高考数学专题复习练习第4讲 古典概型

高考数学专题复习练习第4讲 古典概型

第4讲 古典概型 一、选择题 ‎1．将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数1,2,3,4,5,6的正方体玩具)先后抛掷3次，至少出现一次5点向上的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 解析 抛掷3次，共有6×6×6＝216个事件．一次也不出现5，则每次抛掷都有5种可能，故一次也未出现5的事件总数为5×5×5＝125.于是没有出现一次5点向上的概率P＝，所求的概率为1－＝.‎ 答案 D ‎ ‎2．一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是 (　　)．‎ A. B. C. D. 解析　基本事件有C＝10个，其中为同色球的有C＋C＝4个，故所求概率为＝.‎ 答案　C ‎3．甲、乙两人各写一张贺年卡，随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是 (　　)．‎ A. B. C. D. 解析　(甲送给丙，乙送给丁)，(甲送给丁，乙送给丙)，(甲、乙都送给丙)，(甲、乙都送给丁)，共四种情况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种，所以P＝＝.‎ 答案　A ‎4．甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是(　　)‎ A.　　　　　　　　　 B. C. D. 解析 正方形四个顶点可以确定6条直线，甲乙各自任选一条共有36个等可能的基本事件．两条直线相互垂直的情况有5种(4组邻边和对角线)，包括10个基本事件，所以概率等于.‎ 答案 C ‎5．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1 000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个正方体其三面涂有油漆的概率是(　　)．‎ A. B. C. D. 解析　小正方体三面涂有油漆的有8种情况，故所求其概率为：＝.‎ 答案　D ‎6．将号码分别为1,2,3,4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a，放回后，乙从此口袋中再摸出一个小球，其号码为b，则使不等式a－2b＋4<0成立的事件发生的概率为 (　　)．‎ A. B. C. D. 解析　由题意知(a，b)的所有可能结果有4×4＝16个．其中满足a－2b＋4<0的有(1,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)，共4个，所以所求概率为.‎ 答案　C 二、填空题 ‎7．在集合A＝{2,3}中随机取一个元素m，在集合B＝{1,2,3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率为________．‎ 解析　由题意得到的P(m，n)有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共6个，在圆x2＋y2＝9的内部的点有(2,1)，(2,2)，所以概率为＝.‎ 答案　 ‎8. 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ．‎ 解析 组成满足条件的数列为：从中随机取出一个数共有取法种，其中小于的取法共有种，因此取出的这个数小于的概率为.‎ 答案 ‎ ‎9．甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中6个选择题，4 个判断题，甲、乙二人依次各抽一题，则甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是________．‎ 解析 方法1：设事件A：甲乙两人中至少有一人抽到选择题．将A分拆为B：“甲选乙判”，C：“甲选乙选”，D：“甲判乙选”三个互斥事件，‎ 则P(A)＝P(B)＋P(C)＋P(D)．‎ 而P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，‎ ‎∴P(A)＝＋＋＝＝.‎ 方法2：设事件A：甲乙两人中至少有一人抽到选择题，则其对立事件为：‎ 甲乙两人均抽判断题．∴P()＝＝，∴P(A)＝1－＝＝.‎ 故甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率为.‎ 答案 　‎ ‎10．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________(结果用最简分数表示)．‎ 解析　根据条件求出基本事件的个数，再利用古典概型的概率计算公式求解．