高中数学：三-1《相似三角形的判定》素材（新人教A版选修4-1）

高中数学：三-1《相似三角形的判定》素材（新人教A版选修4-1）

相似三角形的判定（一）‎ 一、 教学内容的说明 ‎1、教材所处的地位：三角形相似的判定是相似形这一章的教学重点，是在学习三角形相似的定义和预备定理的基础上作进一步研究。从知识的系统性来看，相似三角形是全等三角形知识的发展，它们存在一般与特殊的关系，因此可类比三角形全等的判定方法得到三角形相似的判定方法。同时判定定理1的证明方法又为进一步学习其它几个判定定理奠定了基础。‎ ‎2、这一内容可分为四课时完成，本教学设计是第一课时。‎ ‎3、本节课注重分层教学，在各个环节均照顾不同层次的学生，使各层次学生均有所得，体会到成功的喜悦，树立自信心，主动发展。‎ ‎ 教学重点：三角形相似的判定定理1的理解和应用。‎ ‎ 教学难点：三角形相似的判定定理1的证明方法。因为它的证明是在只有相似三角形的定义和预备定理的条件下完成的，需要添加辅助线转化为预备定理。‎ 二、 教学目标的确定 根据本节课的具体内容并结合学生的实际情况，我从知识与技能、过程与方法、情感态度价值观三方面制定了教学目标：‎ ‎1、使学生理解定理内容及其证明方法，初步会运用定理解决有关问题；‎ ‎2、通过学生探索、证明、理解和应用定理，进一步发展符号感和推力能力，使学生学会学习，体验成功；‎ ‎3、通过图形变式，使学生体验数学活动充满着探索性和创造性，并享受数学美；通过小组讨论，培养学生合作意识。‎ 三、 教学方法与教学手段的选择 为了充分调动学生学习的积极性，使学生变被动学习为主动愉快地学习，我引导学生类比联想，猜想命题，形成定理，采用讨论、探究式的教学方法。‎ 在教学手段方面，我选择了计算机辅助教学的方式，运用Powerpoint和几何画板，增加图形的直观性和课堂密度。‎ 四、 教学过程的设计 为了实现教学目标，我遵循学生的认知规律，根据“循序渐进原则”；把这节课分为三个阶段：“定理探索阶段”；“定理运用阶段”；“定理巩固阶段”。下面我将对教学步骤作出说明。‎ ‎（一）定理探索阶段 ‎ 1、类比，猜想三角形相似的判定方法 由于探索三角形相似的新的判定方法首先应让学生对已有知识有一个清晰的认识，所以先让学生复习相似三角形的定义和判定三角形相似的预备定理，教师引导学生思考，现有的判定三角形相似的方法中：‎ ‎①定义需要对应角分别相等，对应边成比例，条件多，过于苛刻；‎ ‎②预备定理要求有三角形一边的平行线，条件过于特殊，使用起来有局限性。‎ 说明探索三角形相似的新的判定方法的必要性。‎ 教师提出新的问题：你能减少定义中的条件就判断两个三角形相似吗？激发学生的兴趣，唤起学生的创新精神。由于全等三角形是相似三角形的特例，启发学生类比全等三角形的判定公理或定理，猜想相似三角形的判定方法。学生以小组为单位，讨论、猜想。可能会出现各种情况，教师带领学生归纳出：‎ 猜想一：（类比边角边公理）‎ 在△ABC与△中，‎ 若==k，∠A=∠，则△ABC∽△ ‎ 猜想二：（类比角边角公理和角角边定理）‎ 在△ABC与△中，‎ 若∠A=∠， ∠B=∠，则△ABC∽△‎ 猜想三：（类比边边边公理）‎ 在△ABC与△中，‎ 若===k，则△ABC∽△‎ 给学生想象和讨论的空间和时间，互相促进思维。教师适时提问：你能用所学知识证明猜想二成立并且应用它解决问题吗？‎ ‎ 2、用化归方法，证明猜想形成定理 由于课本上三角形相似的三个判定定理及直角三角形相似的判定定理都是转化成预备定理来证明的，所以首先用几何画板演示，将预备定理基本图形中的小三角形移出、移进，通过图形变换揭示应用预备定理，证明两个三角形相似的可行途径，目的在于引导学生作辅助线，探求证明方法。如图1：‎ ‎ 将△ADE平移到△ ‎ 图1‎ 若将图1中△ADE平移到其他位置△，仍有△∽△ABC ‎∵△ADE≌△， △ADE∽△ABC ∴△∽△ABC 师生总结思路：‎ ‎①利用平移变换（对应三个猜想命题有三种平移条件，下节学习后两种）将证明三角形相似转化为证明三角形全等（图1中△ADE≌△）。使学生明确许多问题的解决都要将未知转化为已知，教给学生要善于总结学习方法，善于反思，注重学会学习。‎ ‎ 平移△到△ADE 位置 图2‎ ‎②三角形相似的判定 添加辅助线 化归 三角形相似的预备定理（DE∥BC） ‎ ‎③利用相似三角形的传递性得到△ABC∽△。‎ 学生口述，教师板书已知、求证、证明过程、定理内容及数学表达式。‎ ‎（二）定理应用阶段 学生已经认识了“两角对应相等，两三角形相似”这个定理，对它的应用产生了兴趣，本阶段分三个例题进行分析，由学生通过图形的变式，应用定理。