四川省成都市2021届摸底考试数学理科答案

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高三数学(理科)摸底测试参考答案 　 第 １　　　　 页(共 ５ 页) 成都市 ２０１８ 级高中毕业班摸底测试 数学(理科)参考答案及评分意见 第 Ⅰ 卷(选择题,共 ６０ 分) 一、选择题:(每小题 ５ 分,共 ６０ 分) １．C; ２．B; ３．D; ４．C; ５．A; ６．C; ７．B; ８．B; ９．C; １０．D; １１．A; １２．D 第 Ⅱ 卷(非选择题,共 ９０ 分) 二、填空题:(每小题 ５ 分,共 ２０ 分) １３．１２．３; １４．４x－y＋１＝０; １５． 乙; １６．２－１．三、解答题:(共 ７０ 分) １７． 解:(Ⅰ)∵ 第三组的频率为 １－ ０．０４＋０．０６＋０．０３＋０．０２＋０．０１ ( ) ×５＝０．２,ƺƺ２ 分 ∴ 第三组直方图的高为０．２ ５ ＝０．０４． ƺƺ３ 分 补全频率分布直方图如下图: ƺƺ４ 分 由频率分布直方图,知 m ＝０．０２×１０００＝２００,n＝０．０２× (５０－４５)×１０００＝１００． ƺƺ６ 分 　 (Ⅱ)由 (Ⅰ)知 年 龄 在 ３０,３５ [ ) 段 中 的 人 数 与 年 龄 在 ３５,４０ [ ) 段 中 的 人 数 的 比 值 为 ３００ ２００ ＝３ ２ ．所以 采 用 分 层 抽 样 法 抽 取 ５ 名,年 龄 在 ３０,３５ [ ) 段 中 的 有 ３ 名,年 龄 在 ３５,４０ [ ) 段中的有 ２ 名 ． ƺƺ８ 分 不妨设年龄在 ３０,３５ [ ) 段中的 ３ 名为A１,A２,A３,年龄在 ３５,４０ [ ) 段中的 ２ 名为B１,B２． 由于从 ５ 名代表中任选 ２ 名作交流发言的所有可能情况有:{A１,A２},{A１,A３},{A１,B１}, {A１,B２},{A２,A３},{A２,B１},{A２,B２},{A３,B１},{A３,B２},{B１,B２}．共 １０ 种 ． ƺƺ１０ 分 其中选取的 ２ 名发言者中恰有 １ 名年龄在 ３５,４０ [ ) 段的情况有:{A１,B１},{A１,B２}, {A２,B１},{A２,B２},{A３,B１},A３,B２ { } ． 共 ６ 种 ． ƺƺ１１ 分 故所求概率为P ＝ ６ １０ ＝３ ５ ． ƺƺ１２ 分 高三数学(理科)摸底测试参考答案 　 第 ２　　　　 页(共 ５ 页) １８． 解:(Ⅰ)∵f′ (x)＝３x２ ＋４ax＋b ,且函数f(x)在x＝－１ 处有极值 ０, ∴ f′ (－１)＝０, f(－１)＝０．{ 即 ３－４a＋b＝０, －１＋２a－b＋a－１＝０．{ ƺƺ３ 分 解得 a＝１, b＝１．{ ƺƺ５ 分 又当a＝１,b＝１ 时,f′ (x)＝３x２ ＋４x＋１＝３(x＋１)(x＋ １ ３ )． 当x ∈ (－ ¥,－１)时,f′ (x)＞０,此时f(x)单调递增; 当x ∈ (－１,－ １ ３ )时,f′ (x)＜０,此时f(x)单调递减; 当x ∈ (－ １ ３ ,＋ ¥)时,f′ (x)＞０,此时f(x)单调递增 ． 故f(x)在x＝－１ 处取得极大值 ．综上,a＝１,b＝１． ƺƺ６ 分 (Ⅱ)当a＝１,b＝１ 时,f(x)＝x３ ＋２x２ ＋x ． 则f′ (x)＝３x２ ＋４x＋１＝３(x＋１)(x＋１ ３ )． 　　 当x 变化时,f′ (x)与f(x)的变化情况如下表: x －１ (－１,－ １ ３ ) － １ ３ (－ １ ３ ,１) １ f′ (x) － ０ ＋ f(x) ０ 单调递减 ↘ 极小值 － ４ ２７ 单调递增 ↗ ４ 　　∴ 当x＝１ 时,f(x)取得最大值 ４． ƺƺ１２ 分 １９． 解:(Ⅰ)在图 ① 中,连接BD． ∵ 四边形 ABCD 为菱形,∠A＝６０°,∴△ABD 是等边三角形 ． ∵E 为AD 的中点,∴BE ⊥ AE ,BE ⊥ DE． ƺƺ１ 分 又 AD ＝AB ＝２,∴ AE ＝DE ＝１． 