2020高中数学 课时分层作业11 抛物线及其标准方程 新人教A版选修1-1

2020高中数学 课时分层作业11 抛物线及其标准方程 新人教A版选修1-1

1 课时分层作业(十一) 抛物线及其标准方程 (建议用时：40 分钟) [基础达标练] 一、选择题 1．准线与 x 轴垂直，且经过点(1，－ 2)的抛物线的标准方程是( ) A．y2＝－2x B．y2＝2x C．x2＝2y D．x2＝－2y B [由题意可设抛物线的标准方程为 y2＝ax，则(－ 2)2＝a，解得 a＝2，因此抛物线 的标准方程为 y2＝2x，故选 B.] 2．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 x 轴，焦点在双曲线x2 4 －y2 2 ＝1 上，则抛物线的 方程为( ) 【导学号：97792099】 A．y2＝8x B．y2＝4x C．y2＝2x D．y2＝±8x D [由题意抛物线的焦点坐标为(2,0)或(－2,0)，因此抛物线方程为 y2＝±8x.] 3．设抛物线 y2＝8x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到该抛物线焦点的距离是( ) A．4 B．6 C．8 D．12 B [抛物线 y2＝8x 的准线方程为 x＝－2，则点 P 到准线的距离为 6，即点 P 到抛物线 焦点的距离是 6.] 4．已知点 A(－2,3)在抛物线 C：y2＝2px 的准线上，记 C 的焦点为 F，则直线 AF 的斜 率为( ) A．－4 3 B．－1 C．－3 4 D．－1 2 C [抛物线的准线方程为 x＝－2，则焦点为 F(2,0)．从而 kAF＝ 3－0 －2－2 ＝－3 4 .] 5．如图 232，南北方向的公路 l，A 地在公路正东 2 km 处，B 地在 A 东偏北 30°方 向 2 3km 处，河流沿岸曲线 PQ 上任意一点到公路 l 和到 A 地距离相等．现要在曲线 PQ 上 建一座码头，向 A、B 两地运货物，经测算，从 M 到 A、到 B 修建费用都为 a 万元/km，那么， 修建这条公路的总费用最低是( )万元． 2 图 232 A．(2＋ 3)a B．2( 3＋1)a C．5a D．6a C [依题意知曲线 PQ 是以 A 为焦点、l 为准线的抛物线，根据抛物线的定义知：欲求 从 M 到 A，B 修建公路的费用最低，只须求出 B 到直线 l 距离即可，因 B 地在 A 地东偏北 30° 方向 2 3km 处， ∴B 到点 A 的水平距离为 3(km)， ∴B 到直线 l 距离为：3＋2＝5(km)， 那么修建这两条公路的总费用最低为：5a(万元)，故选 C.] 二、填空题 6．抛物线 y＝2x2 的准线方程为________． y＝－1 8 [化方程为标准方程为 x2＝1 2 y，故p 2 ＝1 8 ，开口向上， ∴准线方程为 y＝－1 8 .] 7．抛物线 y＝－1 4 x2 上的动点 M 到两定点 F(0，－1)，E(1，－3)的距离之和的最小值为 ________． 4 [抛物线标准方程为 x2＝－4y，其焦点坐标为(0，－1)，准线方程为 y＝1，则|MF| 的长度等于点 M 到准线 y＝1 的距离，从而点 M 到两定点 F，E 的距离之和的最小值为点 E(1， －3)到直线 y＝1 的距离．即最小值为 4.] 8．对于标准形式的抛物线，给出下列条件： ①焦点在 y 轴上；②焦点在 x 轴上；③抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6； ④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)． 其中满足抛物线方程为 y2＝10x 的是________．(要求填写适合条件的序号) ②④ [抛物线 y2＝10x 的焦点在 x 轴上，②满足，①不满足；设 M(1，y0)是 y2＝10x 上的一点，则|MF|＝1＋p 2 ＝1＋5 2 ＝7 2 ≠6，所以③不满足；由于抛物线 y2＝10x 的焦点为 5 2 ，0 ， 3 过该焦点的直线方程为 y＝k x－5 2 ，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则 k＝－2， 此时存在，所以④满足．] 三、解答题 9．设 F 为抛物线 C：y2＝4x 的焦点，曲线 y＝k x (k＞0)与 C 交于点 P，PF⊥x 轴，求 k 的值． A.1 2 B．