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文档介绍
2015年四川省高考数学试卷(文科)
2015年四川省高考数学试卷(文科) 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的. 1.(5分)设集合M={x|﹣1<x<2},集合N={x|1<x<3},则M∪N=( ) A.{x|﹣1<x<3} B.{x|﹣1<x<2} C.{x|1<x<3} D.{x|1<x<2} 2.(5分)设向量=(2,4)与向量=(x,6)共线,则实数x=( ) A.2 B.3 C.4 D.6 3.(5分)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异,拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查,则最合理的抽样方法是( ) A.抽签法 B.系统抽样法 C.分层抽样法 D.随机数法 4.(5分)设a,b为正实数,则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 5.(5分)下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A.y=cos(2x+) B.y=sin(2x+) C.y=sin2x+cos2x D.y=sinx+cosx 6.(5分)执行如图所示的程序框图,输出s的值为( ) A.﹣ B. C.﹣ D. 7.(5分)过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A、B两点,则|AB|=( ) A. B.2 C.6 D.4 8.(5分)某食品保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b (e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是( ) A.16小时 B.20小时 C.24小时 D.28小时 9.(5分)设实数x,y满足,则xy的最大值为( ) A. B. C.12 D.16 10.(5分)设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点,与圆(x﹣5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点,若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是( ) A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4) 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分. 11.(5分)设i是虚数单位,则复数i﹣= . 12.(5分)lg0.01+log216的值是 . 13.(5分)已知sinα+2cosα=0,则2sinαcosα﹣cos2α的值是 . 14.(5分)在三棱住ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,其正视图和侧视图都是边长为1的正方形,俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形,设M,N,P分别是AB,BC,B1C1的中点,则三棱锥P﹣A1MN的体积是 . 15.(5分)已知函数f(x)=2x,g(x)=x2+ax(其中a∈R).对于不相等的实数x1、x2,设m=,n=.现有如下命题: ①对于任意不相等的实数x1、x2,都有m>0; ②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2,都有n>0; ③对于任意的a,存在不相等的实数x1、x2,使得m=n; ④对于任意的a,存在不相等的实数x1、x2,使得m=﹣n. 其中的真命题有 (写出所有真命题的序号). 三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(12分)设数列{an}(n=1,2,3…)的前n项和Sn,满足Sn=2an﹣a1,且a1,a2+1,a3成等差数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设数列的前n项和为Tn,求Tn. 17.(12分)一辆小客车上有5名座位,其座号为1,2,3,4,5,乘客P1,P2,P3,P4,P5的座位号分别为1,2,3,4,5.他们按照座位号顺序先后上车,乘客P1因身体原因没有坐自己1号座位,这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐:如果自己的座位空着,就只能坐自己的座位.如果自己的座位已有乘客就坐,就在这5个座位的剩余空位中选择座位. (Ⅰ)若乘客P1坐到了3号座位,其他乘客按规则就座,则此时共有4种坐法.