2020_2021学年新教材高中数学第3章不等式3

2020_2021学年新教材高中数学第3章不等式3

‎3.2　基本不等式≤(a，b≥0)‎ ‎3.2.1　‎基本不等式的证明 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1．了解基本不等式的证明过程．(重点)‎ ‎2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小．‎ ‎3．能利用基本不等式求简单函数的最值．(难点)‎ ‎1．通过不等式的证明，培养逻辑推理素养．‎ ‎2．借助基本不等式形式求简单的最值问题，提升数学运算素养．‎ 如下表所示，再任意取几组正数a，b，算出它们的算术平均数和几何平均数，猜测一般情况下两个正数的算术平均数与几何平均数的大小．尝试用比较法加以证明．‎ a ‎1‎ ‎2‎ b ‎1‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎2 ‎1．算术平均数与几何平均数 对于正数a，b，我们把称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数．‎ ‎2．基本不等式 如果a，b是正数，那么≤(当且仅当a＝b时，等号成立)，我们把不等式≤(a，b≥0)称为基本不等式．‎ 思考：如何证明不等式≤(a，b≥0)?‎ ‎[提示]　因为a＋b－2＝()2＋()2－2·＝(－)2≥0，当且仅当a＝b时，等号成立，‎ 所以a＋b≥2，‎ - 9 -‎ 所以≤，‎ 当且仅当a＝b时，等号成立．‎ ‎3．两个重要的不等式 ‎ 若a，b∈R，则(1)ab≤，即a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时，等号成立)；‎ ‎(2)ab≤ (当且仅当a＝b时，等号成立)．‎ ‎4．应用基本不等式求最值 在运用基本不等式≤求最值时，要把握好三个要点“一正、二定、三相等”．‎ 一正： a，b是正数．‎ 二定：①和a＋b一定时，由≤变形得ab≤，即积ab有最大值；‎ ‎②积ab一定时，由≤变形得a＋b≥2，即和a＋b有最小值2．‎ 三相等：取等号的条件都是当且仅当a＝b时，等号成立．‎ ‎1．不等式a2＋1≥‎2a中等号成立的条件是(　　)‎ A．a＝±1 B．a＝1‎ C．a＝－1 D．a＝0‎ B　[当a2＋1＝‎2a，即(a－1)2＝0，即a＝1时，“＝”成立．]‎ ‎2．已知a，b∈(0,1)，且a≠b，下列各式中最大的是(　　)‎ A．a2＋b2 B．2 C．2ab D．a＋b D　[因为a，b∈(0,1)，所以a2＜a，b2＜b，‎ 所以a2＋b2＜a＋b，又a2＋b2＞2ab(因为a≠b)，‎ 所以2ab＜a2＋b2＜a＋b．‎ 又因为a＋b＞2(因为a≠b)，所以a＋b最大．]‎ ‎3．已知ab＝1，a>0，b>0，则a＋b的最小值为(　　)‎ A．1 B．2 ‎ C．4 D．8‎ B　[因为a>0，b>0，所以a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号，故a＋b的最小值为2．]‎ - 9 -‎ ‎4．当a，b∈R时，下列不等关系成立的是　　　　．‎ ‎①≥；②a－b≥2；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab．‎ ‎③　[根据≥ab，≥成立的条件判断，知①②④错，只有③正确．]‎ 对基本不等式的理解 ‎【例1】　给出下面三个推导过程：‎ ‎①因为a，b为正实数，所以＋≥2＝2；‎ ‎②因为a∈R，a≠0，所以＋a≥2＝4；‎ ‎③因为x，y∈R，xy＜0，所以＋＝－≤－2＝－2．‎ 其中正确的推导为(　　)‎ A．①② B．①③ ‎ C．②③ D．①②③‎ B　[①因为a，b为正实数，所以，为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确．‎ ‎②因为a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，‎ 所以＋a≥2＝4是错误的．‎ ‎③由xy＜0，得，均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，、均变为正数，符合基本不等式的条件，故③正确．]‎ ‎1．基本不等式≤ (a≥0，b≥0)反映了两个非负数的和与积之间的关系．‎ ‎2．对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：(1)定理成立的条件是a，b都是非负数．(2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b⇒＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b．‎ - 9 -‎ ‎1．下列不等式的推导过程正确的是　　　　．‎ ‎①若x＞0，则x＋≥2＝2；‎ ‎②若x＜0，则x＋＝－≤‎ ‎－2＝－4；‎ ‎③若a，b∈R，则＋≥2＝2．‎ ‎①②　[③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件．]‎ 利用基本不等式比较大小 ‎【例2】　(1)已知a，b∈(0，＋∞)，则下列各式中不一定成立的是(　　)‎ A．a＋b≥2 B．＋≥2‎ C．≥2 D．≥ ‎(2)已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是　　　　．‎ ‎(1)D　(2)p＞q　[(1)由≥得a＋b≥2，‎ 所以A成立；‎ 因为＋≥2＝2，所以B成立；‎ 因为≥＝2，所以C成立；‎ 因为≤＝，所以D不一定成立．‎ ‎(2)因为a，b，c互不相等，‎ 所以a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2bc，a2＋c2>‎2ac．‎ 因此2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)．‎ 即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac．]‎ ‎1．