高考数学复习练习第1部分 专题一 第三讲 预测演练提能
一、选择题
1．设a＝0.50.5，b＝0.30.5，c＝log0.30.2，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．a
log0.30.3＝1，即c>1.所以b0，又当x＝10时，y1＝2，y2＝8，故k1＝20，k2＝.所以y1＋y2＝＋x≥2 ＝8，当且仅当＝x，即x＝5时取等号．
5．已知符号函数sgn(x)＝则函数f(x)＝sgn(x－1)－ln x的零点个数为
( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C 依题意得，当x－1>0，即x>1时，f(x)＝1－ln x，令f(x)＝0得x＝e>1；当x－1＝0，即x＝1时，f(x)＝0－ln 1＝0；当x－1<0，即x<1时，f(x)＝－1－ln x，令f(x)＝0得x＝<1.因此，函数f(x)的零点个数为3.
6．已知函数f(x)＝ax＋x－b的零点x0∈(n，n＋1)(n∈Z)，其中常数a，b满足2a＝3,3b＝2，则n的值为( )
A．－1 B．－2
C．1 D．2
解析：选A a＝log23>1，b＝log32<1，令f(x)＝0，得ax＝－x＋b.在同一平面直角坐标系中画出函数y＝ax和y＝－x＋b的图像(图略)，由图可知，两函数的图像在区间(－1,0)内有交点，所以函数f(x)在区间(－1,0)内有零点．所以n＝－1.
7．(2013·青岛模拟)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有三个不同的零点，则实数m的取值范围为( )
A． B．
C． D．
解析：选C 由g(x)＝f(x)－m＝0得f(x)＝m，作出函数y＝f(x)的图像．当x>0时，f(x)＝x2－x＝2－≥－.所以要使函数g(x)＝f(x)－m有三个不同的零点，只需直线y＝m与函数y＝f(x)的图像有三个交点即可，如图只需－0)，l1与函数y＝|log4x|的图像从左至右相交于点A，B，l2与函数y＝|log4x|的图像从左至右相交于点C，D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为m，n.当a变化时，的最小值为( )
A．4 B．16
C．211 D．210
解析：选C 设A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，D(xD，yD)，则xA＝4－a，xB＝4a，xC＝4，xD＝4，则＝，分子与分母同乘以4，可得＝4＝2.又2a＋＝2a＋1＋－1≥2 －1＝11，当且仅当2a＋1＝6，即a＝时等号成立，所以的最小值为211.
10．(2013·济南模拟)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为( )
A．an＝ B．an＝n(n－1)
C．an＝n－1 D．an＝2n－2
解析：选C 当x∈(－1,0]时，f(x)＝x3，其端点为(0,0)，然后将其图像向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到x∈(0,1]的图像，其中一端点为(1,1)，….如此平移下去，分别得到x∈(1,2]，x∈(2,3]，…的图像，其端点分别为(2,2)，(3,3)，…，又其图像与直线y＝x的交点的横坐标即为函数g(x)＝f(x)－x的零点，易知零点分别为0,1,2,3，…，故其通项公式为an＝n－1.
二、填空题
11．已知函数f(x)＝2x－，函数g(x)＝则函数g(x)的最小值是________．
解析：当x≥0时，g(x)＝f(x)＝2x－为单调增函数，所以g(x)≥g(0)＝0；当x<0时，g(x)＝f(－x)＝2－x－为单调减函数，所以g(x)>g(0)＝0，所以函数g(x)的最小值是0.
答案：0
12．(2013·潍坊模拟)若关于x的方程lnx－ax＝0只有一个实根，则正实数a的值为________．
解析：因为x>0，所以由方程得a＝.设f(x)＝，则f′(x)＝，令f′(x)＝0解得x＝e，当x∈(0，e)时，f′(x)>0；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，故函数f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，因此函数f(x)在x＝e处取得极大值，也是最大值．故f(x)≤f(e)＝＝.要使方程只有一个实根，正实数a只能取f(x)的最大值，即a＝.
答案：
13．函数y＝f(x)满足f＝－f，当x∈[－1,4]时，f(x)＝x2－2x，则f(x)在区间[0,2 012]上零点的个数为________．
解析：根据f＝－f，可得f＝－f(x)，进而得f(x＋5)＝f(x)，即函数y＝f(x)是以5为周期的周期函数．当x∈[－1,4]时，f(x)＝x2－2x，在[－1,0]内有一个零点，在(0,4]内有x1＝2，x2＝4两个零点，故在一个周期内函数有三个零点．又因为2 012＝402×5＋2，故函数在区间[0,2 010]内有402×3＝1 206个零点，在区间(2 010,2 012]内的零点个数与在区间(0,2]内零点的个数相同，即只有一个零点，所以函数f(x)在[0,2 012]上零点的个数为1 207.
答案：1 207
14．2013届大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20 000元，每天需要房租水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R与门面经营天数x的关系是R(x)＝则总利润最大时，该门面经营的天数是________．
解析：由题意，知总成本C(x)＝20 000＋100 x.
所以总利润P(x)＝R(x)－C(x)
＝
P′(x)＝
令P′(x)＝0，得x＝300，易知当x＝300时，总利润最大．
答案：300
15．(2013·海淀模拟)已知函数f(x)＝有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
解析：依题意，要使函数f(x)有三个不同的零点，则当x≤0时，方程2x－a＝0即2x＝a必有一个根，此时00时，方程x2－3ax＋a＝0有两个不等的实根，即方程x2－3ax＋a＝0有两个不等的正实根，于是有由此解得a>.因此，满足题意的实数a需满足即0时，00,00，此时ln＋(ab)＝bln＋a＝0，此时命题成立；当a>1时，根据指数函数性质可得对任意b>0，ab>1，此时ln＋(ab)＝ln ab＝bln a，且bln＋a＝bln a，此时命题成立，故命题①为真命题．
对于命题②，取a＝，b＝3时，ln＋(ab)＝0，ln＋a＋ln＋b＝ln 3>0，二者不相等，故命题②不是真命题．
对于命题③，若≥1，a≥1，b≥1，此时ln＋＝ln＝ln a－ln b，ln＋a－ln＋b＝ln a－ln b，不等式成立；若≥1,0ln a，ln＋a－ln＋b＝ln a，此时不等式也成立．根据对称性，当<1时的各种情况就相当于交换了上述a，b的位置，故不等式成立．
综上，命题③为真命题．
对于命题④，若0
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