下表给出其中两种坐法,请填入余下两种坐法(将乘客就坐的座位号填入表中空格处) 乘客 P1 P2 P3 P4 P5 座位号 3 2 1 4 5 3 2 4 5 1 (Ⅱ)若乘客P1坐到了2号座位,其他乘客按规则就坐,求乘客P5坐到5号座位的概率. 18.(12分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示. (Ⅰ)请按字母F,G,H标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由) (Ⅱ)判断平面BEG与平面ACH的位置关系.并说明你的结论. (Ⅲ)证明:直线DF⊥平面BEG. 19.(12分)已知A、B、C为△ABC的内角,tanA,tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0(p∈R)两个实根. (Ⅰ)求C的大小 (Ⅱ)若AB=3,AC=,求p的值. 20.(13分)如图,椭圆E:=1(a>b>0)的离心率是,点P(0,1)在短轴CD上,且•=﹣1 (Ⅰ)求椭圆E的方程; (Ⅱ)设O为坐标原点,过点P的动直线与椭圆交于A、B两点.是否存在常数λ,使得•+λ•为定值?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由. 21.(14分)已知函数f(x)=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2,其中a>0. (Ⅰ)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性; (Ⅱ)证明:存在a∈(0,1),使得f(x)≥0恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解. 2015年四川省高考数学试卷(文科) 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的. 1.(5分)设集合M={x|﹣1<x<2},集合N={x|1<x<3},则M∪N=( ) A.{x|﹣1<x<3} B.{x|﹣1<x<2} C.{x|1<x<3} D.{x|1<x<2} 【分析】根据并集的定义解答即可. 【解答】解:根据并集的定义知:M∪N={x|﹣1<x<3}, 故选:A. 【点评】本题考查了并集运算,熟练掌握并集的定义是解题的关键. 2.(5分)设向量=(2,4)与向量=(x,6)共线,则实数x=( ) A.2 B.3 C.4 D.6 【分析】利用向量共线的充要条件得到坐标的关系求出x. 【解答】解;因为向量=(2,4)与向量=(x,6)共线, 所以4x=2×6,解得x=3; 故选:B. 【点评】本题考查了向量共线的坐标关系;如果两个向量向量=(x,y)与向量=(m,n)共线,那么xn=ym. 3.(5分)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异,拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查,则最合理的抽样方法是( ) A.抽签法 B.系统抽样法 C.分层抽样法 D.随机数法 【分析】若总体由差异明显的几部分组成时,经常采用分层抽样的方法进行抽样. 【解答】解:我们常用的抽样方法有:简单随机抽样、分层抽样和系统抽样, 而事先已经了解到三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异,这种方式具有代表性,比较合理. 故选:C. 【点评】本小题考查抽样方法,主要考查抽样方法,属基本题. 4.(5分)设a,b为正实数,则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】先求出log2a>log2b>0的充要条件,再和a>b>1比较,从而求出答案. 【解答】解:若log2a>log2b>0,则a>b>1, 故“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的充要条件, 故选:A. 【点评】本题考察了充分必要条件,考察对数函数的性质,是一道基础题. 5.(5分)下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A.y=cos(2x+) B.y=sin(2x+) C.y=sin2x+cos2x D.y=sinx+cosx 【分析】求出函数的周期,函数的奇偶性,判断求解即可. 【解答】解: y=cos(2x+)=﹣sin2x,是奇函数,函数的周期为:π,满足题意,所以A正确 y=sin(2x+)=cos2x,函数是偶函数,周期为:π,不满足题意,所以B不正确; y=sin2x+cos2x=sin(2x+),函数是非奇非偶函数,周期为π,所以C不正确; y=sinx+cosx=sin(x+),函数是非奇非偶函数,周期为2π,所以D不正确; 故选:A. 【点评】本题考查两角和与差的三角函数,函数的奇偶性以及红丝带周期的求法,考查计算能力. 