高中数学讲义微专题96 平面几何

高中数学讲义微专题96 平面几何

- 1 - 微专题 96 平面几何 一、基础知识： 1、相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形的判定 ① 三个角：若两个三角形对应角都相等，则这两个三角形相似 注：由三角形内角和为 可知，三角形只需两个内角对应相等即可 ② 两边及一夹角：若两个三角形的两条边对应成比例，且所夹的角相等，则这两个三角形相 似 ③ 三边：若两个三角形三边对应成比例，则这两个三角形相似 ④（直角三角形）若两个直角三角形有两组对应边成比例，则这两个直角三角形相似 （2）相似三角形性质：若两个三角形相似，这它们的对应角相等，对应边成比例即相似比 （主要体现出“对应”两字），例如：若 ，则有： 2、平行线分线段成比例：如图：已知 ，且直线 与 平行线交于 ，则以下线段成比例： （1） （上比下） （2） （上比全） （3） （下比全） 3、常见线段比例模型： （1）“A ”字形：在 中，平行 的直线交三角形另两边于 ，即形成一个“A”字，在“A”字形中，可得 ，进 而有以下线段成比例： ① ② ③ （2）“8”字形：已知 ，连结 相交于 ，即形成一个“8”字，在“8”字 180 ' ' 'ABC A B C  ' ' ', , ,A A B B C C         ' ' ' ' ' ' AB AC BC A B AC B C  1 2 3l l l∥ ∥ ,m n , , , , ,A B C D E F AB DE BC EF AB DE AC DF BC EF AC DF ABC BC ,D E ABC ADE AD AE DB EC DB CE AB AC AD AE DE AB AC BC  AB CD∥ ,AD BC O F E D C B A A B C D E - 2 - 形中，有： ，从而 4、圆的几何性质： （1）与角相关的性质 ① 直径所对的圆周角是直角 ② 弦切角与其夹的弧所对的圆周角相等 ③ 同弧（或等弧）所对的圆周角是圆心角的一半 ④ 圆内接四边形，其外角等于内对角 （2）与线段相关的性质： ① 等弧所对的弦长相等 ② 过圆心作圆上一条弦的垂线，则直线垂直平分该弦 ③ 若一条直线与圆相切，则圆心与切点的连线与该直线垂直 5、与圆相关的定理 （1）切割线定理：设 是 的切线， 为割线， 则有： （2）相交弦定理：设 是圆内的两条弦，且 相交于 ，则有 （3）切线长定理：过圆外一点 可作圆的两条切线，且 这两条切线的长度相等 6、射影定理：已知在直角三角形 中， ， 为斜边 上的高（双垂直特 点），则以下等式成立： 注：射影定理结合勾股定理，以及等面积法。在直角三角形 中的边 这五条线段中，可做到已知两条边 的长度，即可求出所有边的长度 7、平面几何中线段长度的求法： （1）观察所求线段是否是某个定理的一部分，从而凑齐该定理的其他条件即可求出该线段 （2）考虑所求线段是否与其它线段存在比例关系 AOB DOC  AO BO AB OD CO CD  PA O PBC 2PA PB PC  ,AB CD ,AB CD P AP BP CP DP   P ABC 90BCA   CD AB 2BC BD BA  2AC AD AB  2CD BD AD  ABC , , , ,AC BC BD DA CD O B P C A B C A D O C D A B - 3 - （3）可将此线段放入三角形中，考虑是否能通过正余弦定理解决 （4）若不易找到题目中各线段与所求线段的联系，可考虑将所求线段设为 ，通过方程进行 求解。 二、典型例题： 例 1：如图，已知 切 于 点，割线 与弦 相交于 点，且 ， 若 ，则 的长为___________ 思路：由 是切线， 是割线联想到切割线定理，所以有： ，解得 ，从而 ，求 可联想到相交弦定理： ， 即 ，其中 ， ，代入可得： 答案： 例 2：如图，四边形 内接于圆 ， 与圆 相切于点 ， ， 为 的中点， ， ， ，则 ． 思路：由 与圆 相切可想到切割线定理：即 ，因 为 是直径，且 为 的中点，所以 垂直平分 ，且 和 为对称的直角三角形。所以 ， ，所以 。