高考数学专题复习练习：考点规范练35

高考数学专题复习练习：考点规范练35

考点规范练35　直接证明与间接证明 ‎　考点规范练A册第26页　 ‎ 基础巩固 ‎1.要证:a2+b2-1-a2b2≤0,只要证明(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.2ab-1-a2b2≤0 B.a2+b2-1-a‎4‎‎+‎b‎4‎‎2‎≤0‎ C.‎(a+b‎)‎‎2‎‎2‎-1-a2b2≤0 D.(a2-1)(b2-1)≥0‎ 答案D 解析在各选项中,只有(a2-1)(b2-1)≥0⇒a2+b2-1-a2b2≤0,故选D.‎ ‎2.分析法又称执果索因法,若用分析法证明“设a>b>c,且a+b+c=0,求证:b‎2‎‎-ac‎<‎‎3‎a”索的因应是(　　)‎ A.a-b>0 B.a-c>0‎ C.(a-b)(a-c)>0 D.(a-b)(a-c)<0‎ 答案C 解析b‎2‎‎-ac‎<‎‎3‎a⇔b2-ac<3a2⇔(a+c)2-ac<3a2⇔a2+2ac+c2-ac-3a2<0⇔-2a2+ac+c2<0⇔2a2-ac-c2>0⇔(a-c)(2a+c)>0⇔(a-c)(a-b)>0.故选C.‎ ‎3.若a,b∈R,则下面四个式子中恒成立的是(　　)‎ A.lg(1+a2)>0 B.a2+b2≥2(a-b-1)‎ C.a2+3ab>2b2 D.‎ab‎<‎a+1‎b+1‎ 答案B 解析在B中,∵a2+b2-2(a-b-1)=(a2-2a+1)+(b2+2b+1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,∴a2+b2≥2(a-b-1)恒成立.‎ ‎4.已知不相等的三个正数a,b,c成等差数列,且x是a,b的等比中项,y是b,c的等比中项,则x2,b2,y2(　　)‎ A.成等比数列而非等差数列 B.成等差数列而非等比数列 C.既成等差数列又成等比数列 D.既非等差数列又非等比数列 答案B 解析由已知条件,可得a+c=2b,①‎x‎2‎‎=ab,②‎y‎2‎‎=bc.③‎ 由②③得a=x‎2‎b,‎c=y‎2‎b.‎代入①,得x‎2‎b‎+‎y‎2‎b=2b,‎ 即x2+y2=2b2.故x2,b2,y2成等差数列.‎ ‎5.设a,b,c均为正实数,则三个数a+‎1‎b,b+‎1‎c,c+‎1‎a(　　)‎ A.都大于2 B.都小于2‎ C.至少有一个不大于2 D.至少有一个不小于2‎ 答案D 解析∵a>0,b>0,c>0,∴a+‎‎1‎b‎+b+‎‎1‎c+c+‎‎1‎a=a+‎‎1‎a+b+‎‎1‎b+‎c+‎‎1‎c≥6,‎ 当且仅当a=b=c=1时等号成立,故三者不能都小于2,即至少有一个不小于2.‎ ‎6.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,若x1+x2>0,则f(x1)+f(x2)的值(　　)‎ A.恒为负值 B.恒等于零 C.恒为正值 D.无法确定正负〚导学号74920297〛‎ 答案A 解析由f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,可知f(x)是R上的减函数.由x1+x2>0,可知x1>-x2,即f(x1)b>0,m=a‎-‎b,n=a-b,则m,n的大小关系是　　　　　. ‎ 答案mb>0,所以要得出m与n的大小关系,只需判断mn‎=‎a‎-‎ba-b与1的大小关系,只需判断a+b-2‎aba-b与1的大小关系,只需判断a+b-2ab-(a-b)与0的大小关系,只需判断2b-2ab与0的大小关系,只需判断b‎-‎a与0的大小关系.由a>b>0,可知b‎-‎a<0,即mn<1,即可判断m2‎‎2‎‎+‎‎5‎ 解析要比较‎6‎‎+‎‎7‎与2‎2‎‎+‎‎5‎的大小,只需比较(‎6‎‎+‎‎7‎)2与(2‎2‎‎+‎‎5‎)2的大小,只需比较6+7+2‎42‎与8+5+4‎10‎的大小,只需比较‎42‎与2‎10‎的大小,只需比较42与40的大小,‎ ‎∵42>40,∴‎6‎‎+‎‎7‎>2‎2‎‎+‎‎5‎.‎ ‎9.若a,b,c是不全相等的正数,求证:‎ lga+b‎2‎+lgb+c‎2‎+lgc+a‎2‎>lg a+lg b+lg c.‎ 证明∵a,b,c∈(0,+∞),‎ ‎∴a+b‎2‎‎≥‎ab>0,b+c‎2‎‎≥‎bc>0,a+c‎2‎‎≥‎ac>0.