‎ ‎ 1、直接应用定理 例1、已知：在△ABC和△DEF中，∠A=40º，∠B=80º，∠E=80º，∠F=60º。‎ ‎（1）求证：△ABC∽△DEF。（2）写出对应边成比例的式子。‎ 教师着重启发学生思考如何利用三角形内角和定理，找出两个三角形中两对对应相等的角。（全体同学掌握）第（2）小题为例2做准备。学生觉得此题很容易，因此我又出示了例2。‎ ‎2、相似后证明乘积式 例2、已知：如图3，BE、DC交于点A，∠E=∠C。求证：DA·AC=BA·AE ‎ ‎ 图3‎ 题目比较简单，学生独立完成，启发学生总结：①本题找对应角的特殊方法是对顶角相等；②要想证明乘积式或比例式，应先证明三角形相似。‎ 利用变换的思想对此题加以延伸。教师使用电脑演示图形的变化过程，使全体学生对这个图形有比较深刻的了解，使理解能力较强的学生能够站在系统的高度来学会学习。‎ 图4‎ ‎3、对特殊图形的认识 例3、已知：如图5，Rt△ABC中，∠ABC=90º，BD⊥AC于点D。‎ 图5‎ （1） 图中有几个直角三角形？它们相似吗？为什么？‎ （1） 用语言叙述第（1）题的结论。‎ （2） 写出相似三角形对应边成比例的表达式。‎ 教师启发学生总结：‎ （1） 有一对锐角相等的两个直角三角形相似；‎ （2） 本题找对应角的方法是公共角及同角的余角相等；‎ 双垂直图形中的BD=AD·CD，AB=AD·AC，BC=CD·CA，BC·AB=AC·BD等结论很重要，它们在计算、证明中应用很普遍，但需先证明两个三角形相似得到结论，再加以应用。在此基础上，教师将双垂直图形转化 ‎ 为“公边共角”，学生讨论、探究， ‎ 得到结论：由公边共角的两个相似三角形中，公边是两个三角形中落在一条直线上的两边的比例中项，即若△ABD∽△ACB，则AB=AD·AC。‎ ‎ （三）定理巩固阶段 这一阶段，我设计了三组练习题让学生选做，每一组题做对都能得到一百分，共三百分，学生自由选择完成，使不同层次的学生都能够体会到成功的喜悦。‎ A组：（你能行！）根据下列给出的条件，判定两个三角形是否相似。‎ ‎1、在△ABC和△中，∠A=35º，∠B=75º，∠= 35º，∠=75º，结论： 理由： ‎ ‎2、在Rt△ABC和Rt△中，∠C= ∠=90º，∠A=47º，∠=43º，结论：‎ 此题由中等及以下学生完成，巩固定理。‎ B组：（你肯定行！）已知：如图，△ABC中，D是AC上一点，∠ABD=∠C。‎ ‎ ‎ 求证：（1）△ABD∽△ACB ‎（2）AB2=AD·AC 此题是呼应例2及例3的引申，图形变式证相似，公边共角乘积式，由中等及以上学生完成。‎ C组：（你一定是最棒的！）‎ ‎1、△ABC中，∠ABC=90º，BD⊥AC于D，AB=2，AC=4。‎ 求AD、CD、BC的长。‎ ‎2、已知：如图，G是平行四边形ABCD的延长线上的一点，‎ 连结BG交对角线AC与E，交AD于F，写出图中的相似三角形。‎ 这组题中，1题为了使学生明确求线段的长也可用三角形相似，2题是为了使学生熟悉较复杂图形，此组题由成绩比较好的学生完成。‎ ‎（四）、师生小结 让学生思考总结本节课的收获，在此基础上师生归纳：‎ 1、 三角形相似与全等的判定方法的类比；‎ 2、 三角形相似的判定定理1的内容，强调判定相似需且只需两个独立条件；‎ 1、 常用的找对应角的方法：①已知角相等；②已知角度计算得出相等的对应角；③公共角；④对顶角；⑤同（等）角的余（补）角相等；⑥两直线平行，同位角（内错角）相等；等等。‎ 此环节促使学生构建知识体系，便于灵活提取应用，培养学生良好的学习习惯。‎ ‎（五）、布置作业：‎ 必做题：1、已知：如图，平行四边形ABCD中，E是CB延长线上一点，DE交AB于点F。图中共有几对相似三角形？分别把它们写出来，并加以证明。 ‎ ‎2、已知：如图，△ABC中，∠C=90º，DE⊥AB。‎ 求证：（1）△ADE∽△ACB。‎ ‎（2）AB·AD=AC·AE ‎ ‎ ‎（第1题图） （第2题图）‎ 选做题：1、已知：如图，△ABC中，AB=AC，BD=BC。求证：△ABC∽△BDC。‎ ‎2、已知：如图，△ABC中，∠ACB=90º，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E。图中共有多少个三角形？指出图中的两对三角形。‎ ‎ ‎ ‎（第1题图） （第2题图）‎ 必做题较容易，帮助学生掌握基础知识和基本技能，树立自信心；选做题是给学有余力的同学准备的。‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ www.ks5u.com