2015年四川省高考数学试卷（文科）

2015年四川省高考数学试卷（文科）

‎2015年四川省高考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）设集合M={x|﹣1＜x＜2}，集合N={x|1＜x＜3}，则M∪N=（　　）‎ A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜2} C．{x|1＜x＜3} D．{x|1＜x＜2}‎ ‎2．（5分）设向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，则实数x=（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．6‎ ‎3．（5分）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（　　）‎ A．抽签法 B．系统抽样法 C．分层抽样法 D．随机数法 ‎4．（5分）设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的（　　）‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．（5分）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（　　）‎ A．y=cos（2x+） B．y=sin（2x+）‎ C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx ‎6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（　　）‎ A．﹣ B． C．﹣ D．‎ ‎7．（5分）过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（　　）‎ A． B．2 C．6 D．4‎ ‎8．（5分）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=ekx+b （e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（　　）‎ A．16小时 B．20小时 C．24小时 D．28小时 ‎9．（5分）设实数x，y满足，则xy的最大值为（　　）‎ A． B． C．12 D．16‎ ‎10．（5分）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（　　）‎ A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．‎ ‎11．（5分）设i是虚数单位，则复数i﹣=　 　．‎ ‎12．（5分）lg0.01+log216的值是　 　．‎ ‎13．（5分）已知sinα+2cosα=0，则2sinαcosα﹣cos2α的值是　 　．‎ ‎14．（5分）在三棱住ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥P﹣A1MN的体积是　 　．‎ ‎15．（5分）已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m=，n=．现有如下命题：‎ ‎①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；‎ ‎②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0；‎ ‎③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n；‎ ‎④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n．‎ 其中的真命题有　 　（写出所有真命题的序号）．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎16．（12分）设数列{an}（n=1，2，3…）的前n项和Sn，满足Sn=2an﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设数列的前n项和为Tn，求Tn．‎ ‎17．（12分）一辆小客车上有5名座位，其座号为1，2，3，4，5，乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位号分别为1，2，3，4，5．他们按照座位号顺序先后上车，乘客P1因身体原因没有坐自己1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位．如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位．‎ ‎（Ⅰ）若乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法．下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就坐的座位号填入表中空格处）‎ 乘客 P1‎ P2‎ P3‎ P4‎ P5‎ 座位号 ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ ‎（Ⅱ）若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客P5坐到5号座位的概率．‎ ‎18．（12分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．‎ ‎（Ⅰ）请按字母F，G，H标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）‎ ‎（Ⅱ）判断平面BEG与平面ACH的位置关系．并说明你的结论．‎ ‎（Ⅲ）证明：直线DF⊥平面BEG．‎ ‎19．（12分）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p∈R）两个实根．‎ ‎（Ⅰ）求C的大小 ‎（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．‎ ‎20．（13分）如图，椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率是，点P（0，1）在短轴CD上，且•=﹣1‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程；‎ ‎（Ⅱ）设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点．是否存在常数λ，使得•+λ•为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎21．