在理解基本不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．‎ ‎2．运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a≥0，b - 9 -‎ ‎≥0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b．‎ ‎2．如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小顺序是(　　)‎ A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q C．Q＞M＞P D．M＞Q＞P B　[显然＞，又因为＜，(由a＋b＞，也就是由＜1可得)，所以＞＞．故M＞P＞Q．]‎ 利用基本不等式证明不等式 ‎【例3】　已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋>9．‎ ‎[思路点拨]　看到＋＋>9，想到将“‎1”‎换成“a＋b＋c”，裂项构造基本不等式的形式，用基本不等式证明．‎ ‎[证明]　因为a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，‎ 所以＋＋＝＋＋ ‎＝3＋＋＋＋＋＋ ‎＝3＋＋＋ ‎≥3＋2＋2＋2 ‎＝3＋2＋2＋2‎ ‎＝9．‎ 当且仅当a＝b＝c时取等号，‎ 又因为a，b，c互不相等，‎ 所以＋＋>9．‎ 本例条件不变，求证：>8．‎ ‎[证明]　因为a，b，c∈R＋，‎ - 9 -‎ 且a＋b＋c＝1，‎ 所以－1＝>0，－1＝>0，－1＝>0，‎ 所以 ‎＝·· ‎≥＝8，‎ 当且仅当a＝b＝c时取等号，‎ 因为a，b，c互不相等，‎ 所以>8．‎ ‎1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“‎1”‎的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．‎ ‎2．先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为符合待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．‎ ‎3．已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b‎2c2＋c‎2a2．‎ ‎[证明]　由基本不等式可得 a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥‎2a2b2，‎ 同理，b4＋c4≥2b‎2c2，‎ c4＋a4≥‎2a2c2，‎ 所以(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥‎2a2b2＋2b‎2c2＋‎2a2c2，‎ 从而a4＋b4＋c4≥a2b2＋b‎2c2＋c‎2a2．‎ ‎4． 已知‎2a＋b＝1，a>0，b>0，求证：＋≥3＋2．‎ ‎[证明]　＋＝＋＝3＋≥3＋2，当且仅当＝，且‎2a＋b＝1，即a＝，b＝－1时取等号．‎ - 9 -‎ 利用基本不等式求最值 ‎【例4】　(1)已知x<，求y＝4x－2＋的最大值；‎ ‎(2)已知00，‎ 所以y＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1，‎ 当且仅当5－4x＝，‎ 即x＝1时，上式等号成立，‎ 故当x＝1时，ymax＝1．‎ ‎(2)因为00，‎ 所以y＝×2x(1－2x)≤×＝×＝．‎ 所以当且仅当2x＝1－2x，‎ 即x＝时，ymax＝．‎ 利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件．具体可归纳为三句话：一不正，用其相反数，改变不等号方向；二不定应凑出定和或定积；三不等，一般用单调性.‎ ‎5．(1)已知x>0，求函数y＝的最小值；‎ ‎(2)已知00)的最小值为9．‎ ‎(2)法一：因为00．‎ 所以y＝x(1－3x)＝·3x(1－3x)‎ ‎≤＝．‎ 当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立．‎ 所以当x＝时，函数取得最大值．‎ 法二：因为00．‎ 所以y＝x(1－3x)＝3·x≤3·＝，‎ 当且仅当x＝－x，即x＝时，等号成立．‎ 所以当x＝时，函数取得最大值．‎ ‎1．应用基本不等式时要时刻注意其成立的条件，只有当a≥0，b≥0时，才会有≤．对于“当且仅当a＝b时，‘＝’号成立”这句话要从两个方面理解：一方面，当a＝b时，＝；另一方面：当＝时，也有a＝b．‎ ‎2．应用基本不等式证明不等式的关键在于进行“拼”“凑”“拆”“合”“放缩”等变形，构造出符合基本不等式的条件结构．‎ ‎3．利用基本不等式求最值的要点：一正、二定、三相等．‎ ‎1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立． (　　)‎ ‎(2)若a>2，则a＋≥2＝2． (　　)‎ ‎(3)若a>0，b>0，则ab≤． (　　)‎ - 9 -‎ ‎[提示]　(1)任意a，b∈R，有a2＋b2≥2ab成立，当a，b≥0时，不等式a＋b≥2成立．‎ ‎(2)根据基本不等式，才有不等式a＋≥2＝2成立，当且仅当只有当a＝1时取等号．‎ ‎(3)因为≤，所以ab≤．‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)√‎ ‎2．函数y＝＋x(其中x＞2)取得最小值的条件是(　　)‎ A．x＝3 B．x＝－3‎ C．x＝5 D．x＝－5‎ C　[当x＞2时，由基本不等式知y＝＋x＝＋(x－2)＋2≥2＋2≥8，当且仅当＝x－2时取等号 ，即x＝5(x＝－1舍去)．]‎ ‎3．若a＞0，b＞0，ab＝1＋a＋b，则a＋b的最小值为 ．‎ ‎2＋2　[1＋a＋b＝ab≤，‎ 所以(a＋b)2－4(a＋b)－4≥0．‎ 所以a＋b≤2－2或a＋b≥2＋2．‎ 因为a＞0，b＞0，‎ 所以a＋b≥2＋2．‎ 所以a＋b的最小值为2＋2．]‎ ‎4．设a>0，b>0，证明：＋≥a＋b．‎ ‎[证明]　因为a>0，b>0，‎ 所以＋a≥2b，＋b≥‎2a，‎ 所以＋≥a＋b．‎ - 9 -‎