2020高中数学 第二章 平面向量 第三讲 向量的坐标表示1 平面向量基本定理学案 苏教版必修1

2020高中数学 第二章 平面向量 第三讲 向量的坐标表示1 平面向量基本定理学案 苏教版必修1

平面向量基本定理 一、考点突破 知识点 课标要求 题型 说明 平面向量基本定理 ‎1. 了解平面向量基本定理及其意义；‎ ‎2. 了解基底的含义；‎ ‎3. 会用任意一组基底表示指定的向量；‎ ‎4. 能应用平面向量基本定理解决一些实际问题 选择 填空 平面向量基本定理体现了平面内向量的“统一”思想，是向量坐标表示的基础，注意认真掌握 二、重难点提示 重点：平面向量基本定理及其意义；‎ 难点：平面向量基本定理的应用。‎ 考点一：基底的概念 基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。‎ ‎【要点诠释】‎ ‎1. 对基底的理解——基底的特征 基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；‎ ‎②基底的选择是不唯一的，平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件。‎ ‎2. 零向量与任意向量共线，故不能作为基底。‎ 考点二：平面向量基本定理 定理：如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2。‎ 其中当e1，e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解。‎ ‎【难点剖析】准确理解平面向量基本定理 ‎（1）平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的。‎ ‎（2）平面向量基本定理中，实数λ1、λ2的唯一性是相对于基底e1，e2而言的，平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，一旦选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯一的。‎ ‎（3）平面向量基本定理揭示了平面向量的基本结构，即同一平面内任意三个向量之间的关系是：其中任意一个向量都可以作为其他两个不共线的向量的线性组合。‎ ‎【核心突破】关于基底的一个结论 设e1，e2是平面内的一组基底，当＋＝0时，恒有λ1＝λ2＝0。‎ 注意：这个结论很有用，可以实现向量向代数值的转化。‎ 4‎ ‎【随堂练习】已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足（3x－4y）e1＋（2x－3y）e2＝6e1＋3e2，则x－y的值为________。‎ 思路分析：利用结论：“若e1，e2是平面内的一组基底，当＋＝0时，恒有λ1＝λ2＝‎0”‎解决。‎ 答案：3‎ ‎∵（3x－4y）e1＋（2x－3y）e2＝6e1＋3e2，且e1，e2不共线，‎ ‎∴解得 ‎∴x－y＝6－3＝3。‎ 技巧点拨：向量是数形结合的知识交汇，注意掌握从向量向代数转化的这个重要结论：“设e1，e2是平面内的一组基底，当＋＝0时，恒有λ1＝λ2＝0。”‎ 例题1 （用基底表示向量）‎ 如图所示，以向量＝a，＝b为邻边作▱AOBD，又，＝，用a，b表示，，。‎ 思路分析：，再将各量转化为，。‎ 答案：＝a－b，‎ ‎∴‎ ‎＝a＋b，‎ 又＝a＋b，‎ ‎＝a＋b，‎ ‎∴‎ ‎＝a＋b－a－b＝a－b。‎ 技巧点拨：‎ ‎1. 若题目中已给出了基底，求解此类问题时，常利用向量加法三角形法则或平行四边形法则，结合数乘运算，找到所求向量与基底的关系。‎ ‎2. 若题目中没有给出基底，常结合已知条件先寻找一组 4‎ 从同一点出发的两不共线向量作为基底，而后用上述方法求解。‎ 例题2 （平面向量基本定理的应用）如图，已知在△OAB中，延长BA到C，使AB＝AC，D是将分成2∶1的一个分点（靠近B点），DC和OA交于点E，设＝a，＝b，‎ ‎（1）用a，b表示向量，；‎ ‎（2）若，求实数λ的值。‎ 思路分析：（1）由题意可知A是BC的中点，利用平行四边形法则求，利用三角形法则求；‎ ‎（2）利用C，D，E三点共线，结合共线向量定理求解。‎ 答案：（1）∵A为BC中点，‎ ‎∴‎2a－b；‎ ‎＝‎2a－b－b＝‎2a－b，‎ ‎（2）设，‎ 则＝λa－‎2a＋b＝（λ－2）a＋b，‎ ‎∵与共线，‎ ‎∴存在实数m，使得，即（λ－2）a＋b＝m（－‎2a＋b），即（λ＋‎2m－2）a＋（1－m）b＝0，‎ ‎∵a，b不共线且为非零向量，‎ ‎∴解得λ＝。‎ 技巧点拨：‎ ‎1. 此类问题要结合图形条件与所求证的问题，寻求解题思路。本题充分利用三点共线，即共线向量定理，共面向量定理，建立方程组求解，同时要恰当选择基底简化运算。‎ ‎2. 应用平面向量基本定理来证明平面几何问题的一般方法是：先选取一组基底，再根据几何图形的特征应用向量的有关知识解题。‎ 4‎ ‎【例证】用向量法证明三角形的三条中线交于同一点。‎ 思路分析：令△ABC的中线AD与中线BE交于点G1，中线AD与CF交于点G2，利用向量说明G1与G2重合，证得三条中线交于一点。‎ 答案：如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线。‎ 令＝a，＝b，则＝a－b，＋＝a－b，＝－a＋b，‎ 令AD与BE交于点G1，并假设，，则有＝λa－b，a＋μb，‎ ‎∴＝＝（1－）a＋（μ－1）b，‎ ‎∴‎ 由此可得λ＝μ＝，∴，‎ 再令AD与CF相交于G2，同样的方法可得AD，‎ ‎∴G1与G2重合，‎ 即AD，BE，CF相交于同一点，‎ ‎∴三角形三条中线交于一点。‎ 技巧点拨：向量方法证明三线共点的思路为：设三条直线l1，l2，l3中l1与l2的交点为G1，l2与l3的交点为G2，在图形中选择两个简单的不共线的向量作为基底，证明共起点的向量表示唯一，如证，则得G1，G2重合。‎ 4‎