数学卷·2018届广东省汕头市潮师高中高二上学期期中数学试卷（文科） （解析版）

数学卷·2018届广东省汕头市潮师高中高二上学期期中数学试卷（文科） （解析版）

‎2016-2017学年广东省汕头市潮师高中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（　　）‎ A．（﹣2，1） B．（﹣1，1） C．（1，3） D．（﹣2，3）‎ ‎2．函数y=ln（﹣1）的定义域为（　　）‎ A．（﹣∞，0） B．（0，1） C．（1，+∞） D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）‎ ‎3．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，（　　）‎ A．若l⊥β，则α⊥β B．若α⊥β，则l⊥m C．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m ‎4．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a4+a6=12，则S7的值是（　　）‎ A．21 B．24 C．28 D．7‎ ‎5．已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（　　）‎ A．0 B．﹣8 C．2 D．10‎ ‎6．设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系是（　　）‎ A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a ‎7．函数y=sin（2x+）的图象可由函数y=sin2x的图象（　　）‎ A．向左平移个单位长度而得到 B．向右平移个单位长度而得到 C．向左平移个单位长度而得到 D．向右平移个单位长度而得到 ‎8．某几何体的三视图如图所示，它的体积为（　　）‎ A．12π B．45π C．57π D．81π ‎9．根据如图框图，当输入x为6时，输出的y=（　　）‎ A．1 B．2 C．5 D．10‎ ‎10．直线xcosα﹣y+1=0的倾斜角的取值范围是（　　）‎ A．[0，] B．[0，π） C．[，] D．[0，]∪[，π）‎ ‎11．在平面直角坐标系xOy中，直线3x+4y﹣5=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则弦AB的长等于（　　）‎ A．3 B．2 C． D．1‎ ‎12．若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.‎ ‎13．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：7，现用分层抽样的方法抽出一个样本，样本中A型号的产品共有10件，那么此样本容量共　　件．‎ ‎14．已知函数f（x）=，则f（5）=　　．‎ ‎15．过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程　　．‎ ‎16．已知正方体的外接球的体积是，则这个正方体的棱长是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.‎ ‎17．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．‎ ‎（1）求BC的长；‎ ‎（2）求sin2C的值．‎ ‎18．等差数列{an}中，a7=4，a19=2a9，‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式； ‎ ‎（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和Sn．‎ ‎19．如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．‎ ‎（1）求证：VB∥平面MOC；‎ ‎（2）求证：平面MOC⊥平面VAB ‎（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．‎ ‎20．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]‎ ‎（1）求频率分布图中a的值；‎ ‎（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；‎ ‎（3）从评分在[40，60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率．‎ ‎21．已知圆C经过A（3，2）、B（1，6），且圆心在直线y=2x上．‎ ‎（Ⅰ）求圆C的方程．‎ ‎（Ⅱ）若直线l经过点P（﹣1，3）与圆C相切，求直线l的方程．‎ ‎22．设函数f（x）=‎ ‎（1）若a=1，求f（x）的最小值；‎ ‎（2）若f（x）恰有2个零点，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年广东省汕头市潮师高中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（　　）‎ A．（﹣2，1） B．（﹣1，1） C．（1，3） D．（﹣2，3）‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】根据集合的基本运算即可得到结论．‎ ‎【解答】解：M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，‎ 则M∩N={x|﹣1＜x＜1}，‎ 故选：B ‎　‎ ‎2．函数y=ln（﹣1）的定义域为（　　）‎ A．（﹣∞，0） B．（0，1） C．（1，+∞） D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）‎ ‎【考点】函数的定义域及其求法．‎ ‎【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．