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文档介绍
高考数学专题复习练习:考点规范练22
考点规范练22 三角恒等变换 考点规范练B册第14页 基础巩固 1.函数f(x)=(3sin x+cos x)(3cos x-sin x)的最小正周期是( ) A.π2 B.π C.3π2 D.2π 答案B 解析f(x)=2sinx+π6×2cosx+π6=2sin2x+π3,故最小正周期T=2π2=π,故选B. 2.已知2sin 2α=1+cos 2α,则tan 2α=( ) A.43 B.-43 C.43或0 D.-43或0 答案C 解析因为2sin 2α=1+cos 2α,所以2sin 2α=2cos2α. 所以2cos α(2sin α-cos α)=0, 解得cos α=0或tan α=12. 若cos α=0,则α=kπ+π2,k∈Z,2α=2kπ+π,k∈Z, 所以tan 2α=0. 若tan α=12,则tan 2α=2tanα1-tan2α=43. 综上所述,故选C. 3.(2016江西南昌三中模拟)已知函数f(x)=3sin ωxcos ωx+3cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π2,将函数f(x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位后,得到的函数图象的一条对称轴为x=π8,则φ的值不可能为( ) A.5π24 B.13π24 C.17π24 D.23π24 答案B 解析∵f(x)=3sin ωxcos ωx+3cos2ωx =32sin 2ωx+3·1+cos2ωx2 =3sin2ωx+π6+32, ∴2π2ω=π2,即ω=2,∴f(x)=3sin4x+π6+32. 平移后的函数为g(x)=3sin4(x+φ)+π6+32 =3sin4x+4φ+π6+32. 由题意,得4·π8+4φ+π6=kπ+π2,k∈Z, 解得φ=kπ4-π24,k∈Z,故选B. 4.已知f(x)=sin2x+sin xcos x,则f(x)的最小正周期和一个单调递增区间分别为( ) A.π,[0,π] B.2π,-π4,3π4 C.π,-π8,3π8 D.2π,-π4,π4 答案C 解析由f(x)=sin2x+sin xcos x=1-cos2x2+12sin 2x =12+2222sin2x-22cos2x=12+22sin2x-π4, 则T=2π2=π. 又2kπ-π2≤2x-π4≤2kπ+π2(k∈Z), ∴kπ-π8≤x≤kπ+3π8(k∈Z)为函数的单调递增区间.故选C. 5.(2016河南开封四模)已知12sin α-5cos α=13,则tan α=( ) A.-512 B.-125 C.±125 D.±712 答案B 解析由12sin α-5cos α=13,得1213sin α-513cos α=1. 设cos θ=1213,则sin θ=513,则tan θ=sinθcosθ=512, 则1213sin α-513cos α=sin(α-θ)=1, 则α-θ=π2+2kπ,k∈Z,即α=θ+π2+2kπ,k∈Z. 则tan α=tanθ+π2+2kπ =tanθ+π2=-1tanθ=-125,k∈Z, 故选B. 6.已知tanα+π4=-12,且π2<α<π,则sin2α-2cos2αsinα-π4等于( ) A.255 B.-3510 C.-255 D.-31010 答案C 解析sin2α-2cos2αsinα-π4=2sinαcosα-2cos2α22(sinα-cosα)=22cos α, 由tanα+π4=-12,得tanα+11-tanα=-12,解得tan α=-3. 因为π2<α<π,所以cos α=-1010. 所以原式=22cos α=22×-1010=-255. 7.(2016河南八市重点高中4月质检)已知函数f(x)=cos4x-π3+2cos22x,将函数y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,再将所得函数图象向右平移π6个单位,得到函数y=g(x)的图象,则函数y=g(x)的一个单调递增区间为( ) A.-π3,π6 B.-π4,π4 C.π6,2π3 D.π4,3π4 答案B 解析∵函数f(x)=cos4x-π3+2cos22x=cos4x-π3+1+cos 4x=12cos 4x+32sin 4x+1+cos 4x=32cos 4x+32sin 4x+1=3sin4x+π3+1,∴函数y=f(x)的图象伸缩后的图象对应的解析式为y=3sin2x+π3+1,再平移后得y=g(x)=3sin 2x+1. 由2kπ-π2≤2x≤2kπ+π2,k∈Z, 得kπ-π4≤x≤kπ+π4,k∈Z, 当k=0时,得-π4≤x≤π4,故选B. 8.(2016浙江,文11)已知2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A= ,b= . 答案2 1 解析因为2cos2x+sin 2x=1+cos 2x+sin 2x=2sin2x+π4+1,所以A=2,b=1. 9.设f(x)=1+cos2x2sinπ2-x+sin x+a2sinx+π4的最大值为2+3,则实数a= . 答案±3 解析f(x)=1+2cos2x-12cosx+sin x+a2sinx+π4 =cos x+sin x+a2sinx+π4 =2sinx+π4+a2sinx+π4=(2+a2)sinx+π4. 依题意有2+a2=2+3,则a=±3. 10.(2016山东临沂一模)已知函数f(x)=sinωx-π6+cosωx-π3-2sin2ωx2(ω>0)的周期为π. (1)求ω的值; (2)若x∈0,π2,求f(x)的最大值与最小值. 解(1)∵函数f(x)=sinωx-π6+cosωx-π3-2sin2ωx2=sin ωxcosπ6-cos ωxsinπ6+cos ωxcosπ3+sin ωxsinπ3-2·1-cosωx2=3sin ωx+cos ωx-1=2sinωx+π6-1(ω>0), ∴f(x)的周期为2πω=π,∴ω=2. (2)∵x∈0,π2,∴2x+π6∈π6,7π6. ∴sin2x+π6∈-12,1. ∴f(x)的最大值为1,最小值为-2 11.