在 中， 由 切 线 可 知 ， 且 ， 所 以 由 射 影 定 理 可 知 ，则 ，进而 答案： x PA O A PCD AB E PA PE BE  4, 21PC CD  AE PA PCD  2 100PA PC PD PC PC CD      10PA  10PE BE  AE AE BE CE DE   CE DEAE BE  6CE PE PC   15DE CD CE   6 15 910AE   9 ABCD O DE O D AC BD F  F AC O BD 10CD  5BC  DE  DE O 2DE EA EB  BD F AC BD AC BAD BCD 10AD CD  5AB BC  2 2 35BD AD AB   EDF ED BD ,AD BE 2 2 7BDBD BA BE BE BA     2AE BE AB   14DE EA EB   14 F B C DE A O - 4 - 例 3：如图， 与圆 相切于 ， 为圆 的割线，并且不过圆心 ，已知 ， ， ，则圆 的半径等于__________． 思路：由 与圆 相切于 可知 ，可得 ，从而 ，在 中，可 由 ， ，可得： ，从而 ，观察圆内的弦，延长 交圆于 ，从而有 ， 与 半 径 进 行 联 系 可 得 ： ，代入数值可得 答案： 例 4：如图， 是半圆 的直径 延长线上一点， 切半 圆于点 ， 于 ，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 思路：因为 切半圆于点 ，所以考虑连结圆心与切点，可得： ，在 中 具 有 双 垂 直 的 特 点 ， 所 以 只 需 已 知 两 条 边 即 可 求 出 ， 由 切 割 线 定 理 可 得 ： ， ，所以 ，即 ，从而 ， 由射影定理可得： 答案：B 例 5 ：如图， 为 外接圆 的切线， 平分 ，交圆 于 ， 共线．若 ，则圆 的 半径是 ． 思 路：由 可 知 为 圆 的 直 径 ， 由 弦 切 角 性 质 可 得 ， 且 在 圆 中 （ 对 同 弧 ），由 平 分 可 得 PA O A PCB O O 30BPA   2 3PA  1PC  O PA O A 2PA PC PB  2 12PAPB PC  11BC PB PC   PAD 30BPA   2 3PA  2, 4DA PD  3, 5CD BD  AO E AD DE CD DB    2AD R AD CD DB    7R  7R  P O BC PT T TH BC H 1, 2PT PB PC a   PH  2 a 1 a 2 a 3 a PT T OT PT Rt PTO PH 2PT PC PB  2 2 2 1 1 1 PB PC a PC a a PB PC PB a a            22 1BC PC PB a    2 1r a  2 1,OT r a PO PC r a      2 2 1PTPT PH PO PH PO a     PB ABC O BD PBC O D , ,C D P , , 1AB BD PC PB PD   O AB BD AD O BAD DBP   BAD BCD   BD BD PBC C O AP B DC O AP B E - 5 - ， 进 而 ， 在 中 ， 可 知 ： ，所以由 可得： ，在 中， ， 可得 ，从而 答案： 例 6：如图， 内接于⊙ ，过 中点 作平行于 的直线 ， 交 于点 ，交⊙ 于 、 ，交⊙ 在点 切线于点 ，若 ， 则 的长为 ． 思 路 ： 由 为 切 线 可 想 到 切 割 线 定 理 ， 所 以 ， ，只需求出 即可。因为 为切线，所以 弦切角 ，因为 ，所以 ，从而 ，进而可 证 ， 由 相 交 弦 定 理 可 知 ： ， 所 以 ， 所 以 ，代入 可得： 答案： 例 7：如图，已知 和 是圆的两条弦，过点 作圆的切 线与 的延长线相交于 ，过点 作 的平行线与圆交 于点 ,与 相交于点 , , , ,则线 段 的长为_________ 思路：由 是切线且 是割线可想到切割线定理，所以 ①，分别计算各 线段长度。