‎ ‎【解答】解：要使函数有意义，则﹣1＞0，即＞1，则0＜x＜1，‎ 即函数的定义域为（0，1），‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，（　　）‎ A．若l⊥β，则α⊥β B．若α⊥β，则l⊥m C．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】A根据线面垂直的判定定理得出A正确；‎ B根据面面垂直的性质判断B错误；‎ C根据面面平行的判断定理得出C错误；‎ D根据面面平行的性质判断D错误．‎ ‎【解答】解：对于A，∵l⊥β，且l⊂α，根据线面垂直的判定定理，得α⊥β，∴A正确；‎ 对于B，当α⊥β，l⊂α，m⊂β时，l与m可能平行，也可能垂直，∴B错误；‎ 对于C，当l∥β，且l⊂α时，α与β可能平行，也可能相交，∴C错误；‎ 对于D，当α∥β，且l⊂α，m⊂β时，l与m可能平行，也可能异面，∴D错误．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a4+a6=12，则S7的值是（　　）‎ A．21 B．24 C．28 D．7‎ ‎【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】根据等差数列的性质由a2+a4+a6=12得到a4=4，然后根据等差数列的前n项和公式，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵a2+a4+a6=12，‎ ‎∴a2+a4+a6=12=3a4=12，‎ 即a4=4，‎ 则S7=，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（　　）‎ A．0 B．﹣8 C．2 D．10‎ ‎【考点】斜率的计算公式．‎ ‎【分析】因为过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，所以，两直线的斜率相等．‎ ‎【解答】解：∵直线2x+y﹣1=0的斜率等于﹣2，‎ ‎∴过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线的斜率K也是﹣2，‎ ‎∴=﹣2，解得，‎ 故选 B．‎ ‎　‎ ‎6．设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系是（　　）‎ A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a ‎【考点】不等式比较大小．‎ ‎【分析】直接判断a，b的大小，然后求出结果．‎ ‎【解答】解：由题意可知1＞a=0.60.6＞b=0.61.5，c=1.50.6＞1，‎ 可知：c＞a＞b．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．函数y=sin（2x+）的图象可由函数y=sin2x的图象（　　）‎ A．向左平移个单位长度而得到 B．向右平移个单位长度而得到 C．向左平移个单位长度而得到 D．向右平移个单位长度而得到 ‎【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．‎ ‎【分析】设出平移量φ，根据函数图象的平移变换法则，构造关于φ的方程，解方程可得平移量，进而得到平移方式．‎ ‎【解答】解：设由函数y=sin 2x的图象向左平移φ个单位得到函数y=sin （2x+）的图象 则y=sin 2（x+φ）=sin （2x+2φ）=sin （2x+）‎ 故2φ=‎ 解得φ=‎ 故将函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度得到函数y=sin （2x+）的图象 故选A ‎　‎ ‎8．某几何体的三视图如图所示，它的体积为（　　）‎ A．12π B．45π C．57π D．81π ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由题设知，组合体上部是一个母线长为5，底面圆半径是3的圆锥，下部是一个高为5，底面半径是3的圆柱，分别根据两几何体的体积公式计算出它们的体积再相加即可得到正确选项 ‎【解答】解：由三视图可知，此组合体上部是一个母线长为5，底面圆半径是3的圆锥，下部是一个高为5，底面半径是3的圆柱 故它的体积是5×π×32+π×32×=57π 故选C ‎　‎ ‎9．根据如图框图，当输入x为6时，输出的y=（　　）‎ A．1 B．2 C．5 D．10‎ ‎【考点】循环结构．‎ ‎【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x的值，当x=﹣3时不满足条件x≥0，计算并输出y的值为10．‎ ‎【解答】解：模拟执行程序框图，可得 x=6‎ x=3‎ 满足条件x≥0，x=0‎ 满足条件x≥0，x=﹣3‎ 不满足条件x≥0，y=10‎ 输出y的值为10．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．直线xcosα﹣y+1=0的倾斜角的取值范围是（　　）‎ A．[0，] B．[0，π） C．[，] D．[0，]∪[，π）‎ ‎【考点】直线的倾斜角．‎ ‎【分析】设直线xcosα﹣y+1=0的倾斜角为θ，可得：tanθ=cosα，由于cos∈[﹣1，1]．可得﹣1≤tanθ≤1．即可得出．‎ ‎【解答】解：设直线xcosα﹣y+1=0的倾斜角为θ，则tanθ=cosα，‎ ‎∵cos∈[﹣1，1]．‎ ‎∴﹣1≤tanθ≤1．‎ ‎∴θ∈[0，]∪[，π）．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎11．在平面直角坐标系xOy中，直线3x+4y﹣5=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则弦AB的长等于（　　）‎ A．3 B．2 C． D．1‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】由直线与圆相交的性质可知，，要求AB，只要求解圆心到直线3x+4y﹣5=0的距离 ‎【解答】解：由题意可得，圆心（0，0）到直线3x+4y﹣5=0的距离，‎ 则由圆的性质可得，，‎ 即．