在图 ② 中,AD ＝ ２ ,∴ AE２ ＋ED２ ＝AD２． ∴ AE ⊥ED． ƺƺ２ 分 ∵BC ∥ DE,∴BC ⊥BE,BC ⊥ AE． 又BE ∩ AE ＝E,AE,BE ⊂ 平面 ABE． ∴BC ⊥ 平面 ABE． ƺƺ４ 分 ∵BC ⊂ 平面 ABC,∴ 平面 ABE⊥ 平面 ABC． ƺƺ６ 分 (Ⅱ)由(Ⅰ),知 AE ⊥ DE ,AE ⊥BE． ∵BE ∩ DE ＝E,BE,DE ⊂ 平面BCDE． ∴ AE ⊥ 平面BCDE． ƺƺ７ 分 以E 为坐标原点,EB,→ED→,EA→ 的方向分别为x 轴,y 轴,z 轴正方向,建立如图所示的 空间直角坐标系Exyz ． 则E(０,０,０),A(０,０,１),B(３,０,０),C(３,２,０),D(０,１,０)． ∵P 为AC 的中点,∴P(３ ２ ,１,１ ２ )． 高三数学(理科)摸底测试参考答案 　 第 ３　　　　 页(共 ５ 页) ∴PB→ ＝(３ ２ ,－１,－ １ ２ ),PD→ ＝(－ ３ ２ ,０,－ １ ２ )． 设平面PBD 的一个法向量为m ＝(x,y,z)． 由 mŰPB→ ＝０, mŰPD→ ＝０ { 得 ３ ２ x －y－ １ ２ z＝０, － ３ ２ x － １ ２ z＝０． ì î í ï ïï ï ïï ƺƺ８ 分 令z＝ ３ ,得 m ＝(－１,－ ３,３)． ƺƺ９ 分 又平面BCD 的一个法向量为EA→ ＝(０,０,１)． ƺƺ１０ 分 设二面角P －BD －C 的大小为θ ,由题意知该二面角为锐角 ． 则 cosθ＝ |EA→Űm| |EA→||m| ＝ ３ １× ７ ＝ ２１ ７ ． ∴ 二面角P －BD －C 的余弦值为 ２１ ７ ． ƺƺ１２ 分 ２０． 解:(Ⅰ)设圆x２ ＋y２ ＝４ 上任意一点 M (x,y)经过伸缩变换φ: x′＝x y′＝１ ２ y ì î í ïï ïï 得到对应点 M′ (x′,y′)． 将x ＝x′,y＝２y′ 代入x２ ＋y２ ＝４,得x′２ ＋ (２y′)２ ＝４,化简得x′２ ４ ＋y′２ ＝１． ∴ 曲线 C 的方程为x２ ４ ＋y２ ＝１． ƺƺ４ 分 (Ⅱ)由题知当直线AD 的斜率不存在时,由|AD|＝２,则A,B 两点重合,不满足题意 ． ƺƺ５ 分 当直线 AD 的斜率存在时,不妨设直线 AD:y＝kx ＋m ,A(x１,y１),D(x２,y２)． 因点B ,D 关于原点对称,故SΔABD ＝２SΔAOD ． 由 y＝kx ＋m, x２ ４ ＋y２ ＝１ ì î í ïï ïï 消去y ,化简得 (１＋４k２)x２ ＋８kmx ＋４m２ －４＝０． ∴ Δ＝６４k２m２ －４(１＋４k２)(４m２ －４)＝１６(４k２ －m２ ＋１)＞０, 即 ４k２ －m２ ＋１＞０．ƺƺ(∗) ∴x１ ＋x２ ＝－ ８km １＋４k２,x１x２ ＝４m２ －４ １＋４k２ ． ƺƺ６ 分 由|AD|＝２,即|AD|＝ １＋k２ |x１ －x２|＝ １＋k２ ４ ４k２ －m２ ＋１ １＋４k２ ＝２, 得 m２ ＝３ ４Ű１＋４k２ １＋k２ ． ƺƺ８ 分 设点O 到直线AD 的距离为d ,则d＝ m １＋k２ ． 又SΔABD ＝２SΔAOD ＝２× １ ２ |AD|Űd＝２d, 高三数学(理科)摸底测试参考答案 　 第 ４　　　　 页(共 ５ 页) ∴SΔABD ＝ ２|m| k２ ＋１ ＝ ３Ű ４k２ ＋１k２ ＋１ ． ƺƺ９ 分 令 ４k２ ＋１＝t(t≥１),则k２ ＝１ ４ (t２ －１)． ƺƺ１０ 分 ∴SΔABD ＝４ ３t t２ ＋３ ＝ ４ ３ t＋ ３t ≤２,当且仅当t＝ ３ 时等号成立 ． 此时k２ ＝１ ２ ,m２ ＝３ ２ 且满足(∗)式 ． ƺƺ１１ 分 ∴△ ABD 面积的最大值为 ２． ƺƺ１２ 分 ２１． 解: ∵f′ (x)＝(x ＋１)e x ＋a, ∴f′ (x)的零点个数等价于方程 －a＝(x ＋１)e x 的根的个数 ． ƺƺ１ 分 设F(x)＝(x ＋１)e x ,则考虑直线y＝－a 与曲线y＝F(x)的公共点个数 ． ∵F′ (x)＝(x ＋２)e x ．