（14分）已知函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．‎ ‎（Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．‎ ‎　‎ ‎2015年四川省高考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）设集合M={x|﹣1＜x＜2}，集合N={x|1＜x＜3}，则M∪N=（　　）‎ A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜2} C．{x|1＜x＜3} D．{x|1＜x＜2}‎ ‎【分析】根据并集的定义解答即可．‎ ‎【解答】解：根据并集的定义知：M∪N={x|﹣1＜x＜3}，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了并集运算，熟练掌握并集的定义是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）设向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，则实数x=（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．6‎ ‎【分析】利用向量共线的充要条件得到坐标的关系求出x．‎ ‎【解答】解；因为向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，‎ 所以4x=2×6，解得x=3；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了向量共线的坐标关系；如果两个向量向量=（x，y）与向量=（m，n）共线，那么xn=ym．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（　　）‎ A．抽签法 B．系统抽样法 C．分层抽样法 D．随机数法 ‎【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．‎ ‎【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，‎ 而事先已经了解到三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，这种方式具有代表性，比较合理．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的（　　）‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】先求出log2a＞log2b＞0的充要条件，再和a＞b＞1比较，从而求出答案．‎ ‎【解答】解：若log2a＞log2b＞0，则a＞b＞1，‎ 故“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的充要条件，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考察了充分必要条件，考察对数函数的性质，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（　　）‎ A．y=cos（2x+） B．y=sin（2x+）‎ C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx ‎【分析】求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可．‎ ‎【解答】解：‎ y=cos（2x+）=﹣sin2x，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A正确 y=sin（2x+）=cos2x，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B不正确；‎ y=sin2x+cos2x=sin（2x+），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C不正确；‎ y=sinx+cosx=sin（x+），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D不正确；‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查两角和与差的三角函数，函数的奇偶性以及红丝带周期的求法，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（　　）‎ A．﹣ B． C．﹣ D．‎ ‎【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k的值，当k=5时满足条件k＞4，计算并输出S的值为．‎ ‎【解答】解：模拟执行程序框图，可得 k=1‎ k=2‎ 不满足条件k＞4，k=3‎ 不满足条件k＞4，k=4‎ 不满足条件k＞4，k=5‎ 满足条件k＞4，S=sin=，‎ 输出S的值为．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（　　）‎ A． B．2 C．6 D．4‎ ‎【分析】求出双曲线的渐近线方程，求出AB的方程，得到AB坐标，即可求解|AB|．‎ ‎【解答】解：双曲线x2﹣=1的右焦点（2，0），渐近线方程为y=，‎ 过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，x=2，‎ 可得yA=2，yB=﹣2，‎ ‎∴|AB|=4．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查基本知识的应用．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=ekx+b （e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（　　）‎ A．16小时 B．20小时 C．24小时 D．28小时 ‎【分析】由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程组求出ek，eb的值，运用指数幂的运算性质求解e33k+b即可．‎ ‎【解答】解：y=ekx+b （e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．‎ 当x=0时，eb=192，‎ 当x=22时e22k+b=48，‎ ‎∴e22k==‎ e11k=‎ eb=192‎ 当x=33时，e33k+b=（ek）33•（eb）=（）3×192=24‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是函数解析式的运用，列出方程求解即可，注意整体求解．