高考数学专题复习练习第4讲 椭 圆

高考数学专题复习练习第4讲 椭 圆

第4讲 椭 圆 一、选择题 ‎1．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是(　　)．‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ 解析　依题意知：‎2a＝18，∴a＝9,‎2c＝×‎2a，∴c＝3，‎ ‎∴b2＝a2－c2＝81－9＝72，∴椭圆方程为＋＝1.‎ 答案　A ‎2．椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F‎1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为 (　　)．‎ A. B. C. D.－2‎ 解析　因为A，B为左、右顶点，F1，F2为左、右焦点，所以|AF1|＝a－c，|F‎1F2|＝‎2c，|F1B|＝a＋c.‎ 又因为|AF1|，|F‎1F2|，|F1B|成等比数列，‎ 所以(a－c)(a＋c)＝‎4c2，即a2＝‎5c2.‎ 所以离心率e＝＝，故选B.‎ 答案　B ‎3．已知椭圆x2＋my2＝1的离心率e∈，则实数m的取值范围是 (　　)．‎ A. B. C.∪ D.∪ 解析　椭圆标准方程为x2＋＝1.当m>1时，e2＝1－∈，解得m>；当0b>0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为(　　)‎ A. B. C. D. 解析 根据已知a2＋b2＋a2＝(a＋c)2，即c2＋ac－a2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝，故所求的椭圆的离心率为.‎ 答案　B ‎6．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为 (　　)．‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ 解析　因为椭圆的离心率为，所以e＝＝，c2＝a2，c2＝a2＝a2－b2，所以b2＝a2，即a2＝4b2.双曲线的渐近线方程为y＝±x，代入椭圆方程得＋＝1，即＋＝＝1，所以x2＝b2，x＝±b，y2＝b2，y＝±b，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为，所以四边形的面积为4×b×b＝b2＝16，所以b2＝5，所以椭圆方程为＋＝1.‎ 答案　D 二、填空题 ‎7．设F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为________．‎ 解析 由题意知|OM|＝|PF2|＝3，∴|PF2|＝6.∴|PF1|＝2×5－6＝4.‎ 答案 4‎ ‎8．在等差数列{an}中，a2＋a3＝11，a2＋a3＋a4＝21，则椭圆C：＋＝1的离心率为________．‎ 解析　由题意，得a4＝10，设公差为d，则a3＋a2＝(10－d)＋(10－2d)＝20－3d＝11，∴d＝3，∴a5＝a4＋d＝13，a6＝a4＋2d＝16>a5，∴e＝＝.‎ 答案　 ‎9. 椭圆=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的_____倍．‎ 解析 不妨设F1（－3，0），F2（3，0）由条件得P（3，±），即|PF2|=，|PF1|=，因此|PF1|=7|PF2|.‎ 答案 7‎ ‎10.如图，∠OFB＝，△ABF的面积为2－，则以OA为长半轴，OB为短半轴，F为一个焦点的椭圆方程为________．‎ 解析　设标准方程为＋＝1(a>b>0)，‎ 由题可知，|OF|＝c，|OB|＝b，∴|BF|＝a，‎ ‎∵∠OFB＝，∴＝，a＝2b.‎ S△ABF＝·|AF|·|BO|＝(a－c)·b ‎＝(2b－b)b＝2－，‎ ‎∴b2＝2，∴b＝，∴a＝2，∴椭圆的方程为＋＝1.‎ 答案　＋＝1‎ 三、解答题 ‎11．如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|.‎ ‎(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；‎ ‎(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度．‎ 解　(1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，‎ 由已知得 ‎∵P在圆上，∴x2＋2＝25，‎ 即C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，‎ 设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得 ＋＝1，‎ 即x2－3x－8＝0.‎ ‎∴x1＝，x2＝.‎ ‎∴线段AB的长度为|AB|＝ ‎＝ ‎＝ ＝.‎ ‎12．设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为2.‎ ‎(1)求椭圆C的焦距；‎ ‎(2)如果＝2，求椭圆C的方程．‎ 解　(1)设椭圆C的焦距为‎2c，由已知可得F1到直线l的距离c＝2，故c＝2.‎ 所以椭圆C的焦距为4.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝2及l的倾斜角为60°，知y1<0，y2>0，‎ 直线l的方程为y＝(x－2)．‎ 由消去x，‎ 整理得(‎3a2＋b2)y2＋4b2y－3b4＝0.‎ 解得y1＝，y2＝.‎ 因为＝2，所以－y1＝2y2，‎ 即＝2·，解得a＝3.‎ 而a2－b2＝4，所以b2＝5.‎ 故椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎13． 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)已知点P(0,1)，Q(0,2)．设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T.求证：点T在椭圆C上．‎ ‎(1)解　由题意知，b＝＝.‎ 因为离心率e＝＝，所以＝ ＝.‎ 所以a＝2.‎ 所以椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)证明　由题意可设M，N的坐标分别为(x0，y0)，(－x0，y0)，‎ 则直线PM的方程为y＝x＋1， ①‎ 直线QN的方程为y＝x＋2. ②‎ 法一　联立①②解得x＝，y＝，‎ 即T.由＋＝1，可得x＝8－4y.‎ 因为2＋2＝ ‎＝＝＝＝1，‎ 所以点T的坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．‎ 法二　设T(x，y)，联立①②解得x0＝，y0＝.‎ 因为＋＝1，所以2＋2＝1.‎ 整理得＋＝(2y－3)2，‎ 所以＋－12y＋8＝4y2－12y＋9，即＋＝1.‎ 所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．‎ ‎14．如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．‎ ‎(1)求该椭圆的离心率和标准方程；‎ ‎(2)过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程．‎ 解　(1) 如图，设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，右焦点为F2(c,0)．‎ 因△AB1B2是直角三角形，‎ 又|AB1|＝|AB2|，‎ 故∠B1AB2为直角，‎ 因此|OA|＝|OB2|，得b＝.‎ 结合c2＝a2－b2得4b2＝a2－b2，‎ 故a2＝5b2，c2＝4b2，所以离心率e＝＝.‎ 在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，‎ 故S△AB1B2＝·|B1B2|·|OA|＝|OB2|·|OA|＝·b＝b2.由题设条件S△AB1B2＝4得b2＝4，从而a2＝5b2＝20.因此所求椭圆的标准方程为：＋＝1.‎ ‎(2)由(1)知B1(－2,0)，B2(2,0)．由题意知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为x＝my－2.代入椭圆方程得(m2＋5)y2－4my－16＝0.‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1，y2是上面方程的两根，‎ 因此y1＋y2＝，y1·y2＝－，‎ 又＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)，‎ 所以·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2‎ ‎＝(my1－4)(my2－4)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2－‎4m(y1＋y2)＋16‎ ‎＝－－＋16＝－，‎ 由PB2⊥QB2，得·＝0，‎ 即‎16m2‎－64＝0，解得m＝±2.‎ 所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x＋2y＋2＝0和x－2y＋2＝0.‎