已知函数f(x)=cos x(sin x+cos x)-12. (1)若0<α<π2,且sin α=22,求f(α)的值; (2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间. 解(方法一)(1)因为0<α<π2,sin α=22,所以cos α=22. 所以f(α)=2222+22-12=12. (2)因为f(x)=sin xcos x+cos2x-12 =12sin 2x+1+cos2x2-12 =12sin 2x+12cos 2x=22sin2x+π4, 所以T=2π2=π. 由2kπ-π2≤2x+π4≤2kπ+π2,k∈Z, 得kπ-3π8≤x≤kπ+π8,k∈Z. 所以f(x)的单调递增区间为kπ-3π8,kπ+π8,k∈Z. (方法二)f(x)=sin xcos x+cos2x-12 =12sin 2x+1+cos2x2-12 =12sin 2x+12cos 2x=22sin2x+π4. (1)因为0<α<π2,sin α=22,所以α=π4, 从而f(α)=22sin2α+π4=22sin3π4=12. (2)T=2π2=π. 由2kπ-π2≤2x+π4≤2kπ+π2,k∈Z, 得kπ-3π8≤x≤kπ+π8,k∈Z. 所以f(x)的单调递增区间为kπ-3π8,kπ+π8,k∈Z. 能力提升 12.(2016河南洛阳月考)已知函数f(x)=cos ωx(sin ωx+3cos ωx)(ω>0),若存在实数x0,使得对任意的实数x,都有f(x0)≤f(x)≤f(x0+2 016π)成立,则ω的最小值为( ) A.12 016π B.14 032π C.12 016 D.14 032〚导学号74920468〛 答案C 解析由题意可得,f(x0)是函数f(x)的最小值,f(x0+2 016π)是函数f(x)的最大值. 又f(x)=cos ωx(sin ωx+3cos ωx) =12sin 2ωx+3·1+cos2ωx2=sin2ωx+π3+32, 所以要使ω取最小值,只需保证区间[x0,x0+2 016π]为一个完整的单调递增区间即可. 故2 016π=12·2πωmin,求得ωmin=12 016, 故ω的最小值为12 016,故选C. 13.已知cos α=13,cos(α+β)=-13,且α,β∈0,π2,则cos(α-β)的值等于( ) A.-12 B.12 C.-13 D.2327 答案D 解析∵α∈0,π2,∴2α∈(0,π). ∵cos α=13,∴cos 2α=2cos2α-1=-79, ∴sin 2α=1-cos22α=429, 又α,β∈0,π2,∴α+β∈(0,π), ∴sin(α+β)=1-cos2(α+β)=223, ∴cos(α-β)=cos [2α-(α+β)] =cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β) =-79×-13+429×223=2327. 14.已知函数f(x)=2sinx+5π24cosx+5π24-2cos2x+5π24+1,则f(x)的最小正周期为 ;函数f(x)的单调递增区间为 . 答案π kπ-π3,kπ+π6(k∈Z) 解析f(x)=2sinx+5π24·cosx+5π24-2cos2x+5π24+1=sin2x+5π12-cos2x+5π12 =2sin2x+5π12cosπ4-cos2x+5π12sinπ4 =2sin2x+5π12-π4=2sin2x+π6. ∴f(x)的最小正周期T=2π2=π. 因此f(x)=2sin2x+π6. 当2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z), 即kπ-π3≤x≤kπ+π6(k∈Z)时, ∴函数f(x)的单调递增区间是kπ-π3,kπ+π6(k∈Z). 15.(2016山东德州一中4月质检)已知函数f(x)=3sin ωx·cos ωx+cos2ωx-12(ω>0)的两条相邻对称轴之间的距离为π2. (1)求ω的值; (2)将函数f(x)的图象向左平移π6个单位,再将所得函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,若函数y=g(x)-k在区间-π6,2π3上存在零点,求实数k的取值范围. 解(1)原函数可化为f(x)=32sin 2ωx+1+cos2ωx2-12=32sin 2ωx+12cos 2ωx=sin2ωx+π6. ∵函数f(x)的相邻两条对称轴之间的距离为π2, ∴f(x)的最小正周期为2×π2=π. ∴2π2ω=π,∴ω=1. (2)由(1)知,ω=1,f(x)=sin2x+π6,将函数f(x)的图象向左平移π6个单位,得到函数y=sin2x+π6+π6=sin2x+π2=cos 2x的图象,再将函数y=cos 2x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=cos x的图象,故g(x)=cos x. ∵x∈-π6,2π3,∴g(x)=cos x∈-12,1. ∵函数y=g(x)-k在区间-π6,2π3上存在零点, ∴k∈-12,1. ∴实数k的取值范围为-12,1.〚导学号74920469〛 高考预测 16.已知f(x)=1+1tanxsin2x-2sinx+π4·sinx-π4. (1)若tan α=2,求f(α)的值; (2)若x∈π12,π2,求f(x)的取值范围. 解(1)f(x)=(sin2x+sin xcos x)+2sinx+π4·cosx+π4 =1-cos2x2+12sin 2x+sin2x+π2 =12+12(sin 2x-cos 2x)+cos 2x =12(sin 2x+cos 2x)+12. 由tan α=2,得sin 2α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanαtan2α+1=45. cos 2α=cos2α-sin2αsin2α+cos2α=1-tan2α1+tan2α=-35. 所以f(α)=12(sin 2α+cos 2α)+12=35. (2)由(1)得f(x)=12(sin 2x+cos 2x)+12 =22sin2x+π4+12. 由x∈π12,π2,得2x+π4∈5π12,5π4. 所以-22≤sin2x+π4≤1,所以0≤f(x)≤2+12, 所以f(x)的取值范围是0,2+12.查看更多