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）设实数x，y满足，则xy的最大值为（　　）‎ A． B． C．12 D．16‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图；‎ 由图象知y≤10﹣2x，‎ 则xy≤x（10﹣2x）=2x（5﹣x））≤2（）2=，‎ 当且仅当x=，y=5时，取等号，‎ 经检验（，5）在可行域内，‎ 故xy的最大值为，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查线性规划以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（　　）‎ A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）‎ ‎【分析】先确定M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），‎ 斜率存在时，设斜率为k，则y12=4x1，y22=4x2，‎ 则，相减，得（y1+y2）（y1﹣y2）=4（x1﹣x2），‎ 当l的斜率存在时，利用点差法可得ky0=2，‎ 因为直线与圆相切，所以=﹣，所以x0=3，‎ 即M的轨迹是直线x=3．‎ 将x=3代入y2=4x，得y2=12，∴﹣2，‎ ‎∵M在圆上，∴（x0﹣5）2+y02=r2，∴r2=y02+4＜12+4=16，‎ ‎∵直线l恰有4条，∴y0≠0，∴4＜r2＜16，‎ 故2＜r＜4时，直线l有2条；‎ 斜率不存在时，直线l有2条；‎ 所以直线l恰有4条，2＜r＜4，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．‎ ‎11．（5分）设i是虚数单位，则复数i﹣=　2i　．‎ ‎【分析】直接利用复数的运算法则求解即可．‎ ‎【解答】解：复数i﹣=i﹣=i+i=2i．‎ 故答案为：2i．‎ ‎【点评】本题考查复数的基本运算，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）lg0.01+log216的值是　2　．‎ ‎【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可．‎ ‎【解答】解：lg0.01+log216=﹣2+4=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查对数的运算法则的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）已知sinα+2cosα=0，则2sinαcosα﹣cos2α的值是　﹣1　．‎ ‎【分析】已知等式移项变形求出tanα的值，原式利用同角三角函数间的基本关系化简，将tanα的值代入计算即可求出值．‎ ‎【解答】解：∵sinα+2cosα=0，即sinα=﹣2cosα，‎ ‎∴tanα=﹣2，‎ 则原式=====﹣1，‎ 故答案为：﹣1‎ ‎【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）在三棱住ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥P﹣A1MN的体积是　　．‎ ‎【分析】判断三视图对应的几何体的形状，画出图形，利用三视图的数据，求解三棱锥P﹣AMN的体积即可．‎ ‎【解答】‎ 解：由三视图可知，可知几何体的图形如图：几何体是底面为等腰直角三角形直角边长为1，高为1的直三棱柱，底面积为，所求三棱锥的高为NP=1，三棱锥底面积是三棱柱底面三角形的，‎ 所求三棱锥P﹣A1MN的体积是：=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查三视图与直观图的关系，组作出几何体的直观图是解题的关键之一，考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m=，n=．现有如下命题：‎ ‎①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；‎ ‎②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0；‎ ‎③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n；‎ ‎④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n．‎ 其中的真命题有　①④　（写出所有真命题的序号）．‎ ‎【分析】运用指数函数的单调性，即可判断①；由二次函数的单调性，即可判断②；‎ 通过函数h（x）=x2+ax﹣2x，求出导数判断单调性，即可判断③；‎ 通过函数h（x）=x2+ax+2x，求出导数判断单调性，即可判断④．‎ ‎【解答】解：对于①，由于2＞1，由指数函数的单调性可得f（x）在R上递增，即有m＞0，则①正确；‎ 对于②，由二次函数的单调性可得g（x）在（﹣∞，﹣）递减，在（﹣，+∞）递增，则n＞0不恒成立，‎ 则②错误；‎ 对于③，由m=n，可得f（x1）﹣f（x2）=g（x1）﹣g（x2），即为g（x1）﹣f（x1）=g（x2）﹣f（x2），‎ 考查函数h（x）=x2+ax﹣2x，h′（x）=2x+a﹣2xln2，‎ 当a→﹣∞，h′（x）小于0，h（x）单调递减，则③错误；‎ 对于④，由m=﹣n，可得f（x1）﹣f（x2）=﹣[g（x1）﹣g（x2）]，考查函数h（x）=x2+ax+2x，‎ h′（x）=2x+a+2xln2，对于任意的a，h′（x）不恒大于0或小于0，则④正确．‎ 故答案为：①④．‎ ‎【点评】本题考查函数的单调性及运用，注意运用指数函数和二次函数的单调性，以及导数判断单调性是解题的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎16．（12分）设数列{an}（n=1，2，3…）的前n项和Sn，满足Sn=2an﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设数列的前n项和为Tn，求Tn．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由条件Sn满足Sn=2an﹣a1，求得数列{an}为等比数列，且公比q=2；再根据a1，a2+1，a3成等差数列，求得首项的值，可得数列{an}的通项公式．‎ ‎（Ⅱ）由于=，利用等比数列的前n项和公式求得数列的前n项和Tn．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由已知Sn=2an﹣a1，有 an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1（n≥2），‎ 即an=2an﹣1（n≥2），‎ 从而a2=2a1，a3=2a2=4a1．