由 , , 可使用相交弦定理得： ，再由 可得： ，所以 ，同时 ，代 入①可得： 答案： DBP DBC   BAD BCD DBC DBP       Rt BPD 30 90 BCD DBC DBP BCD DBC DBP BCD DBC DBP                    1PD  2 2BD PD  Rt ABD 30BAD   2 4AD BD  1 22r AD  2 ABC O BC D AC l l AB E O G F O A P 3,2,3  EFEDPE PA PA 2PA PG PF  8PF PE ED EF    PG PA PAE C   PF AC∥ BDE C   BDE PAE   PE AEPAE BDE AE BE PE DEBE DE       AE BE GE EF   2PE DEPE DE GE EF GE EF       1PG PE GE   2PA PG PF  6PA  6 AB AC B AC D C BD E AB F 6AF 2FB 3EF CD BD DCA 2CD AD BD  6AF 2FB 3EF 4AF FBCF EF   CF BD∥ 3 4 CF AF BD BF  16 3BD  4 4AD AB AD CDCD FB    2 2 1 84 2 3CD BD CD BD    8 3 - 6 - 例 8：如图，已知 与 相切， 为切点，过点 的割线交 于 两点，弦 ， 相交于点 ，点 为 上一点，且 ，若 ， ， ，则 . 思 路 ： 由 与 相 切 可 想 到 切 割 线 定 理 ， 即 ，只需求出 即可。从题目条件中很 难直接求出这两个量，考虑寻找题目中的相似三角形。由 可 得 ： ， 所 以 ① 。 由 切 割 线 定 理 可 知 ② 。 因 为 ， 所 以 ， 进 而 ， 所 以 ，则 ，代入 ， 可 得 ， 所 以 ， 由 ① 可 算 得 ， 所 以 ， 。则 答案： 例 9：如图， 切圆 于点 ，割线 经过圆心 ，若 ， 平分 交圆 于点 ，连结 交圆 于点 ，则 的长等于__________ 思路：由图可知若要求得 ，可想到切割线定理模 型 ，只需求得 即可。由割线 与切线 可想到切割线定理，从而可计算 出 ，考虑计算 ，可将其放入 中计算，已知的边有 ，需要求解 ，在 中，通过边的关系可判定 ，进而 ，由角平分 线可知 ，所以 。从而可用余弦定理计算出 ，即可算出 解： 切圆 于点 PA O A P O ,B C / /CD AP ,AD BC E F CE P EDF   : 3: 2CE BE  3DE  2EF  PA  PA O 2PA PB PC  ,PB PC P EDF AEP FED       AEP FED  AE EP AE ED EP EFFE ED     AE ED BE EC   / /CD AP C P   C EDF   C EDF CED DEFCED CED         2CE DE DE CE EFED EF    3DE  2EF  9 2CE  2 33BE CE   27 4EP  15 4BP EP BE   45 4PC PE CE   15 3 4PA PB PC   15 3 4 PA O A PBC O 1PB OB  OD AOC O D PD O E PE PE 2PE PD PA  ,PA PD PBC PA 3PA  PD DOP 1, 2OD OP  DOP Rt AOP 3AOP   2 3AOC   3AOD   2 3DOP   PD PE PA O A E O B PC AD - 7 - 由 可得： 在 中， 平分 在 中，由余弦定理可得： 由切割线定理可得： 　　　 答案： 例 10：如图， 是圆 的两条平行弦， ∥ 交 于点 ，交圆 于点 ，过 点的切线交 延长线 于 点 ， 若 ， 则 的 长 为 __________ 思 路 ： 由 切 割 线 定 理 可 得 从而 ，由两组平行关系可得四边形 为平行四边形，从而 ，由 可得： ，若设 为 ，则 ， 可想到相交弦定理， ①，所以只需用 表示出 即可得到关于 的方程。因为 与圆相切，所以 ，结合 可得： ，所以 有 ， 即 ， 结 合 比 例 可 知 ： 2PA PB PC   1PB OB  1r  1 2 3PC PB BC      3PA PB PC    AOP , 1. 2, 3OA AP OA OP AP    3AOP   2 3AOC   OD AOC 1 2 3AOD AOC     2 3POD AOD AOP        POD 2 2 2 2 cos 7DP OP OD OP OD POD     7DP  2PE PD PA  2 3 3 7 77 PAPE PD    3 7 7 ,AB CD O AF BD CD E O F B CD P 1, 5PD CE PB   BC 2 2 5PBPB PD PC PC PD     3DE PC PD CE    ABDE AE BD AF BD∥ 1 4 CM CE CB CD  BC x 1 3,4 4CM x BM x  AM FM CM BM   x ,AM