6.(5分)执行如图所示的程序框图,输出s的值为( ) A.﹣ B. C.﹣ D. 【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的k的值,当k=5时满足条件k>4,计算并输出S的值为. 【解答】解:模拟执行程序框图,可得 k=1 k=2 不满足条件k>4,k=3 不满足条件k>4,k=4 不满足条件k>4,k=5 满足条件k>4,S=sin=, 输出S的值为. 故选:D. 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,属于基础题. 7.(5分)过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A、B两点,则|AB|=( ) A. B.2 C.6 D.4 【分析】求出双曲线的渐近线方程,求出AB的方程,得到AB坐标,即可求解|AB|. 【解答】解:双曲线x2﹣=1的右焦点(2,0),渐近线方程为y=, 过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线,x=2, 可得yA=2,yB=﹣2, ∴|AB|=4. 故选:D. 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,考查基本知识的应用. 8.(5分)某食品保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b (e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是( ) A.16小时 B.20小时 C.24小时 D.28小时 【分析】由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系,由已知构造方程组求出ek,eb的值,运用指数幂的运算性质求解e33k+b即可. 【解答】解:y=ekx+b (e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数). 当x=0时,eb=192, 当x=22时e22k+b=48, ∴e22k== e11k= eb=192 当x=33时,e33k+b=(ek)33•(eb)=()3×192=24 故选:C. 【点评】本题考查的知识点是函数解析式的运用,列出方程求解即可,注意整体求解. 9.(5分)设实数x,y满足,则xy的最大值为( ) A. B. C.12 D.16 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用基本不等式进行求解即可. 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图; 由图象知y≤10﹣2x, 则xy≤x(10﹣2x)=2x(5﹣x))≤2()2=, 当且仅当x=,y=5时,取等号, 经检验(,5)在可行域内, 故xy的最大值为, 故选:A. 【点评】本题主要考查线性规划以及基本不等式的应用,利用数形结合是解决本题的关键. 10.(5分)设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点,与圆(x﹣5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点,若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是( ) A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4) 【分析】先确定M的轨迹是直线x=3,代入抛物线方程可得y=±2,所以交点与圆心(5,0)的距离为4,即可得出结论. 【解答】解:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0), 斜率存在时,设斜率为k,则y12=4x1,y22=4x2, 则,相减,得(y1+y2)(y1﹣y2)=4(x1﹣x2), 当l的斜率存在时,利用点差法可得ky0=2, 因为直线与圆相切,所以=﹣,所以x0=3, 即M的轨迹是直线x=3. 将x=3代入y2=4x,得y2=12,∴﹣2, ∵M在圆上,∴(x0﹣5)2+y02=r2,∴r2=y02+4<12+4=16, ∵直线l恰有4条,∴y0≠0,∴4<r2<16, 故2<r<4时,直线l有2条; 斜率不存在时,直线l有2条; 所以直线l恰有4条,2<r<4, 故选:D. 【点评】本题考查直线与抛物线、圆的位置关系,考查点差法,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分. 11.(5分)设i是虚数单位,则复数i﹣= 2i . 【分析】直接利用复数的运算法则求解即可. 【解答】解:复数i﹣=i﹣=i+i=2i. 故答案为:2i. 【点评】本题考查复数的基本运算,考查计算能力. 12.(5分)lg0.01+log216的值是 2 . 