‎ 故选B ‎　‎ ‎12．若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用．‎ ‎【分析】将（1，1）代入直线得： +=1，从而a+b=（+）（a+b），利用基本不等式求出即可．‎ ‎【解答】解：∵直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），‎ ‎∴+=1（a＞0，b＞0），‎ 所以a+b=（+）（a+b）=2++≥2+2=4，‎ 当且仅当=即a=b=2时取等号，‎ ‎∴a+b最小值是4，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.‎ ‎13．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：7，现用分层抽样的方法抽出一个样本，样本中A型号的产品共有10件，那么此样本容量共　60　件．‎ ‎【考点】分层抽样方法．‎ ‎【分析】求出抽样比，然后求解n的值即可．‎ ‎【解答】解：某工厂生产的A、B、C三种不同型号产品的数量之比为2：3：7，‎ 分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，‎ 则A被抽的抽样比为： =，‎ A产品有10件，所以n==60，‎ 故答案为：60．‎ ‎　‎ ‎14．已知函数f（x）=，则f（5）=　4　．‎ ‎【考点】分段函数的应用；函数的值．‎ ‎【分析】由已知中函数f（x）=，将x=5代入可得答案；‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=，‎ ‎∴f（5）=f（f（5+5））=f（7）=4，‎ 故答案为：4‎ ‎　‎ ‎15．过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程　2x﹣y=0或x+y﹣3=0　．‎ ‎【考点】直线的两点式方程．‎ ‎【分析】分两种情况考虑，第一：当所求直线与两坐标轴的截距不为0时，设出该直线的方程为x+y=a，把已知点坐标代入即可求出a的值，得到直线的方程；第二：当所求直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把已知点的坐标代入即可求出k的值，得到直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线的方程．‎ ‎【解答】解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y=a，‎ 把（1，2）代入所设的方程得：a=3，则所求直线的方程为x+y=3即x+y﹣3=0；‎ ‎②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，‎ 把（1，2）代入所求的方程得：k=2，则所求直线的方程为y=2x即2x﹣y=0．‎ 综上，所求直线的方程为：2x﹣y=0或x+y﹣3=0．‎ 故答案为：2x﹣y=0或x+y﹣3=0‎ ‎　‎ ‎16．已知正方体的外接球的体积是，则这个正方体的棱长是　　．‎ ‎【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．‎ ‎【分析】先求球的半径，直径就是正方体的对角线，然后求出正方体的棱长．‎ ‎【解答】解：正方体外接球的体积是，则外接球的半径R=1，‎ 所以正方体的对角线的长为2，棱长等于，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.‎ ‎17．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．‎ ‎（1）求BC的长；‎ ‎（2）求sin2C的值．‎ ‎【考点】余弦定理的应用；二倍角的正弦．‎ ‎【分析】（1）直接利用余弦定理求解即可．‎ ‎（2）利用正弦定理求出C的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+9﹣2×2×3×=7，‎ 所以BC=．‎ ‎（2）由正弦定理可得：，则sinC===，‎ ‎∵AB＜BC，∴C为锐角，‎ 则cosC===．‎ 因此sin2C=2sinCcosC=2×=．‎ ‎　‎ ‎18．等差数列{an}中，a7=4，a19=2a9，‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式； ‎ ‎（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和Sn．‎ ‎【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】（I）由a7=4，a19=2a9，结合等差数列的通项公式可求a1，d，进而可求an ‎（II）由==，利用裂项求和即可求解 ‎【解答】解：（I）设等差数列{an}的公差为d ‎∵a7=4，a19=2a9，‎ ‎∴‎ 解得，a1=1，d=‎ ‎∴=‎ ‎（II）∵==‎ ‎∴sn=‎ ‎==‎ ‎　‎ ‎19．如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．‎ ‎（1）求证：VB∥平面MOC；‎ ‎（2）求证：平面MOC⊥平面VAB ‎（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）利用三角形的中位线得出OM∥VB，利用线面平行的判定定理证明VB∥平面MOC；‎ ‎（2）证明：OC⊥平面VAB，即可证明平面MOC⊥平面VAB ‎（3）利用等体积法求三棱锥V﹣ABC的体积．‎ ‎【解答】（1）证明：∵O，M分别为AB，VA的中点，‎ ‎∴OM∥VB，‎ ‎∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，‎ ‎∴VB∥平面MOC；‎ ‎（2）∵AC=BC，O为AB的中点，‎ ‎∴OC⊥AB，‎ ‎∵平面VAB⊥平面ABC，OC⊂平面ABC，‎ ‎∴OC⊥平面VAB，‎ ‎∵OC⊂平面MOC，‎ ‎∴平面MOC⊥平面VAB ‎（3）在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=，∴AB=2，OC=1，‎ ‎∴S△VAB=，‎ ‎∵OC⊥平面VAB，‎ ‎∴VC﹣VAB=•S△VAB=，‎ ‎∴VV﹣ABC=VC﹣VAB=．