‎ 又上述三个不等式中等号不能同时成立.‎ ‎∴a+b‎2‎‎·b+c‎2‎·‎c+a‎2‎>abc成立.‎ 上式两边同时取常用对数,得lga+b‎2‎‎·b+c‎2‎·‎c+a‎2‎>lg abc,‎ ‎∴lga+b‎2‎+lgb+c‎2‎+lgc+a‎2‎>lg a+lg b+lg c.‎ ‎10.(2016银川一中模拟)在等差数列{an}中,a1=3,其前n项和为Sn,等比数列{bn}的各项均为正数,b1=1,公比为q(q≠1),且b2+S2=12,q=S‎2‎b‎2‎.‎ ‎(1)求an与bn;‎ ‎(2)证明:‎1‎‎3‎‎≤‎1‎S‎1‎+‎‎1‎S‎2‎+…+‎1‎Sn‎<‎‎2‎‎3‎.‎ ‎(1)解设{an}的公差为d.‎ 因为b‎2‎‎+S‎2‎=12,‎q=S‎2‎b‎2‎,‎所以q+6+d=12,‎q=‎6+dq.‎ 解得q=3,‎d=3.‎(q=-4舍去).‎ 故an=3+3(n-1)=3n,bn=3n-1.‎ ‎(2)证明因为Sn=n(3+3n)‎‎2‎,‎ 所以‎1‎Sn‎=‎2‎n(3+3n)‎=‎‎2‎‎3‎‎1‎n‎-‎‎1‎n+1‎.‎ 所以‎1‎S‎1‎‎+‎‎1‎S‎2‎+…+‎‎1‎Sn ‎=‎‎2‎‎3‎‎1-‎‎1‎‎2‎‎+‎1‎‎2‎‎-‎‎1‎‎3‎+‎1‎‎3‎‎-‎‎1‎‎4‎+…+‎‎1‎n‎-‎‎1‎n+1‎ ‎=‎2‎‎3‎‎1-‎‎1‎n+1‎.‎ 因为n≥1,所以0<‎1‎n+1‎‎≤‎‎1‎‎2‎,所以‎1‎‎2‎≤1-‎1‎n+1‎<1,‎ 所以‎1‎‎3‎‎≤‎2‎‎3‎‎1-‎‎1‎n+1‎<‎‎2‎‎3‎.‎ 所以‎1‎‎3‎‎≤‎1‎S‎1‎+‎‎1‎S‎2‎+…+‎1‎Sn‎<‎‎2‎‎3‎.〚导学号74920298〛‎ 能力提升 ‎11.若△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则(　　)‎ A.△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形 B.△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形 C.△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形 D.△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形〚导学号74920299〛‎ 答案D 解析由条件知,△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,‎ 则△A1B1C1是锐角三角形,且△A2B2C2不可能是直角三角形.假设△A2B2C2是锐角三角形.‎ 由sin A‎2‎=cos A‎1‎=sinπ‎2‎‎-‎A‎1‎,‎sin B‎2‎=cos B‎1‎=sinπ‎2‎‎-‎B‎1‎,‎sin C‎2‎=cos C‎1‎=sinπ‎2‎‎-‎C‎1‎,‎ 得A‎2‎‎=π‎2‎-A‎1‎,‎B‎2‎‎=π‎2‎-B‎1‎,‎C‎2‎‎=π‎2‎-C‎1‎,‎ 则A2+B2+C2=π‎2‎,这与三角形内角和为180°相矛盾.‎ 因此假设不成立,故△A2B2C2是钝角三角形.‎ ‎12.已知a,b,μ∈(0,+∞),且‎1‎a‎+‎‎9‎b=1,要使得a+b≥μ恒成立,则μ的取值范围是　　　　　.〚导学号74920300〛 ‎ 答案(0,16]‎ 解析∵a,b∈(0,+∞),且‎1‎a‎+‎‎9‎b=1,‎ ‎∴a+b=(a+b)‎1‎a‎+‎‎9‎b=10+‎9ab‎+‎ba≥10+2‎9‎=16(当且仅当a=4,b=12时等号成立).‎ ‎∴a+b的最小值为16.‎ ‎∴要使a+b≥μ恒成立,只需16≥μ.∴0<μ≤16.‎ ‎13.(2016山东潍坊模拟五)在Rt△ABF中,AB=2BF=4,C,E分别是AB,AF的中点(如图1).将此三角形沿CE对折,使平面AEC⊥平面BCEF(如图2),已知D是AB的中点.‎ ‎(1)求证:CD∥平面AEF;‎ ‎(2)求证:平面AEF⊥平面ABF.‎ 图1‎ 图2‎ 证明(1)取AF中点M,连接DM,EM.‎ ‎∵D,M分别是AB,AF的中点,‎ ‎∴DM是△ABF的中位线,∴DM