【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可. 【解答】解:lg0.01+log216=﹣2+4=2. 故答案为:2. 【点评】本题考查对数的运算法则的应用,考查计算能力. 13.(5分)已知sinα+2cosα=0,则2sinαcosα﹣cos2α的值是 ﹣1 . 【分析】已知等式移项变形求出tanα的值,原式利用同角三角函数间的基本关系化简,将tanα的值代入计算即可求出值. 【解答】解:∵sinα+2cosα=0,即sinα=﹣2cosα, ∴tanα=﹣2, 则原式=====﹣1, 故答案为:﹣1 【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键. 14.(5分)在三棱住ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,其正视图和侧视图都是边长为1的正方形,俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形,设M,N,P分别是AB,BC,B1C1的中点,则三棱锥P﹣A1MN的体积是 . 【分析】判断三视图对应的几何体的形状,画出图形,利用三视图的数据,求解三棱锥P﹣AMN的体积即可. 【解答】 解:由三视图可知,可知几何体的图形如图:几何体是底面为等腰直角三角形直角边长为1,高为1的直三棱柱,底面积为,所求三棱锥的高为NP=1,三棱锥底面积是三棱柱底面三角形的, 所求三棱锥P﹣A1MN的体积是:=. 故答案为:. 【点评】本题考查三视图与直观图的关系,组作出几何体的直观图是解题的关键之一,考查几何体的体积的求法,考查空间想象能力以及计算能力. 15.(5分)已知函数f(x)=2x,g(x)=x2+ax(其中a∈R).对于不相等的实数x1、x2,设m=,n=.现有如下命题: ①对于任意不相等的实数x1、x2,都有m>0; ②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2,都有n>0; ③对于任意的a,存在不相等的实数x1、x2,使得m=n; ④对于任意的a,存在不相等的实数x1、x2,使得m=﹣n. 其中的真命题有 ①④ (写出所有真命题的序号). 【分析】运用指数函数的单调性,即可判断①;由二次函数的单调性,即可判断②; 通过函数h(x)=x2+ax﹣2x,求出导数判断单调性,即可判断③; 通过函数h(x)=x2+ax+2x,求出导数判断单调性,即可判断④. 【解答】解:对于①,由于2>1,由指数函数的单调性可得f(x)在R上递增,即有m>0,则①正确; 对于②,由二次函数的单调性可得g(x)在(﹣∞,﹣)递减,在(﹣,+∞)递增,则n>0不恒成立, 则②错误; 对于③,由m=n,可得f(x1)﹣f(x2)=g(x1)﹣g(x2),即为g(x1)﹣f(x1)=g(x2)﹣f(x2), 考查函数h(x)=x2+ax﹣2x,h′(x)=2x+a﹣2xln2, 当a→﹣∞,h′(x)小于0,h(x)单调递减,则③错误; 对于④,由m=﹣n,可得f(x1)﹣f(x2)=﹣[g(x1)﹣g(x2)],考查函数h(x)=x2+ax+2x, h′(x)=2x+a+2xln2,对于任意的a,h′(x)不恒大于0或小于0,则④正确. 故答案为:①④. 【点评】本题考查函数的单调性及运用,注意运用指数函数和二次函数的单调性,以及导数判断单调性是解题的关键. 三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(12分)设数列{an}(n=1,2,3…)的前n项和Sn,满足Sn=2an﹣a1,且a1,a2+1,a3成等差数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设数列的前n项和为Tn,求Tn. 【分析】(Ⅰ)由条件Sn满足Sn=2an﹣a1,求得数列{an}为等比数列,且公比q=2;再根据a1,a2+1,a3成等差数列,求得首项的值,可得数列{an}的通项公式. (Ⅱ)由于=,利用等比数列的前n项和公式求得数列的前n项和Tn. 【解答】解:(Ⅰ)由已知Sn=2an﹣a1,有 an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1(n≥2), 即an=2an﹣1(n≥2), 从而a2=2a1,a3=2a2=4a1. 又因为a1,a2+1,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1) 所以a1+4a1=2(2a1+1), 解得:a1=2. 所以,数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列. 故an=2n. (Ⅱ)由(Ⅰ)得=, 所以Tn=+++…+==1﹣. 【点评】本题主要考查数列的前n项和与第n项的关系,等差、等比数列的定义和性质,等比数列的前n项和公式,属于中档题. 17.