高中数学选修2-2课时提升作业(八) 1_4
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课时提升作业(八)
生活中的优化问题举例
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为( )
A.cm B.cm
C.cm D.cm
【解析】选D.设高为hcm，底面半径为rcm，则h2+r2=400.
又体积V=πr2h，则V=π(400-h2)h，
令V′=0，得惟一极值点h=，此时体积最大，故选D.
2.(2014·上饶高二检测)若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为 ( )
A. B. C. D.2
【解析】选C.设底面边长为x，高为h，
则V=x2h，所以h=.
所以S表=2×x2+3x·=x2+，
所以S′表=x-，令S′表=0得x=.
当0
时，S′表>0.
因此当底面边长为时，其表面积最小.
3.购进原价为80元的商品400个，按90元一个售出时，可全部卖出.已知这种商品每个涨价一元，其销售数就减少20个，则获得利润最大时售价应为( )
A.90 B.95 C.100 D.105
【解析】选B.设售价为(90+x)元时利润为y，此时销售量为400-20x.
y=f(x)=(90+x)(400-20x)-(400-20x)×80
=20(20-x)(10+x)，求导得，
当x=5时，ymax=4500(元).即售价为95元时获利最大，其最大值为4500元，故选B.
4.(2014·青岛高二检测)一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积为S，为使窗户周长最小，用料最省，圆的半径应为( )
A. B. C. D.2
【解析】选C.如图，设圆半径为x，如果矩形高记作h，那么窗户面积S=x2+2hx，
窗户周长l(x)=πx+2x+2h
=x+2x+.
令l′(x)=+2-=0.
解得x=(负值舍去).
因为l(x)只有一个极小值点，
因此x=为最小值点.
5.(2014·烟台高二检测)某厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)=x3-x2+8(0≤x≤5)，那么，
原油温度的瞬时变化率的最小值是( )
A.8 B. C.-1 D.-8
【解题指南】导函数即为原油温度的瞬时变化率，利用配方法可求最小值.
【解析】选C.由题意，f′(x)=x2-2x=(x-1)2-1，因为0≤x≤5，所以x=1时，
f′(x)的最小值为-1，即原油温度的瞬时变化率的最小值是-1，故选C.
6.在半径为r的半圆内作一内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，其梯形的上底为( )
A. B.r C.r D.r
【解析】选D.如图所示，设∠COB=θ，则CD=2rcosθ，梯形的高h=rsinθ，
所以S=·rsinθ
=r2sinθ(1+cosθ)，
所以S′=r2[cosθ(1+cosθ)-sin2θ]
=r2(2cos2θ+cosθ-1).
令S′=0得cosθ=-1(舍去)或cosθ=.
即当cosθ=时，梯形面积最大，
此时上底CD=2rcosθ=r.故应选D.
二、填空题(每小题4分，共12分)
7.(2014·苏州高二检测)容积为256L的方底无盖水箱，它的高为__________时最省材料.
【解析】设水箱高为h，底面边长为a，则a2h=256，其面积为S=a2+4ah=a2+4a·= a2+.
令S′=2a-=0，得a=8.
当08时，S′>0；
当a=8时，S最小，此时h==4.
答案：4
8.(2014·南充高二检测)已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y=4-x2在x轴上方的曲线上，则这种矩形中面积最大者的边长为__________.
【解析】设点B(x，4-x2)(00)，为使耗电量最小，则其速度应定为__________.
【解题指南】欲求使耗电量最小，则其速度应定为多少，即求出函数的最小值即可，对函数求导，利用导数研究函数的单调性，判断出取最小值时的x即可.
【解析】由题设知y′=x2-39x-40，
令y′>0，解得x>40或x<-1，
故函数y=x3-x2-40x(x>0)在[40，+∞)上是增函数，在(0，40]上是减函数，当x=40时，y取得最小值.由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40.
答案：40
三、解答题(每小题10分，共20分)
10.如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大?
【解析】设小正方形的边长为xcm，则盒子底面长为(8-2x)cm，宽为(5-2x)cm，
V=(8-2x)(5-2x)x=4x3-26x2+40x，
V′=12x2-52x+40，
令V′=0，得x=1或x=(舍去)，
V极大值=V(1)=18，在定义域内仅有一个极大值，
所以V最大值=18，即当小正方形的边长为1cm时，盒子容积最大.