因为每人都从三个项目中选择两个，有(C)3种选法，其中“‎ 有且仅有两人选择的项目完全相同”的基本事件有CCC个，故所求概率为＝.‎ 答案　 三、解答题 ‎11．某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．‎ ‎(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；‎ ‎(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，‎ ‎①列出所有可能的抽取结果；‎ ‎②求抽取的2所学校均为小学的概率．‎ 解　(1)由分层抽样的定义知，从小学中抽取的学校数目为6×＝3；从中学中抽取的学校数目为6×＝2；从大学中抽取的学校数目为6×＝1.故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.‎ ‎(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5,1所大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，共15种．‎ ‎②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3种．‎ 所以P(B)＝＝.‎ ‎12．从某小组的2名女生和3名男生中任选2人去参加一项公益活动．‎ ‎(1)求所选2人中恰有一名男生的概率；‎ ‎(2)求所选2人中至少有一名女生的概率．‎ 解析 设2名女生为a1，a2,3名男生为b1，b2，b3，从中选出2人的基本事件有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共10种． ‎ (1) ‎ 设“所选2人中恰有一名男生”的事件为A，则A包含的事件有：(a1，b1)，(a1，‎ b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，共6种，‎ ‎∴P(A)＝＝，‎ 故所选2人中恰有一名男生的概率为.‎ ‎(2)设“所选2人中至少有一名女生”的事件为B，则B包含的事件有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，共7种，‎ ‎∴P(B)＝，‎ 故所选2人中至少有一名女生的概率为.‎ ‎13．袋内装有6个球，这些球依次被编号为1,2,3，…，6，设编号为n的球重n2－6n＋12(单位：克)，这些球等可能地从袋里取出(不受重量、编号的影响)．‎ ‎(1)从袋中任意取出一个球，求其重量大于其编号的概率；‎ ‎(2)如果不放回的任意取出2个球，求它们重量相等的概率．‎ 解　(1)若编号为n的球的重量大于其编号．‎ 则n2－6n＋12>n，即n2－7n＋12>0.‎ 解得n<3或n>4.‎ ‎∴n＝1,2,5,6.∴从袋中任意取出一个球，其重量大于其编号的概率P＝＝.‎ ‎(2)不放回的任意取出2个球，这两个球编号的所有可能情形共有C＝15种．‎ 设编号分别为m与n(m，n∈{1,2,3,4,5,6}，且m≠n)球的重量相等，则有m2－‎6m＋12＝n2－6n＋12，即有(m－n)(m＋n－6)＝0.‎ ‎∴m＝n(舍去)或m＋n＝6.‎ 满足m＋n＝6的情形为(1,5)，(2,4)，共2种情形．‎ 由古典概型，所求事件的概率为.‎ ‎14．某省实验中学共有特级教师10名，其中男性6名，女性4名，现在要从中抽调4‎ 名特级教师担任青年教师培训班的指导教师，由于工作需要，其中男教师甲和女教师乙不能同时被抽调．‎ ‎(1)求抽调的4名教师中含有女教师丙，且4名教师中恰有2名男教师、2名女教师的概率；‎ ‎(2)若抽到的女教师的人数为ξ，求P(ξ≤2)．‎ 解　由于男教师甲和女教师乙不能同时被抽调，所以可分以下两种情况：‎ ‎①若甲和乙都不被抽调，有C种方法；‎ ‎②若甲和乙中只有一人被抽调，有CC种方法，故从10名教师中抽调4人，且甲和乙不同时被抽调的方法总数为C＋CC＝70＋112＝182.这就是基本事件总数．‎ ‎(1)记事件“抽调的4名教师中含有女教师丙，且恰有2名男教师，2名女教师”为A，因为含有女教师丙，所以再从女教师中抽取一人，若抽到的是女教师乙，则男教师甲不能被抽取，抽调方法数是C；若女教师中抽到的不是乙，则女教师的抽取方法有C种，男教师的抽取方法有C种，抽调的方法数是CC.故随机事件“抽调的4名教师中含有女教师丙，且4名教师中恰有2名男教师、2名女教师”含有的基本事件的个数是C＋CC＝40.‎ 根据古典概型概率的计算公式得P(A)＝＝.‎ ‎(2)ξ的可能取值为0,1,2,3,4，所以P(ξ≤2)＝1－P(ξ>2)＝1－P(ξ＝3)－P(ξ＝4)，若ξ＝3，则选出的4人中，可以含有女教师乙，这时取法为CC种，也可以不含女教师乙，这时有CC种，故P(ξ＝3)＝＝＝；‎ 若ξ＝4，则选出的4名教师全是女教师，必含有乙，有C种方法，故P(ξ＝4)＝＝，于是P(ξ≤2)＝1－－＝＝.‎