高中数学第1章空间几何体1_2空间几何体的三视图和直观图1_2_3空间几何体的直观图教材梳理素材新人教A版必修21

高中数学第1章空间几何体1_2空间几何体的三视图和直观图1_2_3空间几何体的直观图教材梳理素材新人教A版必修21

1.2.3 空间几何体的直观图 疱丁巧解牛 知识·巧学 一、平面图形斜二测画法规则 1.(1)在已知图形中取互相垂直的 x 轴、y 轴,两轴相交于 O 点,画直观图时,把它们画成对应 的x′轴与y′轴,两轴交于O′且使∠x′O′y′=45°(或135°),它们确定的平面表示水平 面; (2)已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x′轴与 y′轴; (3)已知图形中平行于 x 轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于 y 轴的线段在直观图中 长度变为原来的一半. 2.坐标平面中，点的直观图的画法.如图 1-2-16. 图 1-2-16 画法： (1)设点 C(a，b),作坐标系 x′O′y′，使∠x′O′y′=45°； (2)在 x 轴上的点 A，画在 x′轴上，使 O′A′=OA； (3)在 y 轴上的点 B，画在 y′轴上，使 O′B′= OB2 1 ； (4)在 x′O′y′中，作 y′轴的平行线 x′=a，作 x′轴的平行线 y′= 2 b ，直线 x′与直线 y′相交于点 C′(a, 2 b ),点 C′即为点 C 的直观图. 3.坐标平面中，线段的直观图的画法. (1)设 A 点坐标为(a,b)，B 点坐标为(c,d),作坐标系 x′O′y′,使∠x′O′y′=45°； (2)仿照点的作法，分别找出 A、B 两点的直观图 A′、B′; (3)连结 A′B′，则 A′B′就是 AB 的直观图.如图 1-2-17(1)、(2). 图 1-2-17 4.一般多边形的直观图. (1)作出各个顶点的直观图； (2)连结各个顶点即可. 例如画水平放置的正六边形的直观图.如图 1-2-18(1)(2). 画法： (1)在已知正六边形 ABCDEF 中，取对角线 AD 所在的直线为 x 轴，取对称轴 GH 为 y 轴，x 轴、 y 轴相交于点 O,任取点 O′，画出对应的 x′轴、y′轴，使∠x′O′y′=45°； (2)以点 O′为中点，在 x′轴上取 A′D′=AD，在 y′轴上取 G′H′= GH2 1 ，以点 H′为中 点，画 F′E′∥x′轴，并使 F′E′=FE；再以 G′为中点，画 B′C′∥x′轴，并使 B′C′=BC； (3)顺次连结 A′B′、C′D′、D′E′、F′A′,所得到的六边形 A′B′C′D′E′F′就是 水平放置的正六边形 ABCDEF 的直观图. 图 1-2-18 记忆要诀 用斜二测画法画平面图形的直观图时，应牢记下列口决：横不变，竖折半；平行 关系不改变；九十度角画一半. 二、空间几何体的直观图画法 1.斜二测画法的规则. (1)在已知图形中取水平平面，取互相垂直的轴 Ox、Oy，再取 Oz 轴，使∠xOz=90°； (2)画直观图时，把它们画成对应的轴 O′x′、O′y′、O′z′,使∠x′O′y′=45°(或 135°)，∠x′O′z′=90°，x′O′y′所确定的平面表示水平平面； (3)已知图形中平行于 x 轴、y 轴或 z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x′轴、y′轴、 z′轴的线段； (4)已知图形中平行于 x 轴和 z 轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于 y 轴的线段， 长度变为原来的一半. 2.点的画法. 在 O—xyz 坐标系中，A 点坐标为(a,b,c)，则在 O′-x′y′z′坐标系中坐标为 (a, 2 b ,c). 3.几何体的画法. 运用点的画法，画出顶点，连线即可. 画水平放置的几何图形的直观图应注意的问题: （1）要根据图形的特点选取适当的坐标系,这样可以简化作图步骤; （2）平行于 y 轴的线段画直观图时一定要画成原来长度的一半; （3）对于图形中与 x 轴、y 轴、z 轴都不平行的线段,可通过确定端点的办法来解决,即过端 点作坐标轴的平行线段,再借助于所作的平行线段确定端点在直观图中的位置. 问题·探究 问题 1 利用斜二测画法画水平放置的平面图形时要注意“一斜”与“二测”.你是怎么理 解这一问题的？ 