高中数学第7章(第18课时)圆的方程1

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高中数学第7章(第18课时)圆的方程1

课 题:7.6圆的方程(一)‎ 教学目的:‎ 使学生掌握圆的标准方程的特点,能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程,能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径,解决一些简单的实际问题,并会推导圆的标准方程. ‎ 教学重点:圆的标准方程的推导步骤;根据具体条件正确写出圆的标准方程 ‎ 教学难点:运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题 ‎ 授课类型:新授课 课时安排:1课时 教 具:多媒体、实物投影仪 内容分析:‎ ‎ 学习了“曲线与方程“之后,作为一般曲线典体例子,安排了本节的“圆的方程” 圆是学生比较熟悉的曲线,在初中曾经学习过圆的有关知识,本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上,进一步运用解析法研究它的方程,它与其他图形的位置关系及其应用 同时,由于圆也是特殊的圆锥曲线,因此,学习了圆的方程,就为后面学习其它圆锥曲线的方程奠定了基础 也就是说,本节内容在教材体系中起到承上启下的作用,具有重要的地位,在许多实际问题中也有着广泛的应用 由于“圆的方程”一节内容的基础性和应用的广泛性,对圆的标准方程、一般方程的要求层次是“掌握”;因为是第一次系统地介绍参数方程,对参数方程的学习有一个循序渐进的过程,因而对圆的参数方程只要求“理解”,今后讲圆锥曲线时还有所涉及 结合本节的内容的特点,可以向学生渗透多种数学思想方法,同时对学生的观察类比、创新等多种能力的培养也十分有利 在运用多种方法求圆的方程中,可培养学生大胆探索创新的精神;通过知识的实际运用和采用多媒体手段,培养学生学习数学的兴趣;而一些曲线上动点的变化,和方程形式,解法的多样,也有助于学生树立辩证唯物主义的运动观和普遍联系的观点 ‎ 遵循从特殊到一般的原则,只有把圆的标准方程学透了,再过渡到学圆的一般也就不难,它们可以通过形式上的互相转化而解决 因而本节的重点是圆的标准方程及直线与圆的位置关系(尤其是圆的切线) 又由于圆的一般方程中含有三个参变数D、E、F,对它的理解带来一定的困难,因而本节的难点是对圆的一般方程的认识、掌握和运用 突破难点的关键是抓住一般方程的特点,把握住求圆的方程的两个基本要素:圆心坐标和半径 依照大纲,本节分为三个课时进行教学 第一课时讲解圆的标准方程 ‎ 为了激发学生的主体意识,教学生学会学习和学会创造,同时培养学生的应用意识,本节内容可采用“引导探究”型教学模式进行教学设计 所谓“引导探究”‎ 是教师把教学内容设计为若干问题,从而引导学生进行探究的课堂教学模式,教师在教学过程中,主要着眼于“引”,启发学生“探”,把“引”和“探”有机的结合起来。教师的每项教学措施,都是给学生创造一种思维情景,一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会,激发学生的求知欲,促使学生解决问题 其基本教学模式是:‎ 复习 旧知 以旧 悟新 提出 问题 尝试 探究 例题 示范 探求 方法 反馈 练习 学会 应用 点评 矫正 总结 交流 ‎ ‎ 教学过程:‎ 一、复习引入: ‎ ‎1.圆的定义:平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆 ‎2.求曲线方程的一般步骤为:‎ ‎(1)建立适当的坐标系,用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标;‎ ‎(2)写出适合条件P的点M的集合;(可以省略,直接列出曲线方程)‎ ‎(3)用坐标表示条件P(M),列出方程;‎ ‎(4)化方程为最简形式;‎ ‎(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点(可以省略不写,如有特殊情况,可以适当予以说明)‎ 二、讲解新课:‎ ‎1.建立圆的标准方程的步骤:建系设点;写点集;列方程;化简方程 ‎ ‎2. 圆的标准方程 :‎ 已知圆心为,半径为, 如何求的圆的方程? ‎ 运用上节课求曲线方程的方法,从圆的定义出发,正确地推导出:‎ 这个方程叫做圆的标准方程 若圆心在坐标原点上,这时,则圆的方程就是 ‎3.圆的标准方程的两个基本要素:圆心坐标和半径 圆心和半径分别确定了圆的位置和大小,从而确定了圆,所以,只要 三个量确定了且>0,圆的方程就给定了 这就是说要确定圆的方程,必须具备三个独立的条件 确定,可以根据条件,利用待定系数法来解决 三、讲解范例:‎ 例1 求以C(1,3)为圆心,并且和直线相切的圆的方程 解:已知圆心坐标C(1,3),故只要求出圆的半径,就能写出圆的标准方程 因为圆C和直线相切,所以半径就等于圆心C到这条直线的距离 根据点到直线的距离公式,得 因此,所求的圆的方程是 ‎ ‎ 点评: 由本题可知,圆的标准方程是由圆心坐标和半径两因素决定的 而且圆的半径与圆的切线有着非常密切的联系,解题要注意运用圆的切线的性质 解题时画出草图可帮助思考 例2 已知圆的方程,求经过圆上一点的切线方程 ‎ 解:如图,设切线的斜率为,半径OM的斜率为 因为圆的切线垂直于过切点的半径,于是 ‎∵ ∴‎ 经过点M的切线方程是 ,‎ 整理得 ‎ 因为点在圆上,所以,所求切线方程是 点评: 用斜率的知识来求切线方程,这就是“代数方程”:即设出圆的切线方程,将其代入到圆的方程,得到一个关于或的一元二次方程,利用判别式进行求解,但此法不如用几何方法简练实用,几何方法就是利用圆心到直线的距离等于半径(本题利用了圆心到切点的距离为半径的知识),由此确定了斜率的,从而得到点斜式的切线方程,以上两种方法只能求出存在斜率的切线,若斜率不存在,则要结合图形配补 ‎ 四、课堂练习:‎ ‎1.求下列各圆的标准方程:‎ ‎(1)圆心在上且过两点(2,0),(0,-4);‎ ‎(2)圆心在直线上,且与直线切于点(2,-1).‎ ‎(3)圆心在直线上,且与坐标轴相切 分析:从圆的标准方程可知,要确定圆的标准方程,可用待定系数法确定三个参数 解:(1)设圆心坐标为(),则所求圆的方程为,‎ ‎∵圆心在上,∴ ①‎ 又∵圆过(2,0),(0,-4)∴ ②‎ ‎ ③‎ 由①②③联立方程组,可得 ‎∴所求圆的方程为 ‎(2)∵圆与直线相切,并切于点M(2,-1),则圆心必在过点M(2,-1)且垂直于的直线:上, ‎ ‎,即圆心为C(1,-2),=,‎ ‎∴所求圆的方程为:‎ ‎(3)设所求圆的方程为,‎ ‎∵圆与坐标轴相切, ∴‎ 又∵圆心()在直线上,∴‎ 由,得 ‎∴所求圆的方程为:或 ‎2.已知圆求:‎ ‎(1)过点A(4,-3)的切线方程.(2)过点B(-5,2)的切线方程 分析:求过一点的切线方程,当斜率存在时可设为点斜式,利用圆心到切线的距离等于圆的半径列出方程,求出斜率k的值,斜率不存在时,结合图形验证;当然若过圆上一点的切线方程,可利用公式求得 解:(1)∵点A(4,-3)在圆上 ‎∴过点A的切线方程为:‎ ‎(2)∵点点B(-5,2)不在圆上,当过点B(-5,2)的切线的斜率存在时,设所求切线方程为,即 由,得∴此时切线方程为:‎ 当过点B(-5,2)的切线斜率不存在时,结合图形可知=-5,也是切线方程 综上所述,所求切线方程为:或=-5‎ 五、小结 :圆的标准方程的概念及推导;如何求圆的标准方程;待定系数法 ‎ 六、课后作业:‎ 七、板书设计(略)‎ 八、课后记:‎
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