(12分)一辆小客车上有5名座位,其座号为1,2,3,4,5,乘客P1,P2,P3,P4,P5的座位号分别为1,2,3,4,5.他们按照座位号顺序先后上车,乘客P1因身体原因没有坐自己1号座位,这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐:如果自己的座位空着,就只能坐自己的座位.如果自己的座位已有乘客就坐,就在这5个座位的剩余空位中选择座位. (Ⅰ)若乘客P1坐到了3号座位,其他乘客按规则就座,则此时共有4种坐法.下表给出其中两种坐法,请填入余下两种坐法(将乘客就坐的座位号填入表中空格处) 乘客 P1 P2 P3 P4 P5 座位号 3 2 1 4 5 3 2 4 5 1 3 2 4 1 5 3 2 5 4 1 (Ⅱ)若乘客P1坐到了2号座位,其他乘客按规则就坐,求乘客P5坐到5号座位的概率. 【分析】(Ⅰ)根据题意,可以完成表格; (Ⅱ)列表,确定所有可能的坐法,再求出乘客P1坐到5号座位的概率. 【解答】解:(Ⅰ)余下两种坐法: 乘客 P1 P2 P3 P4 P5 座位号 3 2 1 4 5 3 2 4 5 1 3 2 4 1 5 3 2 5 4 1 (Ⅱ)若乘客P1坐到了2号座位,其他乘客按规则就坐,则 所有可能的坐法可用下表表示为 乘客 P1 P2 P3 P4 P5 座位号 2 1 3 4 5 2 3 1 4 5 2 3 4 1 5 2 3 4 5 1 2 3 5 4 1 2 4 3 1 5 2 4 3 5 1 2 5 3 4 1 于是,所有可能的坐法共8种, 设“乘客P5坐到5号座位”为事件A,则事件A中的基本事件的个数为4,所以P(A)==. 答:乘客P5坐到5号座位的概率是. 【点评】本题考查概率的运用,考查学生的计算能力,列表确定基本事件的个数是关键. 18.(12分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示. (Ⅰ)请按字母F,G,H标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由) (Ⅱ)判断平面BEG与平面ACH的位置关系.并说明你的结论. (Ⅲ)证明:直线DF⊥平面BEG. 【分析】(Ⅰ)直接标出点F,G,H的位置. (Ⅱ)先证BCHE为平行四边形,可知BE∥平面ACH,同理可证BG∥平面ACH,即可证明平面BEG∥平面ACH. (Ⅲ)连接FH,由DH⊥EG,又DH⊥EG,EG⊥FH,可证EG⊥平面BFHD,从而可证DF⊥EG,同理DF⊥BG,即可证明DF⊥平面BEG. 【解答】解:(Ⅰ)点F,G,H的位置如图所示. (Ⅱ)平面BEG∥平面ACH,证明如下: ∵ABCD﹣EFGH为正方体, ∴BC∥FG,BC=EH, 又FG∥EH,FG=EH, ∴BC∥EH,BC=EH, ∴BCHE为平行四边形. ∴BE∥CH, 又CH⊂平面ACH,BE⊄平面ACH, ∴BE∥平面ACH, 同理BG∥平面ACH, 又BE∩BG=B, ∴平面BEG∥平面ACH. (Ⅲ)连接FH, ∵ABCD﹣EFGH为正方体, ∴DH⊥EG, 又∵EG⊂平面EFGH, ∴DH⊥EG, 又EG⊥FH,EG∩FH=O, ∴EG⊥平面BFHD, 又DF⊂平面BFHD, ∴DF⊥EG, 同理DF⊥BG, 又∵EG∩BG=G, ∴DF⊥平面BEG. 【点评】本题主要考查了简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识,考查了空间想象能力和推理论证能力,属于中档题. 19.(12分)已知A、B、C为△ABC的内角,tanA,tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0(p∈R)两个实根. (Ⅰ)求C的大小 (Ⅱ)若AB=3,AC=,求p的值. 【分析】(Ⅰ)由判别式△=3p2+4p﹣4≥0,可得p≤﹣2,或p≥,由韦达定理,有tanA+tanB=﹣p,tanAtanB=1﹣p,由两角和的正切函数公式可求tanC=﹣tan(A+B)=,结合C的范围即可求C的值. (Ⅱ)由正弦定理可求sinB==,解得B,A,由两角和的正切函数公式可求tanA=tan75°,从而可求p=﹣(tanA+tanB)的值. 【解答】解:(Ⅰ)由已知,方程x2+px﹣p+1=0的判别式:△=(p)2﹣4(﹣p+1)=3p2+4p﹣4≥0, 所以p≤﹣2,或p≥. 由韦达定理,有tanA+tanB=﹣p,tanAtanB=1﹣p. 所以,1﹣tanAtanB=1﹣(1﹣p)=p≠0, 从而tan(A+B)==﹣=﹣. 所以tanC=﹣tan(A+B)=, 所以C=60°. (Ⅱ)由正弦定理,可得sinB===, 解得B=45°,或B=135°(舍去). 于是,A=180°﹣B﹣C=75°. 则tanA=tan75°=tan(45°+30°)===2+. 所以p=﹣(tanA+tanB)=﹣(2+)=﹣1﹣. 【点评】本题主要考查了和角公式、诱导公式、正弦定理等基础知识,考查了运算求解能力,考查了函数与方程、化归与转化等数学思想的应用,属于中档题. 20.