2020年高中数学第二章数列

2020年高中数学第二章数列

第1课时 等比数列的概念和通项公式 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．已知等比数列{an}中，a1＝32，公比q＝－，则a6等于(　　)‎ A．1　　　　　　　 B．－1‎ C．2 D. 解析：由题知a6＝a1q5＝32×5＝－1，故选B.‎ 答案：B ‎2．已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．a≠1 B．a≠0且a≠1‎ C．a≠0 D．a≠0或a≠1‎ 解析：由a1≠0，q≠0，得a≠0,1－a≠0，所以a≠0且a≠1.‎ 答案：B ‎3．在等比数列{an}中，a2 016＝‎8a2 013，则公比q的值为(　　)‎ A．2 B．3‎ C．4 D．8‎ 解析：q3＝＝8，∴q＝2.‎ 答案：A ‎4．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于(　　)‎ A．64　　　　　　　　 B．81‎ C．128 D．243‎ 解析：∵{an}为等比数列，∴＝q＝2.‎ 又a1＋a2＝3，‎ ‎∴a1＝1.故a7＝1×26＝64.‎ 答案：A ‎5．等比数列{an}各项均为正数，且a1，a3，a2成等差数列，则＝(　　)‎ A．－　　　　　　　 B. C. D．－或 4‎ 解析：a1，a3，a2成等差数列，所以a3＝a1＋a2，从而q2＝1＋q，∵q>0，∴q＝，‎ ‎∴＝＝.‎ 答案：C ‎6．首项为3的等比数列的第n项是48，第2n－3项 是192，则n＝________.‎ 解析：设公比为q，‎ 则⇒⇒q2＝4，‎ 得q＝±2.由(±2)n－1＝16，得n＝5.‎ 答案：5‎ ‎7．数列{an}为等比数列，an>0，若a1·a5＝16，a4＝8，则an＝________.‎ 解析：由a1·a5＝16，a4＝8，得aq4＝16，a1q3＝8，所以q2＝4，又an>0，故q＝2，a1＝1，an＝2n－1.‎ 答案：2n－1‎ ‎8．若k,2k＋2,3k＋3是等比数列的前3项，则第四项为________．‎ 解析：由题意，(2k＋2)2＝k(3k＋3)，解得k＝－4或k＝－1，又k＝－1时，2k＋2＝3k＋3＝0，不符合等比数列的定义，所以k＝－4，前3项为－4，－6，－9，第四项为－.‎ 答案：－ ‎9．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证：{an}是等比数列，并求出通项公式．‎ 证明：∵Sn＝2an＋1，∴Sn＋1＝2an＋1＋1.‎ ‎∴Sn＋1－Sn＝an＋1‎ ‎＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)＝2an＋1－2an.‎ ‎∴an＋1＝2an.①‎ 又∵S1＝a1＝‎2a1＋1，‎ ‎∴a1＝－1≠0.‎ 由①式可知，an≠0，‎ ‎∴由＝2知{an}是等比数列，an＝－2n－1.‎ ‎10．在各项均为负的等比数列{an}中，2an＝3an＋1，且a2·a5＝.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)－是否为该数列的项？若是，为第几项？‎ 解析：(1)∵2an＝3an＋1，∴＝，数列{an}是公比为的等比数列，又a2·a5＝，所以a 4‎ 5＝3，由于各项均为负，故a1＝－，an＝－n－2.‎ ‎(2)设an＝－，则－＝－n－2，‎ n－2＝4，n＝6，所以－是该数列的项，为第6项．‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，那么a3·a6·a9·…·a30等于(　　)‎ A．210 B．220‎ C．216 D．215‎ 解析：由等比数列的定义，a1·a2·a3＝3，故a1·a2·a3·…·a30＝3.‎ 又q＝2，故a3·a6·a9·…·a30＝220.‎ 答案：B ‎2．已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝(　　)‎ A．21 B．42‎ C．63 D．84‎ 解析：设等比数列公比为q，则a1＋a1q2＋a1q4＝21，又因为a1＝3，所以q4＋q2－6＝0，解得q2＝2，所以a3＋a5＋a7＝(a1＋a3＋a5)q2＝42.‎ 答案：B ‎3．设{an}为公比q>1的等比数列，若a2 014和a2 015是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a2 016＋a2 017＝________.‎ 解析：4x2－8x＋3＝0的两根分别为和，q>1，从而a2 014＝，a2 015＝，∴q＝＝3.a2 016＋a2 017＝(a2 014＋a2 015)·q2＝2×32＝18.‎ 答案：18‎ ‎4．在正项等比数列{an}中，已知a‎1a2a3＝4，a‎4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n＝________.‎ 解析：设数列{an}的公比为q，由a‎1a2a3＝4＝aq3与a‎4a5a6＝12＝aq12可得q9＝3，又an－1anan＋1＝aq3n－3＝324，因此q3n－6＝81＝34＝q36，所以n＝14.‎ 答案：14‎ ‎5．有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积为－8；后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求这四个数．‎ 4‎ 解析：由题意，设这四个数为，b，bq，a，‎ 则解得或 ‎∴这四个数依次为1，－2,4,10或－，－2，－5，－8.‎ ‎6．已知a1＝2，点(an，an＋1)在函数f(x)＝x2＋2x的图象上，其中n＝1,2,3，….‎ ‎(1)证明数列{lg(1＋an)}是等比数列；‎ ‎(2)求{an}的通项公式．‎ 解析：(1)证明：由已知得an＋1＝a＋2an，‎ ‎∴an＋1＋1＝a＋2an＋1＝(an＋1)2.‎ ‎∵a1＝2，∴an＋1＋1＝(an＋1)2>0.‎ ‎∴lg(1＋an＋1)＝2lg(1＋an)，即＝2，‎ 且lg(1＋a1)＝lg 3.‎ ‎∴{lg(1＋an)}是首项为lg 3，公比为2的等比数列．‎ ‎(2)由(1)知，lg(1＋an)＝2n－1·lg 3＝lg 3，‎ ‎∴1＋an＝3，‎ ‎∴an＝3－1.‎ 4‎