‎ ‎　‎ ‎20．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]‎ ‎（1）求频率分布图中a的值；‎ ‎（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；‎ ‎（3）从评分在[40，60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率．‎ ‎【考点】频率分布直方图．‎ ‎【分析】（1）利用频率分布直方图中的信息，所有矩形的面积和为1，得到a；‎ ‎（2）对该部门评分不低于80的即为90和100，的求出频率，估计概率；‎ ‎（3）求出评分在[40，60]的受访职工和评分都在[40，50]的人数，随机抽取2人，列举法求出所有可能，利用古典概型公式解答．‎ ‎【解答】解：（1）因为（0.004+a+0.018+0.022×2+0.028）×10=1，解得a=0.006；‎ ‎（2）由已知的频率分布直方图可知，50名受访职工评分不低于80的频率为（0.022+0.018）×10=0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4；（3）受访职工中评分在[50，60）的有：50×0.006×10=3（人），记为A1，A2，A3；‎ 受访职工评分在[40，50）的有：50×0.004×10=2（人），记为B1，B2．‎ 从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，‎ 分别是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，‎ 又因为所抽取2人的评分都在[40，50）的结果有1种，即{B1，B2}，‎ 故所求的概率为P=．‎ ‎　‎ ‎21．已知圆C经过A（3，2）、B（1，6），且圆心在直线y=2x上．‎ ‎（Ⅰ）求圆C的方程．‎ ‎（Ⅱ）若直线l经过点P（﹣1，3）与圆C相切，求直线l的方程．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据已知设出圆的标准方程，将点A，B的坐标代入标准方程，解方程组即可求出圆心及半径，从而得到圆C的方程．‎ ‎（Ⅱ）根据已知设出直线方程，利用直线与圆相切的性质d=r即可求出直线斜率k，从而求出直线方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵圆心在直线y=2x上，‎ 故可设圆心C（a，2a），半径为r．‎ 则圆C的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣2a）2=r2．‎ ‎∵圆C经过A（3，2）、B（1，6），‎ ‎∴．‎ 解得a=2，r=．‎ ‎∴圆C的标准方程为 ‎（x﹣2）2+（y﹣4）2=5．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，圆C的圆心为C（2，4），半径r=．‎ 直线l经过点P（﹣1，3），‎ ‎①若直线斜率不存在，‎ 则直线l：x=﹣1．‎ 圆心C（2，4）到直线l的距离为 d=3＜r=，故直线与圆相交，不符合题意．‎ ‎②若直线斜率存在，设斜率为k，‎ 则直线l：y﹣3=k（x+1），‎ 即kx﹣y+k+3=0．‎ 圆心C（2，4）到直线l的距离为 d==．‎ ‎∵直线与圆相切，‎ ‎∴d=r，即=．‎ ‎∴（3k﹣1）2=5+5k2，‎ 解得k=2或k=．‎ ‎∴直线l的方程为2x﹣y+5=0或x+2y﹣5=0．‎ ‎　‎ ‎22．设函数f（x）=‎ ‎（1）若a=1，求f（x）的最小值；‎ ‎（2）若f（x）恰有2个零点，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】分段函数的应用．‎ ‎【分析】（1）a=1时，分别探讨y=2x﹣1（x＜1）与y=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x2﹣3x+2）（x≥1）的单调性与最值，即可求得f（x）的最小值；‎ ‎（2）分①g（x）=2x﹣a在x＜1时与x轴有一个交点，h（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）与x轴有一个交点，②函数g（x）=2x﹣a与x轴无交点，h（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）与x轴有两个交点两类讨论，即可求得实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）a=1时，f（x）=，‎ 当x＜1时，函数f（x）在（﹣∞，1）上为增函数，函数值f（x）∈（﹣1，1）；‎ 当x≥1时，函数f（x）在[1，]为减函数，在[，+∞）为增函数，当x=时，f（x）取得最小值为﹣1；‎ 故a=1，f（x）的最小值﹣1，‎ ‎（2）①若函数g（x）=2x﹣a在x＜1时与x轴有一个交点，则a＞0，并且当x=1时，g（1）=2﹣a＞0，即0＜a＜2，‎ 函数h（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）与x轴有一个交点，所以2a≥1且a＜1⇒≤a＜1；‎ ‎②若函数g（x）=2x﹣a与x轴无交点，则函数h（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）与x轴有两个交点，‎ 当a≤0时，g（x）=2x﹣a与x轴无交点，h（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）在x≥1时与x轴无交点，不合题意；‎ 当h（1）=2﹣a≥0时，a≥2，h（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）与x轴有两个交点，x=a和x=2a，由于a≥2，两交点的横坐标均满足x≥1，‎ 综上所述，a的取值范围为：≤a＜1和a≥2．‎ ‎　‎