‎ 又因为a1，a2+1，a3成等差数列，即a1+a3=2（a2+1）‎ 所以a1+4a1=2（2a1+1），‎ 解得：a1=2．‎ 所以，数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．‎ 故an=2n．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得=，‎ 所以Tn=+++…+==1﹣．‎ ‎【点评】本题主要考查数列的前n项和与第n项的关系，等差、等比数列的定义和性质，等比数列的前n项和公式，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎17．（12分）一辆小客车上有5名座位，其座号为1，2，3，4，5，乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位号分别为1，2，3，4，5．他们按照座位号顺序先后上车，乘客P1因身体原因没有坐自己1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位．如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位．‎ ‎（Ⅰ）若乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法．下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就坐的座位号填入表中空格处）‎ 乘客 P1‎ P2‎ P3‎ P4‎ P5‎ 座位号 ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎　3　‎ ‎　2　‎ ‎　4　‎ ‎　1　‎ ‎　5　‎ ‎　3　‎ ‎　2　‎ ‎　5　‎ ‎　4　‎ ‎　1　‎ ‎（Ⅱ）若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客P5坐到5号座位的概率．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据题意，可以完成表格；‎ ‎（Ⅱ）列表，确定所有可能的坐法，再求出乘客P1坐到5号座位的概率．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）余下两种坐法：‎ 乘客 P1‎ P2‎ P3‎ P4‎ P5‎ 座位号 ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎（Ⅱ）若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，则 所有可能的坐法可用下表表示为 ‎ 乘客 ‎ P1‎ ‎ P2‎ ‎ P3‎ ‎ P4‎ ‎ P5‎ ‎ 座位号 ‎ 2‎ ‎ 1‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ 5‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 1‎ ‎ 4‎ ‎ 5‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ 1‎ ‎ 5‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ 5‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 5‎ ‎ 4‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 4‎ ‎ 3‎ ‎ 1‎ ‎ 5‎ ‎ 2‎ ‎ 4‎ ‎ 3‎ ‎ 5‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 5‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ 1‎ 于是，所有可能的坐法共8种，‎ 设“乘客P5坐到5号座位”为事件A，则事件A中的基本事件的个数为4，所以P（A）==．‎ 答：乘客P5坐到5号座位的概率是．‎ ‎【点评】本题考查概率的运用，考查学生的计算能力，列表确定基本事件的个数是关键．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．‎ ‎（Ⅰ）请按字母F，G，H标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）‎ ‎（Ⅱ）判断平面BEG与平面ACH的位置关系．并说明你的结论．‎ ‎（Ⅲ）证明：直线DF⊥平面BEG．‎ ‎【分析】（Ⅰ）直接标出点F，G，H的位置．‎ ‎（Ⅱ）先证BCHE为平行四边形，可知BE∥平面ACH，同理可证BG∥平面ACH，即可证明平面BEG∥平面ACH．‎ ‎（Ⅲ）连接FH，由DH⊥EG，又DH⊥EG，EG⊥FH，可证EG⊥平面BFHD，从而可证DF⊥EG，同理DF⊥BG，即可证明DF⊥平面BEG．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）点F，G，H的位置如图所示．‎ ‎（Ⅱ）平面BEG∥平面ACH，证明如下：‎ ‎∵ABCD﹣EFGH为正方体，‎ ‎∴BC∥FG，BC=EH，‎ 又FG∥EH，FG=EH，‎ ‎∴BC∥EH，BC=EH，‎ ‎∴BCHE为平行四边形．‎ ‎∴BE∥CH，‎ 又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，‎ ‎∴BE∥平面ACH，‎ 同理BG∥平面ACH，‎ 又BE∩BG=B，‎ ‎∴平面BEG∥平面ACH．‎ ‎（Ⅲ）连接FH，‎ ‎∵ABCD﹣EFGH为正方体，‎ ‎∴DH⊥EG，‎ 又∵EG⊂平面EFGH，‎ ‎∴DH⊥EG，‎ 又EG⊥FH，EG∩FH=O，‎ ‎∴EG⊥平面BFHD，‎ 又DF⊂平面BFHD，‎ ‎∴DF⊥EG，‎ 同理DF⊥BG，‎ 又∵EG∩BG=G，‎ ‎∴DF⊥平面BEG．‎ ‎【点评】本题主要考查了简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p∈R）两个实根．‎ ‎（Ⅰ）求C的大小 ‎（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由判别式△=3p2+4p﹣4≥0，可得p≤﹣2，或p≥，由韦达定理，有tanA+tanB=﹣p，tanAtanB=1﹣p，由两角和的正切函数公式可求tanC=﹣tan（A+B）=，结合C的范围即可求C的值．