高考数学复习练习试题8_3 直线、平面垂直的判定及其性质

高考数学复习练习试题8_3 直线、平面垂直的判定及其性质

‎§8.3　直线、平面垂直的判定及其性质 一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分)‎ ‎1．(2010·北京海淀区期末)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面.下 列命题中不正确的是________．‎ ‎①若m∥α，α∩β＝n，则m∥n ‎②若m∥n，m⊥α，则n⊥α ‎③若m⊥α，m⊥β，则α∥β ‎④若m⊥α，m⊂β，则α⊥β ‎2．(2010·盐城一模)若l为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命 题：‎ ‎①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β；②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β；‎ ‎③l∥α，l⊥β⇒α⊥β.‎ 其中正确的命题是________．(填序号)‎ ‎3．(2010·徐州模拟)已知平面α，β，γ及直线l，m满足：l⊥m，α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l， 则由此可推出：‎ ‎①β⊥γ；②l⊥α；③m⊥β中的________．‎ ‎4．(2010·淮阴模拟)已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：‎ ‎①若α⊥β，m∥α，则m⊥β；‎ ‎②若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；‎ ‎③若m⊥β，m∥α，则α⊥β；‎ ‎④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β.‎ 其中真命题的序号是________．‎ ‎5．给定空间中的直线l及平面α.条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与 平面α垂直”的______________条件．‎ ‎6．(2010·镇江联考)已知a、b、l表示三条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面，有下 列四个命题：‎ ‎①若α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥γ；‎ ‎②若a、b相交，且都在α、β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β；‎ ‎③若α⊥β，α∩β＝a，b⊂β，a⊥b，则b⊥α；‎ ‎④若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，l⊄α，则l⊥α.‎ 其中正确命题的序号是________．‎ ‎7．(2010·连云港模拟)设α、β、γ为彼此不重合的三个平面，l为直线，给出下列命题：‎ ‎①若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ；‎ ‎②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，则l⊥γ；‎ ‎③若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α垂直；‎ ‎④若α内存在不共线的三点到β的距离相等，则平面α平行于平面β.‎ 上面命题中，真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．‎ ‎8 如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是点A 在PB、PC上的正投影，给出下列结论：‎ ‎①AF⊥PB；②EF⊥PB；‎ ‎③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.‎ 其中正确结论的序号是________．‎ ‎9．a、b表示直线，α、β、γ表示平面．‎ ‎①若α∩β＝a，b⊂α，a⊥b，则α⊥β；‎ ‎②若a⊂α，a垂直于β内任意一条直线，则α⊥β；‎ ‎③若α⊥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a⊥b；‎ ‎④若a不垂直于平面α，则a不可能垂直于平面α内无数条直线；‎ ‎⑤若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β.‎ 上述五个命题中，正确命题的序号是________．‎ 二、解答题(本大题共3小题，共46分)‎ ‎10．(14分)若P为△ABC所在平面外一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证： BC⊥AC.‎ ‎11.(16分)(2010·江苏)如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC ＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°.‎ ‎(1)求证：PC⊥BC；‎ ‎(2)求点A到平面PBC的距离．‎ ‎12．(16分)(2010·南京二模)在三棱柱ABC—A1B‎1C1中， AA1⊥BC，∠A‎1AC ＝60°，A‎1A＝AC＝BC＝1，A1B＝.‎ ‎(1)求证：平面A1BC⊥平面ACC‎1A1；‎ ‎(2)如果D为AB中点，求证：BC1∥平面A1CD.‎ 答案 ‎1．① 2．②③ 3．② 4．②③ 5．必要不充分 6．②③ 7．①② 8．①②③ 9．②⑤‎ ‎10．证明∵平面PAC⊥平面PBC，‎ 作AD⊥PC垂足为D，‎ 根据平面与平面垂直的性质定理知：‎ AD⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，‎ 则BC⊥AD，又PA⊥平面ABC，‎ 则BC⊥PA，∴BC⊥平面PAC.‎ ‎∴BC⊥AC.‎ ‎11．(1)证明　∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，‎ ‎∴PD⊥BC.‎ ‎∵∠BCD＝90°，∴BC⊥CD.‎ 又PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PCD.‎ 而PC⊂平面PCD，∴PC⊥BC.‎ ‎(2)解　如图，过点A作BC的平行线交CD的延长线于E，过点E 作PC的垂线，垂足F，则有AE∥平面PBC，∴点A到平面PBC的距离等于点E到平 面PBC的距离．‎ ‎∵BC⊥平面PCD，‎ ‎∴EF⊥BC.‎ 又EF⊥PC，BC∩PC＝C，‎ ‎∴EF⊥平面PBC.‎ EF即为E到平面PBC的距离．‎ 又∵AE∥BC，AB∥CD.‎ ‎∴四边形ABCE为平行四边形．‎ ‎∴CE＝AB＝2.‎ PD＝CD＝1，PD⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，‎ ‎∴PD⊥CD，∠PCD＝45°.‎ ‎∴EF＝，‎ 即点A到平面PBC的距离为.‎ ‎12．证明　(1)因为∠A‎1AC＝60°，A‎1A＝AC＝1，‎ 所以△A‎1AC为等边三角形．所以A‎1C＝1.‎ 因为BC＝1，A1B＝，所以A‎1C2＋BC2＝A1B2.‎ 所以∠A1CB＝90°，即A‎1C⊥BC.‎ 因为BC⊥A‎1A，BC⊥A‎1C，AA1∩A‎1C＝A1，‎ 所以BC⊥平面ACC‎1A1.‎ 因为BC⊂平面A1BC，所以平面A1BC⊥平面ACC‎1A1.‎ ‎(2)连结AC1交A‎1C于点O，连结OD. ‎ 因为ACC‎1A1为平行四边形，‎ 所以O为AC1的中点．‎ 因为D为AB的中点，所以OD∥BC1.‎ 因为OD⊂平面A1CD，‎ BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.‎