探究:“一斜”即把已知图形中互相垂直的轴 Oｘ、Oｙ画成对应的轴 Ox′、Oy′，使 x′Oy′=45°(或 135°)体现了轴的“斜”；“二测”是已知图形中平行于ｘ轴的线段在直 观图中保持原长度不变，即横不变；已知图形中平行于ｙ轴的线段在直观图中长度变为原来 的一半，即纵减半. 问题 2 把太阳光线看成是平行的，它把一个矩形 ABCD 投射到地平面上.①如果太阳光线不 垂直于地平面，矩形 ABCD 垂直于地平面，它的投影是矩形吗？②如果太阳光线不垂直于地 平面，矩形 ABCD 平行于地平面，它的投影是矩形吗？原图形与它的投影是什么关系？③如 果太阳光线垂直于地平面，矩形 ABCD 平行于地平面，它的投影是矩形吗？原图形与它的投 影是什么关系？ 探究:①投影不是矩形，而是一个平行四边形；②投影是矩形，且这个矩形与原来的矩形是 全等的；③投影是矩形，这个矩形与原来的矩形一定是全等的. 典题·热题 例 1 画出水平放置的等腰梯形的直观图. 思路解析：画水平放置的直观图应遵循以下原则: (1)直角坐标系中∠x′O′y′=45°; (2)横线相等,即 A′B′=AB,C′D′=CD; (3)竖线是原来的 2 1 ,即 O′E′= OE2 1 . 解：(1)如图 1-2-19(1),取 AB 所在直线为 x 轴,AB 中点 O 为原点,建立直角坐标系,画对应的 坐标系 x′O′y′,使∠x′O′y′=45°; 图 1-2-19 (2)以 O′为中点在 x′轴上取 A′B′=AB,在 y′轴上取 O′E′= OE2 1 ,以 E′为中点画 C′D′∥x′轴,并使 C′D′=CD; (3)连结 B′C′、D′A′,所得的四边形 A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形 ABCD 的直观 图.如图 1-2-19(2). 误区警示 画水平放置的几何图形的直观图时,不能将与 y 轴平行的线段画的与原来的长度 相等,应变为原来长度的 2 1 ,如本例中的 O′E′. 方法归纳 画水平放置的平面图形的直观图的步骤为画轴(让尽量多的点在坐标轴上)；取点； 成图.在图形中，平行于ｘ轴的线段，在直观图中保持其长度不变，平行于ｙ轴的线段，在 直观图中长度减半. 例 2 画棱长为 2 cm 的正方体的直观图.如图 1-2-20(1)(2). 思路解析：在几何体中建立适当的空间直角坐标系，在坐标系中根据规则作出几何体各顶点， 再连结顶点即可得到几何体的直观图. 解：步骤:(1)作水平放置的正方形的直观图 ABCD，使∠BAD=45°，AB=2 cm，AD=1 cm; (2) 过 点 A 作 z′ 轴 , 使 ∠BAz′=90°, 分 别 过 点 A 、 B 、 C 、 D, 沿 z′ 轴 的 正 方 向 取 AA1=BB1=CC1=DD1=2 cm； (3)连结 A1B1、B1C1、C1D1、D1A1，得到的图形就是所求的正方体直观图. 图 1-2-20 方法归纳 画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与∠x′O′y′平面垂直的轴 O′z′, 且平行于 O′z′的线段，在直观图中的长度不变，其他与平面图形直观图的画法一致. 例 3 如图 1-2-21 是上、下底面处在水平状态下的棱长为 2 cm 的正方体的直观图，比例尺 为 1∶1,回答下列问题： (1)线段 AB1 在图中、实物中长度各为多少？∠AB1A1 在图中、实物中的度数各为多少？ (2)在实物中，∠ABC、∠AEB、∠BEC、∠ABD、∠CBD 的度数是多少？ (3)线段 BC 在图中、实物中的长度各是多少？∠AD1A1、∠CB1C1 在实物中的度数是多少？ 图 1-2-21 思路解析：从正方体的上下面、左右面、前后面去认证线段和角的实际意义. 解：(1)面 AA1B1B 处在铅直状态下，其内部的图形为真实图形.由已知 AA1=A1B1=2 cm，AA1⊥A1B1， 所以 AB1= 2222 22  cm.所以线段 AB1 在图中、实物中的长度都是 22 cm.∠AB1A1 在图中、实物中度数都是 45°. (2)在实物中，∠ABC=∠AEB=∠BEC=90°，∠ABD=∠CBD=45°. (3)线段 BC 在图中、实物中的长度分别是 1 cm、2 cm，∠AD1A1、∠CB1C1 在实物中的度数都 是 45°. 深化升华 立体几何中的图形都是空间图形，在空间图形中，我们用直尺量得的线段的长度， 用量角器量得的角的度数，与线段、角在实物中的长度、度数有相同的，也有不同的，怎样 把握空间图形与实物的对应关系，最有效的途径之一就是在正方形的上下面、左右面、前后 面内去认证线段和角的实际意义.