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2008年广东省高考数学试卷(文科)【附答案、word版本,可再编辑;B4纸型两栏】
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2008年广东省高考数学试卷(文科)【附答案、word版本,可再编辑;B4纸型两栏】
2008年广东省高考数学试卷(文科) 一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分) 1. 第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行,若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员},集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}.集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员},则下列关系正确的是( ) A.A⊆B B.B⊆C C.A∩B=C D.B∪C=A 2. 已知0
0, a≠1)在其定义域内是减函数,则loga2<0”的逆否命题是( ) A.若loga2≥0,则函数f(x)=logax(a>0, a≠1)在其定义域内不是减函数 B.若loga2<0,则函数f(x)=logax(a>0, a≠1)在其定义域内不是减函数 C.若loga2≥0,则函数f(x)=logax(a>0, a≠1)在其定义域内是减函数 D.若loga2<0,则函数f(x)=logax(a>0, a≠1)在其定义域内是减函数 9. 设a∈R,若函数y=ex+ax,x∈R,有大于零的极值点,则( ) A.a<-1 B.a>-1 C.a<-1e D.a>-1e 10. 设a,b∈R,若a-|b|>0,则下列不等式中正确的是( ) A.b-a>0 B.a3+b3<0 C.a2-b2<0 D.b+a>0 二、填空题(共5小题,11--13为必做题,14--15题选做1题,每小题5分,满分20分) 11. 为了调查某厂工人生产某种产品的能力,随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为[45, 55),[55, 65),[65, 75),[75, 85),[85, 95)由此得到频率分布直方图如图,则这20名工人中一天生产该产品数量在[55, 75)的人数是________. 7 / 7 12. 若变量x,y满足2x+y≤40x+2y≤50x≥0y≥0,则z=3x+2y的最大值是________. 13. 阅读程序框图,若输入m=4,n=3,则输出a=________,i=________. (注:框图中的赋值符号“=”,也可以写成“←”或“:=”) 14. 已知曲线C1,C2的极坐标方程分别为ρcosθ=3,ρ=4cosθ(ρ≥0,0≤θ<π2),则曲线C1与C2交点的极坐标为________. 15. 已知PA是圆O的切线,切点为A,PA=2.AC是圆O的直径,PC与圆O交于点B,PB=1,则圆O的半径R=________. 三、解答题(共6小题,满分80分) 16. 已知函数f(x)=Asin(x+φ)(A>0, 0<φ<π),x∈R的最大值是1,其图象经过点M(π3,12). (1)求f(x)的解析式; (2)已知α,β∈(0,π2),且f(α)=35,f(β)=1213,求f(α-β)的值. 17. 某单位用2160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层? (注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=购地总费用建筑总面积) 7 / 7 18. 如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形,其中BD是圆的直径,∠ABD=60∘,∠BDC=45∘,△ADP∼△BAD. (1)求线段PD的长; (2)若PC=11R,求三棱锥P-ABC的体积. 19. 某中学共有学生2000人,各年级男,女生人数如下表: 一年级 二年级 三年级 女生 373 x y 男生 377 370 z 已知在全校学生中随机抽取1名,抽到高二年级女生的概率是0.19. (1)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生,问应在高三年级抽取多少名? (2)已知y≥245,z≥245,求高三年级中女生比男生多的概率. 7 / 7 20. 设b>0,椭圆方程为x22b2+y2b2=1,抛物线方程为x2=8(y-b).如图所示,过点F(0, b+2)作x轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为G,已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F1. (1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程; (2)设A,B分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在点P,使得△ABP为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标). 21. 设数列{an}满足a1=1,a2=2,an=13(an-1+2an-2)(n=3, 4,…).数列{bn}满足b1=1,bn(n=2, 3,…)是非零整数,且对任意的正整数m和自然数k,都有-1≤bm+bm+1+...+bm+k≤1. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)记cn=nanbn(n=1, 2,…),求数列{cn}的前n项和Sn. 7 / 7 参考答案与试题解析 2008年广东省高考数学试卷(文科) 一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分) 1.D 2.C 3.B 4.B 5.D 6.C 7.A 8.A 9.A 10.D 二、填空题(共5小题,11--13为必做题,14--15题选做1题,每小题5分,满分20分) 11.13 12.70 13.12,3 14.