高考数学专题复习练习:考点规范练35
考点规范练35 直接证明与间接证明
考点规范练A册第26页
基础巩固
1.要证:a2+b2-1-a2b2≤0,只要证明( )
A.2ab-1-a2b2≤0 B.a2+b2-1-a4+b42≤0
C.(a+b)22-1-a2b2≤0 D.(a2-1)(b2-1)≥0
答案D
解析在各选项中,只有(a2-1)(b2-1)≥0⇒a2+b2-1-a2b2≤0,故选D.
2.分析法又称执果索因法,若用分析法证明“设a>b>c,且a+b+c=0,求证:b2-ac<3a”索的因应是( )
A.a-b>0 B.a-c>0
C.(a-b)(a-c)>0 D.(a-b)(a-c)<0
答案C
解析b2-ac<3a⇔b2-ac<3a2⇔(a+c)2-ac<3a2⇔a2+2ac+c2-ac-3a2<0⇔-2a2+ac+c2<0⇔2a2-ac-c2>0⇔(a-c)(2a+c)>0⇔(a-c)(a-b)>0.故选C.
3.若a,b∈R,则下面四个式子中恒成立的是( )
A.lg(1+a2)>0 B.a2+b2≥2(a-b-1)
C.a2+3ab>2b2 D.ab<a+1b+1
答案B
解析在B中,∵a2+b2-2(a-b-1)=(a2-2a+1)+(b2+2b+1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,∴a2+b2≥2(a-b-1)恒成立.
4.已知不相等的三个正数a,b,c成等差数列,且x是a,b的等比中项,y是b,c的等比中项,则x2,b2,y2( )
A.成等比数列而非等差数列
B.成等差数列而非等比数列
C.既成等差数列又成等比数列
D.既非等差数列又非等比数列
答案B
解析由已知条件,可得a+c=2b,①x2=ab,②y2=bc.③
由②③得a=x2b,c=y2b.代入①,得x2b+y2b=2b,
即x2+y2=2b2.故x2,b2,y2成等差数列.
5.设a,b,c均为正实数,则三个数a+1b,b+1c,c+1a( )
A.都大于2 B.都小于2
C.至少有一个不大于2 D.至少有一个不小于2
答案D
解析∵a>0,b>0,c>0,∴a+1b+b+1c+c+1a=a+1a+b+1b+c+1c≥6,
当且仅当a=b=c=1时等号成立,故三者不能都小于2,即至少有一个不小于2.
6.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,若x1+x2>0,则f(x1)+f(x2)的值( )
A.恒为负值 B.恒等于零
C.恒为正值 D.无法确定正负〚导学号74920297〛
答案A
解析由f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,可知f(x)是R上的减函数.由x1+x2>0,可知x1>-x2,即f(x1)
b>0,m=a-b,n=a-b,则m,n的大小关系是 .
答案mb>0,所以要得出m与n的大小关系,只需判断mn=a-ba-b与1的大小关系,只需判断a+b-2aba-b与1的大小关系,只需判断a+b-2ab-(a-b)与0的大小关系,只需判断2b-2ab与0的大小关系,只需判断b-a与0的大小关系.由a>b>0,可知b-a<0,即mn<1,即可判断m22+5
解析要比较6+7与22+5的大小,只需比较(6+7)2与(22+5)2的大小,只需比较6+7+242与8+5+410的大小,只需比较42与210的大小,只需比较42与40的大小,
∵42>40,∴6+7>22+5.
9.若a,b,c是不全相等的正数,求证:
lga+b2+lgb+c2+lgc+a2>lg a+lg b+lg c.
证明∵a,b,c∈(0,+∞),
∴a+b2≥ab>0,b+c2≥bc>0,a+c2≥ac>0.
又上述三个不等式中等号不能同时成立.
∴a+b2·b+c2·c+a2>abc成立.
上式两边同时取常用对数,得lga+b2·b+c2·c+a2>lg abc,
∴lga+b2+lgb+c2+lgc+a2>lg a+lg b+lg c.
10.(2016银川一中模拟)在等差数列{an}中,a1=3,其前n项和为Sn,等比数列{bn}的各项均为正数,b1=1,公比为q(q≠1),且b2+S2=12,q=S2b2.
(1)求an与bn;
(2)证明:13≤1S1+1S2+…+1Sn<23.
(1)解设{an}的公差为d.
因为b2+S2=12,q=S2b2,所以q+6+d=12,q=6+dq.
解得q=3,d=3.(q=-4舍去).
故an=3+3(n-1)=3n,bn=3n-1.
(2)证明因为Sn=n(3+3n)2,
所以1Sn=2n(3+3n)=231n-1n+1.
所以1S1+1S2+…+1Sn
=231-12+12-13+13-14+…+1n-1n+1
=231-1n+1.
因为n≥1,所以0<1n+1≤12,所以12≤1-1n+1<1,
所以13≤231-1n+1<23.
所以13≤1S1+1S2+…+1Sn<23.〚导学号74920298〛
能力提升
11.若△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则( )
A.△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形
B.△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形
C.△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形
D.△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形〚导学号74920299〛
答案D
解析由条件知,△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,
则△A1B1C1是锐角三角形,且△A2B2C2不可能是直角三角形.假设△A2B2C2是锐角三角形.
由sin A2=cos A1=sinπ2-A1,sin B2=cos B1=sinπ2-B1,sin C2=cos C1=sinπ2-C1,
得A2=π2-A1,B2=π2-B1,C2=π2-C1,
则A2+B2+C2=π2,这与三角形内角和为180°相矛盾.
因此假设不成立,故△A2B2C2是钝角三角形.
12.已知a,b,μ∈(0,+∞),且1a+9b=1,要使得a+b≥μ恒成立,则μ的取值范围是 .〚导学号74920300〛
答案(0,16]
解析∵a,b∈(0,+∞),且1a+9b=1,
∴a+b=(a+b)1a+9b=10+9ab+ba≥10+29=16(当且仅当a=4,b=12时等号成立).
∴a+b的最小值为16.
∴要使a+b≥μ恒成立,只需16≥μ.∴0<μ≤16.
13.(2016山东潍坊模拟五)在Rt△ABF中,AB=2BF=4,C,E分别是AB,AF的中点(如图1).将此三角形沿CE对折,使平面AEC⊥平面BCEF(如图2),已知D是AB的中点.
(1)求证:CD∥平面AEF;
(2)求证:平面AEF⊥平面ABF.
图1
图2
证明(1)取AF中点M,连接DM,EM.
∵D,M分别是AB,AF的中点,
∴DM是△ABF的中位线,∴DM