎∵ ‎F(0, 1)‎ ‎∴ MN的方程为:y=1‎,PQ的方程为:‎x=0‎ 分别代入椭圆x‎2‎‎+y‎2‎‎2‎=1‎中得:‎|MN|=‎‎2‎,‎|PQ|=2‎‎2‎.‎ S四边形PMQN‎=‎1‎‎2‎|MN|⋅|PQ|=‎1‎‎2‎×‎2‎×2‎2‎=2‎ 当MN,PQ都不与坐标轴垂直时,‎ 设MN的方程为y=kx+1(k≠0)‎,‎ 代入椭圆x‎2‎‎+y‎2‎‎2‎=1‎中得:‎(k‎2‎+2)x‎2‎+2kx-1=0‎,‎ ‎∴ x‎1‎‎+x‎2‎=-‎‎2kk‎2‎‎+2‎,‎x‎1‎‎⋅x‎2‎=-‎‎1‎k‎2‎‎+2‎ ‎∴ ‎‎|MN|=‎(1+k‎2‎)[(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎-4x‎1‎x‎2‎]‎=‎(1+k‎2‎)[(‎2kk‎2‎‎+2‎‎)‎‎2‎+‎4‎k‎2‎‎+2‎]‎=‎‎2‎2‎(1+k‎2‎)‎k‎2‎‎+2‎ 同理可得:‎|PQ|=‎‎2‎2‎(1+k‎2‎)‎‎2k‎2‎+1‎,‎ S四边形PMQN‎=‎1‎‎2‎|MN|⋅|PQ|=2×‎2k‎4‎+4k‎2‎+2‎‎2k‎4‎+5k‎2‎+2‎=2(1-k‎2‎‎2k‎4‎+5k‎2‎+2‎)=2(1-‎1‎‎2(k‎2‎+1/k‎2‎)+5‎)≥‎‎16‎‎9‎ ‎(当且仅当k‎2‎‎=‎‎1‎k‎2‎即k=±1‎时,取等号).‎ 又S四边形PMQN‎=2(1-k‎2‎‎2k‎4‎+5k‎2‎+2‎)<2‎,∴ 此时‎16‎‎9‎‎≤S四边形PMQN<2‎.‎ 综上可知:‎(S四边形PMQN‎)‎max=2‎,‎(S四边形PMQN‎)‎min=‎‎16‎‎9‎.‎ ‎ 5 / 5‎
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