高考数学复习练习第2部分 专题二 第二讲 填空题技法专练
[填空题技法专练]
1.(2013·海口模拟)在△ABC 中,若| |=1,| |= 3,| + |=| |,则| -
|=________.
解析:依题意得| + |2=| - |2,( + )2-( - )2=4 · =
0, ⊥ ,| - |=| |= ||2+||2=2.
答案:2
2.已知函数 f(x)=(1+tan x)cos2x 的定义域为(0,π
2 ),则函数 f(x)的值域为________.
解析:f(x)=(1+tan x)cos 2x= 2
2 sin(2x+π
4)+1
2,因为 x∈ (0,π
2 ),所以 sin(2x+π
4)∈
(- 2
2 ,1],所以 f(x)的值域为(0,1+ 2
2 ].
答案:(0,1+ 2
2 ]3.(2013·济宁模拟)已知集合 A={y|y=x 2+2x,-2≤x≤2},B={x|x 2+2x-3≤0},在
集合 A 中任意取一个元素 a,则 a∈B 的概率是________.
解析:依题意,函数 y=x2+2x=(x+1)2-1(-2≤x≤2)的值域是 A={y|-1≤y≤8};由
x2+2x-3≤0 得-3≤x≤1,因此所求的概率等于1-(-1)
8-(-1)=2
9.
答案:2
9
4.已知点 P(x,y)在直线 x+2y=3 上移动,当 2x+4y 取得最小值时,过点 P 引圆 (x-1
2 )
2+(y+1
4 )2=1
2的切线,则此切线段的长度为________.
解析:由基本不等式得 2x+4y≥2 2x × 4y=2 2x+2y=4 2,当且仅当 x=2y=3
2时取得
最小值,即 P(
3
2,3
4 ).由于点 P 与圆心 C 之间的距离|PC|= 2,故切线长= |PC|2-R2= 2-1
2
= 6
2 .
答案: 6
2
5.如果一个棱柱的底面是正多边形,并且侧棱与底面垂直,这样的棱柱叫做正棱柱.已
知一个正六棱柱的各个顶点都在半径为 3 的球面上,则该正六棱柱的体积的最大值为
________.
AB AC AB AC BC AC
AB
AB AC AC AB AB AC AC AB AC AB
AC AB AC AB BC
解析:设棱柱高为 2x(0
0,b>0)的焦点 F 到一条渐近线的距离为 3
2 |OF|,点 O 为坐
标原点,则此双曲线的离心率为________.
解析:由题意知一焦点 F(c,0)到直线 y=b
ax 的距离为 3
2 c,即 bc
a2+b2=b= 3
2 c,整理得
b2=c2-a2=(
3
2 c )2,解得 e=c
a=2.
答案:2
7.在三棱锥 ABCD 中,侧棱 AB、AC、AD 两两垂直,△ABC、△ACD、△ADB 的面积
分别为 2
2 、 3
2 、 6
2 ,则三棱锥 ABCD 的外接球的体积为________.
解析:设 AB、AC、AD 的长分别为 x、y、z,则 xy= 2,yz= 3,xz= 6,解得 x=
2,y=1,z= 3,把这个三棱锥补成一个长方体,这个三棱锥和补成的长方体具有共同的
外接球,这个球的半径等于1
2 1+2+3= 6
2 ,故这个球的体积是 4
3π(
6
2 )3= 6π.
答案: 6π
8.若锐角 α,β,γ 满足 cos2α+cos2β+cos2γ=1,那么 tan α·tan β·tan γ 的最小值为________.
解析:如图,构造长方体 ABCDA1B1C1D1.设 AB=a,AD=b,AA1=c,∠C1AB
=α,∠C1AD=β,∠C1AA1=γ,则 cos2α+cos2β+cos2γ=1.
从而有 tan α·tan β·tan γ= b2+c2
a ·
a2+c2
b ·
a2+b2
c ≥ 2bc· 2ac· 2ab
abc
=2 2.
当且仅当 a=b=c 时,tan α·tan β·tan γ 有最小值 2 2.
答案:2 2
9.在直角三角形 ABC 中,AB= 3,BC=5,AC=2 7,若在△ABC 内任取一点 M,则∠
MAB 大于 30°且小于 60°的概率是________.
解析:依题意得 AB2+BC2=AC2,即∠B=90°,当∠M1AB=30°,且点 M1 在线段 BC 上
时,M1B= 3tan 30°=1;当∠M2AB=60°,且点 M2 在线段 BC 上时,M2B= 3tan 60°=3.结
合图形可知,当∠MAB 大于 30°且小于 60°时,点 M 应位于△M1AM2 内部,注意到△ABC 的
面积等于1
2×5× 3=5 3
2 ,△M1AM2 的面积等于1
2(M2B-M1B)× 3= 3,因此所求的概率为
P= 3
5 3
2
=2
5.
答案:2
5
10.若直线 x=my-1 与圆 C:x2+y2+mx+ny+p=0 交于 A,B 两点,且 A,B 两点关
于直线 y=x 对称,则实数 p 的取值范围为________.