(23,π6) 15.3 三、解答题(共6小题,满分80分) 16.依题意有A=1,则f(x)=sin(x+φ),将点M(π3,12)代入得sin(π3+φ)=12,而0<φ<π,∴ π3+φ=56π,∴ φ=π2,故f(x)=sin(x+π2)=cosx. 依题意有cosα=35,cosβ=1213,而α,β∈(0,π2),∴ sinα=1-(35)2=45,sinβ=1-(1213)2=513,f(α-β)=cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=35×1213+45×513=5665. 17.为了楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为15层. 方法2:(本题也可以使用基本不等式求解) 设楼房每平方米的平均综合费为f(x)元, 则f(x)=(560+48x)+2160×100002000x=560+48x+10800x≥560+248x⋅10800x=2000, 当且进行48x=10800x,即x=15时取等号. 答:为了楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为15层. 18.解:(1)∵ BD是圆的直径, ∴ ∠BAD=90∘又△ADP∼△BAD, ∴ ADBA=DPAD,DP=AD2BA=(BDsin60∘)2(BDsin30∘)=4R2×342R×12=3R. (2)在Rt△BCD中,CD=BDcos45∘=2R ∵ PD2+CD2=9R2+2R2=11R2=PC2 ∴ PD⊥CD又∠PDA=90∘, ∴ PD⊥底面ABCD. S△ABC=12AB⋅BCsin(60∘+45∘)=12R⋅2R(3222+1222)=3+14R2, 三棱锥P-ABC的体积为:VP-ABC=13⋅S△ABC⋅PD=13⋅3+14R2⋅3R=3+14R3. 19.∵ x2000=0.19,∴ x=380 高三年级人数为y+z=2000-(373+377+380+370)=500 现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生, 应在高三年级抽取的人数为482000×500=12(名). 设高三年级女生比男生多的事件为A,高三年级女生, 男生数记为(y, z),由(2)知y+z=500,且y,z∈N, 基本事件空间包含的基本事件有(245, 255),(246, 254),(247, 253),…,(255, 245)共 7 / 7 11个. 事件A包含的基本事件(251, 249),(252, 248),(253, 247),(254, 246),(255, 245)共5个. ∴ P(A)=511 20.解:(1)由x2=8(y-b)得y=18x2+b, 当y=b+2得x=±4,∴ G点的坐标为(4, b+2),y'=14x,y'|x=4=1, 过点G的切线方程为y-(b+2)=x-4即y=x+b-2, 令y=0得x=2-b,∴ F1点的坐标为(2-b, 0),由椭圆方程得F1点的坐标为(b, 0), ∴ 2-b=b即b=1,即椭圆和抛物线的方程分别为x22+y2=1和x2=8(y-1); (2)∵ 过A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点P,∴ 以∠PAB为直角的Rt△ABP只有一个, 同理∴ 以∠PBA为直角的Rt△ABP只有一个; 若以∠APB为直角,则点P在以AB为直径的圆上,而以AB为直径的圆与抛物线有两个交点. 所以,以∠APB为直角的Rt△ABP有两个; 因此抛物线上存在四个点使得△ABP为直角三角形. 21.解:(1)由an=13(an-1-an-2)得an-an-1=-23(an-1-an-2)(n≥3) 又a2-a1=1≠0, ∴ 数列{an+1-an}是首项为1公比为-23的等比数列,an+1-an=(-23)n-1 an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+...+(an-an-1) =1+1+(-23)+(-23)2+…+(-23)n-2 =1+1-(-23)n-11+23=85-35(-23)n-1, 当n为奇数时当n为偶数时 由-1≤b1+b2≤1-1≤b2≤1b2∈Z,b2≠0 得b2=-1, 由-1≤b2+b3≤1-1≤b3≤1b3∈Z,b3≠0 得b3=1, 同理可得当n为偶数时,bn=-1;当n为奇数时,bn=1; 因此bn=1,n为奇数-1,n为偶数. (2)cn=nanbn=85n-35n(23)n-1-85n-35n(23)n-1 Sn=c1+c2+c3+c4+...+cn 当n为奇数时,Sn=(85-2×85+3×85-4×85+…+85n)-35[1×(23)0+2×(23)1+3×(23)2+4×(23)3+…+n(23)n-1]=4(n+1)5-35[1×(23)0+2×(23)1+3×(23)2+4×(23)3+…+n(23)n-1] 当n为偶数时 Sn=(85-2×85+3×85-4×85+-85n)-35[1×(23)0+2×(23)1+3×(23)2+4×(23)3+…+n(23)n-1]=-4n5-35[1×(23)0+2×(23)1+3×(23)2+4×(23)3+…+n(23)n-1] 令Tn=1×(23)0+2×(23)1+3×(23)2+4×(23)3+…+n(23)n-1① ①×23得:23Tn=1×(23)1+2×(23)2+3×(23)3+4×(23)4+…+n(23)n② ①-②得:13Tn=1+(23)1+(23)2+(23)3+(23)4+…+(23)n-1-n(23)n=1-(23)n1-23-n(23)n=3-(3+n)(23)n ∴ Tn=9-(9+3n)(23)n 当n为奇数时当n为偶数时 7 / 7 因此Sn=4n-235+9(n+3)5(23)n-4n+275+9(n+3)5(23)n 7 / 7
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