‎ ‎（Ⅱ）由正弦定理可求sinB==，解得B，A，由两角和的正切函数公式可求tanA=tan75°，从而可求p=﹣（tanA+tanB）的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由已知，方程x2+px﹣p+1=0的判别式：△=（p）2﹣4（﹣p+1）=3p2+4p﹣4≥0，‎ 所以p≤﹣2，或p≥．‎ 由韦达定理，有tanA+tanB=﹣p，tanAtanB=1﹣p．‎ 所以，1﹣tanAtanB=1﹣（1﹣p）=p≠0，‎ 从而tan（A+B）==﹣=﹣．‎ 所以tanC=﹣tan（A+B）=，‎ 所以C=60°．‎ ‎（Ⅱ）由正弦定理，可得sinB===，‎ 解得B=45°，或B=135°（舍去）．‎ 于是，A=180°﹣B﹣C=75°．‎ 则tanA=tan75°=tan（45°+30°）===2+．‎ 所以p=﹣（tanA+tanB）=﹣（2+）=﹣1﹣．‎ ‎【点评】本题主要考查了和角公式、诱导公式、正弦定理等基础知识，考查了运算求解能力，考查了函数与方程、化归与转化等数学思想的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（13分）如图，椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率是，点P（0，1）在短轴CD上，且•=﹣1‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程；‎ ‎（Ⅱ）设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点．是否存在常数λ，使得•+λ•为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（Ⅰ）通过e=、•=﹣1，计算即得a=2、b=，进而可得结论；‎ ‎（Ⅱ）分情况对直线AB斜率的存在性进行讨论：①当直线AB的斜率存在时，联立直线AB与椭圆方程，利用韦达定理计算可得当λ=1时•+λ•=﹣3；②当直线AB的斜率不存在时，•+λ•=﹣3．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）根据题意，可得C（0，﹣b），D（0，b），‎ 又∵P（0，1），且•=﹣1，‎ ‎∴，解得a=2，b=，‎ ‎∴椭圆E的方程为：+=1；‎ ‎（Ⅱ）结论：存在常数λ=1，使得•+λ•为定值﹣3．‎ 理由如下：‎ 对直线AB斜率的存在性进行讨论：‎ ‎①当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+1，‎ A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 联立，消去y并整理得：（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，‎ ‎∵△=（4k）2+8（1+2k2）＞0，‎ ‎∴x1+x2=﹣，x1x2=﹣，‎ 从而•+λ•=x1x2+y1y2+λ[x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）]‎ ‎=（1+λ）（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1‎ ‎=‎ ‎=﹣﹣λ﹣2．‎ ‎∴当λ=1时，﹣﹣λ﹣2=﹣3，‎ 此时•+λ•=﹣3为定值；‎ ‎②当直线AB的斜率不存在时，直线AB即为直线CD，‎ 此时•+λ•=+=﹣2﹣1=﹣3；‎ 故存在常数λ=1，使得•+λ•为定值﹣3．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的标准方程、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，注意解题方法的积累，属于难题．‎ ‎　‎ ‎21．（14分）已知函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．‎ ‎（Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．‎ ‎【分析】（I）函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．可得：x＞0．g（x）=f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a），可得g′（x）==，分别解出g′（x）＜0，g′（x）＞0，即可得出单调性．‎ ‎（II）由f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a）=0，可得a=x﹣1﹣lnx，代入f（x）可得：u（x）=（1+lnx）2﹣2xlnx，利用函数零点存在定理可得：存在x0∈（1，e），使得u（x0）=0，令a0=x0﹣1﹣lnx0=v（x0），再利用导数研究其单调性即可得出．‎ ‎【解答】（I）解：函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．可得：x＞0．‎ g（x）=f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a），∴g′（x）==，‎ 当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；‎ 当1＜x时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．‎ ‎（II）证明：由f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a）=0，解得a=x﹣1﹣lnx，‎ 令u（x）=﹣2xlnx+x2﹣2（x﹣1﹣lnx）x+（x﹣1﹣lnx）2=（1+lnx）2﹣2xlnx，‎ 则u（1）=1＞0，u（e）=2（2﹣e）＜0，‎ ‎∴存在x0∈（1，e），使得u（x0）=0，‎ 令a0=x0﹣1﹣lnx0=v（x0），其中v（x）=x﹣1﹣lnx（x≥1），‎ 由v′（x）=1﹣≥0，可得：函数v（x）在区间（1，+∞）上单调递增．‎ ‎∴0=v（1）＜a0=v（x0）＜v（e）=e﹣2＜1，即a0∈（0，1），当a=a0时，有f′（x0）=0，f（x0）=u（x0）=0．‎ 再由（I）可知：f′（x）在区间（1，+∞）上单调递增，‎ 当x∈（1，x0）时，f′（x）＜0，∴f（x）＞f（x0）=0；‎ 当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）＞f（x0）=0；‎ 又当x∈（0，1]，f（x）=﹣2xlnx＞0．‎ 故当x∈（0，+∞）时，f（x）≥0恒成立．‎ 综上所述：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．‎ ‎【点评】本题考查了导数的运算法则、函数的零点、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎　‎