解析:依题意,直线 x=my-1 与直线 y=x 垂直,则 m=-1,联立Error!得弦 AB 的中
点坐标为(-1
2,-1
2).设 A(x1,y1),B(x2,y2),联立Error!得 2x2+(1-n)x+p-n+1=0,则 x1
+x2=-1-n
2 =-1
2×2=-1,即 n=-1.从而有 2x 2+2x+p+2=0,令 Δ=4-8(p+2)>0,
得 p<-3
2.
答案:(-∞,-3
2)11.(2013·南昌模拟)下列命题中真命题的序号是________(填上所有正确的序号).
①向量 a 与向量 b 共线,则存在实数 λ 使 a=λb(λ∈R);
②a,b 为单位向量,其夹角为 θ,若|a-b|>1,则π
3<θ≤π;
③A,B,C,D 是空间不共面的四点,若 · =0, · =0, · =0,则△
BCD 一定是锐角三角形;
④向量 , , 满足| |=| |+| |,则 与 同向;
⑤若向量 a∥b,b∥c,则 a∥c.
解析:①错误,若 b=0,a≠0 结论不成立;②正确,因为|a-b|2=2-2cos θ>1,即 cos θ<
1
2,解得π
3<θ≤π;③正确,由已知可得四面体三条侧棱 AB,AC,AD 两两垂直,则底面 BCD
易由三垂线定理证明三条高均在三角形内部,即三角形 BCD 为锐角三角形;④错误,应共线
且反向;⑤错误,当向量 b=0 时结论不成立,因为零向量的方向是任意的,综上可知,命题②③
为真命题.
答案:②③
12.如图,在三棱锥 OABC 中,三条棱 OA,OB,OC 两两垂直,且
OA>OB>OC,分别经过三条棱 OA,OB,OC 作一个截面平分三棱锥的体积,
截面面积依次为 S1,S2,S3,则 S1,S2,S3 的大小关系为________.
解析:令 OA=6,OB=4,OC=2,分别取 BC,CA,AB 边的中点 D,
E,F,则△OAD,△OBE,△OCF 分别是满足条件的截面三角形,且它们均为直角三角形,
所以
AB AC AC AD AB AD
AB AC BC AB AC BC AC BC
S1=1
2×6× 20
2 = 45,S2=1
2×4× 40
2 = 40,
S3=1
2×2× 52
2 = 13,满足 S30),令 f′(x)=
-33
x2 +1>0,则 f(x)在( 33,+∞)
上是单调递增的,在(0, 33)上是单调递减的,因为 n∈N*,所以当 n=5 或 6 时 f(x)有最小
值.
又因为a5
5 =53
5 ,a6
6 =63
6 =21
2 ,
所以an
n 的最小值为a6
6 =21
2 .
答案:21
2
15.定义在 R 上的函数 f(x)是奇函数,且 f(x)=f(2-x),在区间[1,2]上是单调递减函
数.关于函数 f(x)有下列结论:
①图像关于直线 x=1 对称;
②最小正周期是 2;
③在区间[-2,-1]上是减函数;
④在区间[-1,0]上是增函数.
其中正确结论的序号是________(把所有正确结论的序号都填上).
解析:由 f(x)=f(2-x)可知函数 f(x)的图像关于直线 x=1 对称,故结论①正确;因为函
数 f(x)为奇函数,其图像关于坐标原点对称,图像又关于直线 x=1 对称,故函数 f(x)必是一
个周期函数,其最小正周期为 4×(1-0)=4,故结论②不正确;因为奇函数在关于原点对称
的两个区间上的单调性是相同的,且 f(x)在区间[1,2]上是单调递减函数,所以其在区间[-2,-
1]上也是单调递减函数,故结论③正确;因为函数 f(x)的图像关于直线 x=1 对称,在区间[1,2]
上是单调递减函数,而函数在关于对称轴对称的两个区间上的单调性是相反的,故函数 f(x)
在区间[0,1]上是单调递增函数,又由奇函数的性质可得,函数 f(x)在区间[-1,0]上是单调递增
函数,故结论④正确.
答案:①③④
16.(2013·深圳模拟)如图,在直角梯形 ABCD 中,AB⊥AD,AD=DC=1,AB=3,动
点 P 在以点 C 为圆心,且与直线 BD 相切的圆内运动,设 =α +β (α,β∈R),
则 α+β 的取值范围是________.
解析:以 A 为坐标原点,以 AB,AD 所在直线为 x 轴,y 轴建立直角坐标系,设 P(x,y),
则 =(x,y)=α(0,1)+β(3,0)=(3β,α),故有 3β=x,y=α,因此 z=β+α= x
3+y,又由题
意圆 C 的圆心坐标为(1,1),且直线 BD 的方程为 x+3y-3=0,则圆心到直线的距离即为半
径 R= 10
10 ,因此圆的方程为(x-1)2+(y-1)2= 1
10,当直线 z=x
3+y 与圆相切时,可得 z=1
或 z=5
3,又因点 P 在圆的内部,故 z=β+α=x
3+y 的取值范围是(1,5
3 ).
答案:(1,5
3 )
AP AD AB
AP