令F′ (x)＝(x ＋２)e x ＝０,解得x ＝－２． ∴ 当x ∈ －( ∞ ,－２)时,F′ (x)＜０,此时F(x)在 (－ ¥,－２)上单调递减; 　 当x ∈ (－２,＋ ∞)时,F′ (x)＞０,此时F(x)在 (－２,＋ ¥)上单调递增 ． ∴F(x)的最小值为F(－２)＝－１ e ２ ． 又F(－１)＝０,当x ＜－１ 时,F(x)＜０;当x ＞－１ 时,F(x)＞０． 当x → － ¥时,F(x)→０;当x → ＋ ¥时,F(x)→ ＋ ¥ ． ƺƺ２ 分 由其函数图象性质,可得: ① 当 －a ≥０ 或 －a＝－１ e ２ ,即a ≤０ 或a＝１ e ２ 时,直线y＝－a 与曲线y＝F(x)有 １ 个公共点; ƺƺ３ 分 ② 当 － １ e ２ ＜－a ＜０,即 ０＜a ＜ １ e ２ 时,直线y＝－a 与曲线y＝F(x)有 ２ 个公共点; ƺƺ４ 分 ③ 当 －a ＜－ １ e ２ ,即a ＞ １ e ２ 时,直线y＝－a 与曲线y＝F(x)无公共点 ． 综上所述,当a ≤０ 或a＝１ e ２ 时,f′ (x)有且只有 １ 个零点;当 ０＜a ＜ １ e ２ 时,f′ (x)有 ２ 个零点;当a ＞ １ e ２ 时,f′ (x)无零点 ． ƺƺ５ 分 (Ⅱ)当x ∈ (１,＋∞)时,若f(x)≥g(x)成立, 即xe x ＋x ≥axa lnx ＋alnx 对x ∈ (１,＋∞)恒成立, 亦即xe x ＋x ≥ (alnx)e alnx ＋alnx 对x ∈ (１,＋∞)恒成立 ． ƺƺ６ 分 设函数h(x)＝xe x ＋x． ∴h(x)≥h(alnx)对x ∈ (１,＋∞)恒成立 ．又h′ (x)＝(x ＋１)e x ＋１,设φ(x)＝h′ (x)＝(x ＋１)e x ＋１． ∴φ′ (x)＝(x ＋２)e x ． ∴ 当x ∈ －( ∞ ,－２)时,φ′ (x)＜０,此时h′ (x)在 (－ ¥,－２)上单调递减; 　 当x ∈ (－２,＋ ∞)时,φ′ (x)＞０,此时h′(x)在 (－２,＋ ¥)上单调递增 ． 高三数学(理科)摸底测试参考答案 　 第 ５　　　　 页(共 ５ 页) ∴h′(x)≥h′(－２)＝１－ １ e ２ ＞０． ∴h(x)在 R上单调递增 ． ƺƺ８ 分 又h(x)≥h(alnx),∴x ≥alnx 在 (１,＋∞)上恒成立 ． 令 m(x)＝x－alnx ,则 m′(x)＝１－a x ＝x－a x ． ① 当a ≤１ 时,m′(x)＞０ 在 (１,＋¥)上恒成立,∴ m(x)＞m(１)＝１＞０,此时满足已 知条件 ． ƺƺ９ 分 ② 当a ＞１ 时,由 m′(x)＝０,解得x＝a ． 　 当x ∈ (１,a)时,m′(x)＜０,此时 m(x)在 (１,a)上单调递减; 　 当x ∈ (a,＋ ¥)时,m′(x)＞０,此时 m(x)在 (a,＋ ¥)上单调递增 ． ∴m(x)的最小值 m(a)＝a－alna ≥０,解得 １＜a ≤e． ƺƺ１１ 分 综上,a 的取值范围是 (－ ¥,e]． ƺƺ１２ 分 ２２． 解:(Ⅰ)由直线l的参数方程,消去参数t,得直线l的普通方程为x－y－１＝０． ƺƺ２ 分 由ρ２ ＝x２ ＋y２,ρcosθ＝x,ρsinθ＝y ,得曲线C 的直角坐标方程为 (x－３)２ ＋y２ ＝９． ƺƺ４ 分 (Ⅱ)将直线l的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程,并整理得 t２ －２ ２t－５＝０．ƺ(∗) ƺƺ６ 分 设t１,t２ 是方程(∗)的两个实数根,则有 Δ＝２８＞０,t１ ＋t２ ＝２ ２,t１t２ ＝－５． ƺƺ８ 分 ∴ １|PA|２ ＋ １|PB|２ ＝ |PA|２ ＋|PB|２ |PA|２ Ű|PB|２ ＝ (t１ ＋t２)２ －２t１t２ |t１t２|２ ＝ (２２) ２ －２×(－５) |－５|２ ＝ １８ ２５ ． ƺƺ１０ 分