FM x BP C DBP   P BCP DBP  15 5 BC CP BD xDB BP    1 5 AE x E D O A PC B F - 8 - ， 由 相 交 弦 定 理 可 得 ： ， 代 入 ① 可 得 ： ，解得： 答案： 三、历年好题精选 1、（2015，天津）如图，在圆 中， 是弦 的三等分点，弦 分别经过点 ，若 ，则线段 的长为（ ） A. B. C. D. 2、（2015，广东）如图，已知 是圆 的直径， ， 是圆 的切线，切点为 ，过圆心 作 的平行线，分别交 于 点 和点 ，则 ______ 3、（2014，重庆）过圆外一点 作圆的切线 （ 为切点）， 再作割线 依次交圆于 ，若 ，则 ________ 4、（2015，新课标 II）如图， 为等腰三角形 内一点， 与 的底边 交于 两点，与底边上的高 3 3 1,4 4 5 4 5 AM AE x EM x   3 5CE EDAE EF CE ED EF AE x       3 1 3 5 1 3 4 44 5 4 5 x x x xx        x  15 15BC  O ,M N AB ,CD CE ,M N 2, 4, 3CM MD CN   NE 8 3 3 10 3 5 2 AB O 4AB  EC O , 1C BC  O BC ,EC AC D P OD  P PA A PBC ,B C 6, 8, 9PA AC BC   AB  O ABC O ABC BC ,M N E D O A BM N C 图1 P O E C D A B G NM F B C A E D - 9 - 交于点 ，且与 分别相切于 两点 （1）证明： （2）若 等于 的半径，且 ，求四边形 的面积 5、（2014，湖北）如图， 为 外一点，过 点作 的两 条切线，切点分别为 ，过 的中点 作割线交 于 两点，若 ，则 _______ 6、（2014，新课标全国卷 I）如图，四边形 是 的内接四边形， 的延长线与 的延长线交于点 ，且 （1）证明： （ 2 ） 设 不 是 的 直 径 ， 的 中 点 为 ， 且 ， 7、（2014，新课标 II）如图， 是 外一点， 是切线， 为切点， 割线 与 相交于点 ， 是 的中点， 的延长线交 于点 ，证明： （1） （2） AD G ,AB AC ,E F EF BC∥ AG O 2 3AE MN  EBCF P O P O ,A B PA Q O ,C D 1, 3QC CD  PB  ABCD O AB DC E CB CE D E   AD O AD M MB MC P O PA A PBC O , , 2B C PC PA D PC AD O E BE EC 22AD DE PB  - 10 - 8、（2014，天津）如图所示： 是圆的内接三角形， 的平分线交圆于点 ，交 于点 ，过点 的圆的切线与 的延长线交于点 ，在上述条件下，给出以下四个结论： ① 平分 ；② ；③ ； ④ ，则所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ①②④ 9、如图，在 中， ，点 是 的中 点， 于 ， 的延长线交 的外接圆于点 ， 则 的长为__________ 10、如图， 是圆 的直径，点 在圆 上，延长 到 使 ，过 作圆 的 切线交 于 .若 ， ，则 . ABC BAC D BC E B AD F BD CBF 2FB FD FA  AE CE BE DE   AF BD AB BF   ABC 3, 4, 5AB BC CA   D BC BE AC E BE DEC F EF AB O C O BC D CDBC  C O AD E 8AB 4DC DE  D C B A E F O C D B A E - 11 - 习题答案： 1、答案：A 解析：由 三等分 ，不妨设 ，则由 切 割 线 定 理 可 得 ： ，解 得 ， 再 由 切 割 线 定 理 可 得： ， 所 以 2、答案：8 解析：连结 ，由 可得 ，因为 且圆 于 ，所以 ；另一方面，由 是直径可得 ，所以 的平行线 ，且由 是 中 点可得 为 的一条中位线，所以 ， 则在 中，由双垂直（ ）可用射影定理 ，从而 3、答案：4 解析：设 ，则由切割线定理 可得： ，解得： ， ，因为 是切线，所以 ，再利 用公共角 可得： ，所以 ，即 4、解析：（1）证明： 是等腰三角形，且 是 的平分线 为 的切线 ， （2）由（1）可知 是 的垂直平分线，又因为 