11.(2014·大同高二检测)已知某工厂生产x件产品的成本为C=25000+200x+x2(元)，
问：(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品?
(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品?
【解析】(1)设平均成本为y元，则
y==+200+，
y′=+，令y′=0得x=1000.
当在x=1000附近左侧时y′<0；
在x=1000附近右侧时y′>0，故当x=1000时，y取极小值，而在定义域内只有一个点使y′=0，故函数在该点处取得最小值，因此，要使平均成本最低，应生产1000件产品.
(2)利润函数为S=500x-
=300x-25000-，S′=300-，
令S′=0，得x=6000，当在x=6000附近左侧时S′>0；在x=6000附近右侧时
S′<0，故当x=6000时，S取极大值，而在定义域内只有一个点使S′=0，故函数在该点处取得最大值，因此，要使利润最大，应生产6000件产品.
【变式训练】(2014·盐城高二检测)某地开发了一个旅游景点，第1年的游客约为100万人，第2年的游客约为120万人.某数学兴趣小组综合各种因素预测：①该景点每年的游客人数会逐年增加；②该景点每年的游客都达不到130万人.该兴趣小组想找一个函数y=f(x)来拟合该景点对外开放的第x(x≥1)年与当年的游客人数y(单位；万人)之间的关系.
(1)根据上述两点预测，请用数学语言描述函数y=f(x)所具有的性质.
(2)若f(x)=+n，试确定m，n的值，并考察该函数是否符合上述两点预测.
(3)若f(x)=a·bx+c(b>0，b≠1)，欲使得该函数符合上述两点预测，试确定b的取值范围.
【解析】(1)预测①：f(x)在[1，+∞)上单调递增；
预测②：f(x)<130对x∈[1，+∞)恒成立；
(2)将(1，100)，(2，120)代入到y=+n中，
得解得
因为f(x)=-+140，所以f′(x)=>0，故f(x)在[1，+∞)上单调递增，符合预测①；
又当x≥4时，f(x)=-+140≥130，
所以此时f(x)不符合预测②.
(3)由解得
因为f′(x)=a·bx·lnb，
要想符合预测①，则f′(x)>0，即a·lnb>0，从而或
①当b>1时，a=>0，此时符合预测①，但由f(x)≥130，解得x≥logb，
即当x≥logb时，f(x)≥130，
所以此时f(x)不符合预测②；
②当00；
R-1，则直线l与两条坐标轴所围成的三角形面积的最大值等于__________.
【解题指南】分别令x=0与y=0可求得l与两条坐标轴的交点坐标，于是可得到所围成的三角形面积的表达式，继而可利用导数法求其最大值.
【解析】因为直线l：y=-e-t(x-t)+e-t，
令x=0，y=(t+1)e-t，即A(0，(t+1)e-t).
令y=0，x=t+1，故B(t+1，0).
因为t>-1，所以t+1>0，
所以S△OAB=(t+1)·(t+1)e-t=(t2+2t+1)e-t，
所以S′△OAB=(2t+2)e-t+(t2+2t+1)e-t×(-1)
=e-t(1-t2).
当t>1时，S′△OAB<0，当-10，
所以当t=1时，S△OAB有极大值，
因为S′△OAB=0的t的值惟一，所以S△OAB的极大值就是最大值.
所以当t=1时，S△OAB有最大值，
S△OAB的最大值为×(1+1)(1+1)e-1=.
答案：
三、解答题(每小题12分，共24分)
7.(2014·银川高二检测)一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要库存费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少?
【解析】设每次进书x千册(00，求出自变量a的范围.
(2)用导数的知识解决，注意定义域的限制，确定函数y=f(x)在定义域上的单调性，从而可求函数的最大值.
【解析】(1)AB=a，PO=a，
所以斜高为=.所以一个正四棱锥的侧面积为S1=4××a×=a2.
一个正四棱锥的体积为V1=a2×a=a3.
令长方体的高为b，则a2b+a3×2=10.
所以b=-a.由b>0，得00，y为a的增函数，
故该工件的制造费用最小时，a的值为(米).
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