1 C.3 2 D．2 [解] 根据抛物线的方程求出焦点坐标，利用 PF⊥x 轴，知点 P，F 的横坐标相等，再 根据点 P 在曲线 y＝k x 上求出 k. ∵y2＝4x，∴F(1,0)． 又∵曲线 y＝k x (k＞0)与 C 交于点 P，PF⊥x 轴，∴P(1,2)． 将点 P(1,2)的坐标代入 y＝k x (k＞0)得 k＝2. 10．如图 233 是抛物线形拱桥，设水面宽|AB|＝18 米，拱顶距离水面 8 米，一货船 在水面上的部分的横断面为一矩形 CDEF.若|CD|＝9 米，那么|DE|不超过多少米才能使货船 通过拱桥？ 【导学号：97792100】 图 233 [解] 如图所示，以点 O 为原点，过点 O 且平行于 AB 的直线为 x 轴，线段 AB 的垂直平 分线为 y 轴建立平面直角坐标系，则 B(9，－8)． 设抛物线方程为 x2＝－2py(p>0)． ∵B 点在抛物线上，∴81＝－2p·(－8)， ∴p＝81 16 ，∴抛物线的方程为 x2＝－81 8 y. 当 x＝9 2 时，y＝－2，即|DE|＝8－2＝6. ∴|DE|不超过 6 米才能使货船通过拱桥． [能力提升练] 1．已知 P 为抛物线 y2＝4x 上的一个动点，直线 l1：x＝－1，l2：x＋y＋3＝0，则 P 到 4 直线 l1，l2 的距离之和的最小值为( ) A．2 2 B．4 C. 2 D.3 2 2 ＋1 A [将 P 点到直线 l1：x＝－1 的距离转化为点 P 到焦点 F(1,0)的距离，过点 F 作直线 l2 的垂线，交抛物线于点 P，此即为所求最小值点，∴P 到两直线的距离之和的最小值为 |1＋0＋3| 12＋12 ＝2 2，故选 A.] 2．已知双曲线 C1：x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)的离心率为 2.若抛物线 C2：x2＝2py(p>0)的焦 点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2，则抛物线 C2 的方程为( ) A．x2＝8 3 3 y B．x2＝16 3 3 y C．x2＝8y D．x2＝16y D [由 e2＝1＋b2 a2＝4 得b a ＝ 3，则双曲线的渐近线方程为 y＝± 3x，即 3x±y＝0 抛物线 C2 的焦点坐标为 0，p 2 ， 则有 p 2 2 ＝2，解得 p＝8 故抛物线 C2 的方程为 x2＝16y.] 3．抛物线 y2＝2x 上的两点 A，B 到焦点的距离之和是 5，则线段 AB 的中点到 y 轴的距 离是________． 2 [抛物线 y2＝2x 的焦点为 F 1 2 ，0 ，准线方程为 x＝－1 2 ，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AF|＋|BF|＝x1＋1 2 ＋x2＋1 2 ＝5，解得 x1＋x2＝4，故线段 AB 的中点横坐标为 2.故线段 AB 的中点到 y 轴的距离是 2.] 4．在抛物线 y2＝－12x 上，与焦点的距离等于 9 的点的坐标是________． (－6,6 2)或(－6，－6 2) [设所求点为 P(x，y)，抛物线 y2＝－12x 的准线方程为 x ＝3，由题意知 3－x＝9，即 x＝－6. 代入 y2＝－12x，得 y2＝72，即 y＝±6 2. 因此 P(－6,6 2)或 P(－6，－6 2)．] 5．如图 234，已知抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点为 F，A 是抛物线上横坐标为 4，且位 于 x 轴上方的点，点 A 到抛物线准线的距离等于 5，过点 A 作 AB 垂直于 y 轴，垂足为点 B， 5 OB 的中点为 M. 图 234 (1)求抛物线的方程； (2)过点 M 作 MN⊥FA，垂足为 N，求点 N 的坐标. 【导学号：97792101】 [解] (1)抛物线 y2＝2px 的准线方程为 x＝－p 2 ， 于是 4＋p 2 ＝5，p＝2， 所以抛物线的方程为 y2＝4x. (2)由题意得 A(4,4)，B(0,4)，M(0,2)． 又 F(1,0)，所以 kAF＝4 3 ，则 FA 的方程为 y＝4 3 (x－1)． 因为 MN⊥FA，所以 kMN＝－3 4 ， 则 MN 的方程为 y＝－3 4 x＋2. 解方程组 y＝－3 4 x＋2 y＝4 3 x－1 ，得 x＝8 5 y＝4 5 ， 所以 N 8 5 ，4 5 .