(13分)如图,椭圆E:=1(a>b>0)的离心率是,点P(0,1)在短轴CD上,且•=﹣1 (Ⅰ)求椭圆E的方程; (Ⅱ)设O为坐标原点,过点P的动直线与椭圆交于A、B两点.是否存在常数λ,使得•+λ•为定值?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由. 【分析】(Ⅰ)通过e=、•=﹣1,计算即得a=2、b=,进而可得结论; (Ⅱ)分情况对直线AB斜率的存在性进行讨论:①当直线AB的斜率存在时,联立直线AB与椭圆方程,利用韦达定理计算可得当λ=1时•+λ•=﹣3;②当直线AB的斜率不存在时,•+λ•=﹣3. 【解答】解:(Ⅰ)根据题意,可得C(0,﹣b),D(0,b), 又∵P(0,1),且•=﹣1, ∴,解得a=2,b=, ∴椭圆E的方程为:+=1; (Ⅱ)结论:存在常数λ=1,使得•+λ•为定值﹣3. 理由如下: 对直线AB斜率的存在性进行讨论: ①当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+1, A(x1,y1),B(x2,y2), 联立,消去y并整理得:(1+2k2)x2+4kx﹣2=0, ∵△=(4k)2+8(1+2k2)>0, ∴x1+x2=﹣,x1x2=﹣, 从而•+λ•=x1x2+y1y2+λ[x1x2+(y1﹣1)(y2﹣1)] =(1+λ)(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1 = =﹣﹣λ﹣2. ∴当λ=1时,﹣﹣λ﹣2=﹣3, 此时•+λ•=﹣3为定值; ②当直线AB的斜率不存在时,直线AB即为直线CD, 此时•+λ•=+=﹣2﹣1=﹣3; 故存在常数λ=1,使得•+λ•为定值﹣3. 【点评】本题考查椭圆的标准方程、直线方程等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想,注意解题方法的积累,属于难题. 21.(14分)已知函数f(x)=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2,其中a>0. (Ⅰ)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性; (Ⅱ)证明:存在a∈(0,1),使得f(x)≥0恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解. 【分析】(I)函数f(x)=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2,其中a>0.可得:x>0.g(x)=f′(x)=2(x﹣1﹣lnx﹣a),可得g′(x)==,分别解出g′(x)<0,g′(x)>0,即可得出单调性. (II)由f′(x)=2(x﹣1﹣lnx﹣a)=0,可得a=x﹣1﹣lnx,代入f(x)可得:u(x)=(1+lnx)2﹣2xlnx,利用函数零点存在定理可得:存在x0∈(1,e),使得u(x0)=0,令a0=x0﹣1﹣lnx0=v(x0),再利用导数研究其单调性即可得出. 【解答】(I)解:函数f(x)=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2,其中a>0.可得:x>0. g(x)=f′(x)=2(x﹣1﹣lnx﹣a),∴g′(x)==, 当0<x<1时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减; 当1<x时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增. (II)证明:由f′(x)=2(x﹣1﹣lnx﹣a)=0,解得a=x﹣1﹣lnx, 令u(x)=﹣2xlnx+x2﹣2(x﹣1﹣lnx)x+(x﹣1﹣lnx)2=(1+lnx)2﹣2xlnx, 则u(1)=1>0,u(e)=2(2﹣e)<0, ∴存在x0∈(1,e),使得u(x0)=0, 令a0=x0﹣1﹣lnx0=v(x0),其中v(x)=x﹣1﹣lnx(x≥1), 由v′(x)=1﹣≥0,可得:函数v(x)在区间(1,+∞)上单调递增. ∴0=v(1)<a0=v(x0)<v(e)=e﹣2<1,即a0∈(0,1),当a=a0时,有f′(x0)=0,f(x0)=u(x0)=0. 再由(I)可知:f′(x)在区间(1,+∞)上单调递增, 当x∈(1,x0)时,f′(x)<0,∴f(x)>f(x0)=0; 当x∈(x0,+∞)时,f′(x)>0,∴f(x)>f(x0)=0; 又当x∈(0,1],f(x)=﹣2xlnx>0. 故当x∈(0,+∞)时,f(x)≥0恒成立. 综上所述:存在a∈(0,1),使得f(x)≥0恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解. 【点评】本题考查了导数的运算法则、函数的零点、利用导数研究函数的单调性极值,考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力,属于难题. 查看更多