高考数学专题复习练习第八章 第九节 曲线与方程[理]

高考数学专题复习练习第八章 第九节 曲线与方程[理]

第八章 第九节 曲线与方程[理]‎ 课下练兵场 命 题 报 告 ‎　　　　难度及题号 知识点　‎ 容易题 ‎(题号)‎ 中等题(题号)‎ 稍难题 ‎(题号)‎ 直接法求轨迹方程 ‎2‎ ‎8、11‎ ‎10‎ 定义法求轨迹方程 ‎4‎ ‎5、6‎ ‎12‎ 代入法求轨迹方程 ‎1、3‎ ‎7、9‎ 一、选择题 ‎1．已知动点P在曲线2x2－y＝0上移动，则点A(0，－1)与点P连线中点的轨迹方程是(　　)‎ A．y＝2x2　　　　　　　 　　B．y＝8x2‎ C．2y＝8x2－1 信息 D．2y＝8x2＋1‎ 解析：设AP中点为(x，y)，则P(2x,2y＋1)在2x2－y＝0上，即2(2x)2－(2y＋1)＝0，∴2y＝8x2－1.‎ 答案：C ‎2．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P满足·＝12，则点P的轨迹方程为(　　)‎ A.＋y2＝1 B．x2＋y2＝16‎ C．y2－x2＝8 D．x2＋y2＝8‎ 解析：设P(x，y)，由·＝12可得x2＋y2＝16.‎ 答案：B ‎3．动点A在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是(　　)‎ A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1‎ C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(x＋)2＋y2＝ 解析：设中点M(x，y)，则动点A(2x－3,2y)，∵A在圆x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋(2y)2＝1，即(2x－3)2＋4y2＝1.‎ 答案：C ‎4．(2009·西城模拟)已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是 (　　)‎ A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 解析：∵|PA|＝|PN|，∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|MA|＝6＞|MN|.故动点P 的轨迹是椭圆．‎ 答案：B ‎5．动点A、B在直线x＝－1上移动，设P(－4,0)，∠APB＝60°，则△APB外心的轨迹是(　　)‎ A．圆 B．椭圆 C．抛物线位于y轴的左侧部分 D．双曲线的左支 解析：设外心为C，C到直线：x＝－1的距离为d，则＝＞1.‎ 答案：D ‎6．到点F(0,4)的距离比它到直线y＝－5的距离小于1的动点M的轨迹方程为 (　　)‎ A．y＝16x2 B．y＝－16x2‎ C．x2＝16y D．x2＝－16y 解析：∵动点M到点F(0,4)的距离比它到直线y＝－5的距离小于1，∴动点M到点F(0,4)的距离与它到直线y＝－4的距离相等，根据抛物线的定义可得点M的轨迹为以F(0,4)为焦点，以直线y＝－4为准线的抛物线，其标准方程为x2＝16y.‎ 答案：C 二、填空题 ‎7．设P为双曲线－y2＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是________________．‎ 解析：设M(x，y)，则P(2x,2y)，代入双曲线方程得x2－4y2＝1，即为所求．‎ 答案：x2－4y2＝1‎ ‎8．直线＋＝1与x，y轴交点的中点的轨迹方程是____________________．‎ 解析：(参数法)设直线＋＝1与x、y轴交点为A(a,0)，B(0,2－a)，A、B中点为M(x，y)，则x＝，y＝1－，消去a，得x＋y＝1，∵a≠0，a≠2，∴x≠0，x≠1.‎ 答案：x＋y＝1(x≠0，x≠1)‎ ‎9．长为3的线段AB的端点A，B分别在x，y轴上移动，动点C(x，y)满足＝2 ，‎ 则动点C的轨迹方程是________．‎ 解析：动点C(x，y)满足＝2，则B(0，y)，A(3x,0)，根据题意得9x2＋y2＝9，即x2＋y2＝1.‎ 答案：x2＋＝1‎ 三、解答题 ‎10．(2009·绵阳模拟)已知动点P(x，y)到原点的距离的平方与它到直线l：x＝m(m是常数)的距离相等．‎ ‎(1)求动点P的轨迹方程C；‎ ‎(2)就m的不同取值讨论方程C的图形．‎ 解：(1)因为原点为O(0,0)，所以动点P(x，y)到原点的距离为|PO|＝，于是动点P的坐标满足()2＝|m－x|，‎ ‎∴x2＋y2＝|m－x|，此即为动点P的轨迹方程．‎ ‎(2)由x2＋y2＝|m－x|，两边平方，移项因式分解，‎ 得(x2＋y2－m＋x)(x2＋y2＋m－x)＝0，‎ ‎∴(x＋)2＋y2＝＋m或(x－)2＋y2＝－m.‎ ‎①当+m＞0且—m＞0，即＜m＜时，点P的轨迹是两个圆．一个圆的圆心是(,0)，半径为；一个圆的圆心是(,0)，半径为.‎ ‎②当m＝或m＝时，点P的轨迹是一个圆和一个点．‎ ‎③当m＜或m＞时，点P的轨迹是一个圆．‎ ‎11．已知椭圆C：＋＝1和点P(1,2)，直线l经过点P并与椭圆C交于A、B两点，求当l的倾斜角变化时，弦中点的轨迹方程．‎ 解：设弦中点为M(x，y)，交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．当M与P不重合时，A、B、M、P四点共线．‎ ‎∴(y2－y1)(x－1)＝(x2－x1)(y－2)， ①‎ 由＋＝1，＋＝1两式相减得 ＋＝0.‎ 又x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y，‎ ‎∴＝－， ②‎ 由①②可得：9x2＋16y2－9x－32y＝0， ③‎ 当点M与点P重合时，点M坐标为(1,2)适合方程③，‎ ‎∴弦中点的轨迹方程为：9x2＋16y2－9x－32y＝0.‎ ‎12．已知i，j是x，y轴正方向上的单位向量，设a＝(x－)i＋yj，b＝(x＋)i＋yj，，且满足|a|＋|b|＝4.‎ ‎(1)求点P(x，y)的轨迹C的方程；‎ ‎(2)如果过点Q(0，m)且方向向量为c＝(1,1)的直线l与点P的轨迹交于A，B两点，当△AOB的面积取到最大值时，求m的值．‎ 解：(1)∵a＝(x－)i＋yj，‎ b＝(x＋)i＋yj且|a|＋|b|＝4，‎ ‎∴点P(x，y)到点(，0)，(－，0)的距离之和为4，‎ 故点P的轨迹方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)依题意得，直线AB的方程y＝x＋m，代入椭圆方程，得5x2＋8mx＋‎4m2‎－4＝0，‎ 则x1＋x2＝－m，x1·x2＝(m2－1)，‎ 又O点到AB的距离d＝，‎ 因此，S△AOB＝|AB|·d ‎＝·· ‎＝，‎ ‎∴当5－m2＝m2时，即m＝±时，Smax＝1.‎