是 的弦 在 上 连结 ，则由 是切线可得 ,M N AB AM MN NB x   22 2 4AM MB CM DM x      2x  AN NB CN NE   4 2 8 3 3 AN NBNE CN     OC 2 4AB r  2OC r  EC O C OC EC AB BC AC CB OP AC O AB OP ABC 1 1 2 2OP BC  OCD ,OP AC OC CD  2OC OP OD  2 8OCOD OP  PB x  2PA PB PC PB PB BC      26 9x x  3x  12PC  PA C PAB   P PAB PCA  PA PC AB AC 6 8 412 PA ACAB PC     ABC AD BC AD CAB ,AE AF O AE AF  AD EF EF BC ∥ AD EF EF O O AD ,OE OM AE OE AE E D O A BM N C 图1 P O E C D A B G NM F B C A E D - 12 - 设 的半径为 ，则 可得： 均为等边三角形 ，从而 5、答案：4 解析：由切割线定理可知： ，从而 ，由 是 中点可得 ，再由切线长相等可得 6、解析：（1）证明： 四点共圆 （2）证明：设 中点为 ，连结 在直线 上 为 中点，且 不是 的直径 即 ，由（1）得 O r AG r 2 2AO r OE    30 60EAO EAF      AE AF ,ABC AEF  2 3AE  4, 2AO OE r    12, 32OM r DM MN     1OD  5AD AO OD   10 3 3AB    2 21 10 3 3 1 3 16 32 32 3 2 2 2 3ABC AEFEBCFS S S               四边形  2 4QA QC QD QC QC CD      4QA  Q PA 2 4PA QA  4PB PA  , , ,A B C D D CBE   CB CE CBE E   D E   BC N MN MB MC MN BC  O MN M AD AD O OM AD  MN AD AD BC ∥ A CBE   A E   D E   - 13 - 为等边三角形 7、证明：（1）连结 是 中点，且 ，且 （2）由切割线定理可得： 由相交弦定理可得： 8、答案：D 解析：①因为 为切线，所以 ，由 平分 可得 ，又因为 ，所以 ， 即 平分 ，①正确 ② 由切割线定理即可得到 ，②正确 ③ 涉及的相似三角形为： ，则有 ，则有 ，结论③与之不符，③错误 ④ 涉及的相似三角形为： ，由 即可判定 ，所以 ，即 ，④正确 综上所述，正确的为①②④ 9、答案： 解析：连结 ，可得： ，由 可知 ADE ,AB AC D PC 2PC PA PA AD  PAD PDA   ,PDA DAC DCA PAD BAD PAB          DCA PAB   DAC BAD    BE EC  BE EC  2PA PB PC  1 2PA PD DC PC   2 ,PD DC PB BD PB    22 2AD DE BD DC PB PB PB      BF DBF BAE   AD BAC BAE CAE   CAE DBC   DBF BAE   CAE DBC    BD CBF 2FB FD FA  AEB CED  AE CE BE ED AE DE BE CE   ,ABF BDF  FBD BAF F F       ABF BDF  AB BD AF BF AF BD AB BF   14 15 ,DE FC BDE BFC  BD BE BF BC  3, 4, 5AB BC CA   AB BC BE AC - 14 - 所以由射影定理可知： 10、答案： 解：连结 为圆的切线 为 的中位线 是直径 在 中，根据射影定理可得： 因为 为等腰三角形 2 29 16,5 5 AB BCAE CEAC AC    12 5BE AE CE    2BD  10 3 BD BCBF BE    14 15EF BF BE    2 OC CE OC CE  ,BC CD BO OA  OC ADB OC AD ∥ CE AD  AB AC BD   Rt ACD 2 2 CDCD DE DA DE AD    ,AC BD BC CD  ABD 8AD AB   2 24 28 CDDE AD    O C D B A E