高考数学复习练习第2部分 专题二 第二讲 填空题技法专练

高考数学复习练习第2部分 专题二 第二讲 填空题技法专练

[填空题技法专练] 1．(2013·海口模拟)在△ABC 中，若| |＝1，| |＝ 3，| ＋ |＝| |，则| － |＝________. 解析：依题意得| ＋ |2＝| － |2，( ＋ )2－( － )2＝4 · ＝ 0， ⊥ ，| － |＝| |＝ ||2＋||2＝2. 答案：2 2．已知函数 f(x)＝(1＋tan x)cos2x 的定义域为(0，π 2 )，则函数 f(x)的值域为________． 解析：f(x)＝(1＋tan x)cos 2x＝ 2 2 sin(2x＋π 4)＋1 2，因为 x∈ (0，π 2 )，所以 sin(2x＋π 4)∈ (－ 2 2 ，1]，所以 f(x)的值域为(0，1＋ 2 2 ]. 答案：(0，1＋ 2 2 ]3．(2013·济宁模拟)已知集合 A＝{y|y＝x 2＋2x，－2≤x≤2}，B＝{x|x 2＋2x－3≤0}，在 集合 A 中任意取一个元素 a，则 a∈B 的概率是________． 解析：依题意，函数 y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1(－2≤x≤2)的值域是 A＝{y|－1≤y≤8}；由 x2＋2x－3≤0 得－3≤x≤1，因此所求的概率等于1－(－1) 8－(－1)＝2 9. 答案：2 9 4．已知点 P(x，y)在直线 x＋2y＝3 上移动，当 2x＋4y 取得最小值时，过点 P 引圆 (x－1 2 ) 2＋(y＋1 4 )2＝1 2的切线，则此切线段的长度为________． 解析：由基本不等式得 2x＋4y≥2 2x × 4y＝2 2x＋2y＝4 2，当且仅当 x＝2y＝3 2时取得 最小值，即 P( 3 2，3 4 ).由于点 P 与圆心 C 之间的距离|PC|＝ 2，故切线长＝ |PC|2－R2＝ 2－1 2 ＝ 6 2 . 答案： 6 2 5．如果一个棱柱的底面是正多边形，并且侧棱与底面垂直，这样的棱柱叫做正棱柱．已 知一个正六棱柱的各个顶点都在半径为 3 的球面上，则该正六棱柱的体积的最大值为 ________． AB AC AB AC BC AC AB AB AC AC AB AB AC AC AB AC AB AC AB AC AB BC 解析：设棱柱高为 2x(00，b>0)的焦点 F 到一条渐近线的距离为 3 2 |OF|，点 O 为坐 标原点，则此双曲线的离心率为________． 解析：由题意知一焦点 F(c,0)到直线 y＝b ax 的距离为 3 2 c，即 bc a2＋b2＝b＝ 3 2 c，整理得 b2＝c2－a2＝( 3 2 c )2，解得 e＝c a＝2. 答案：2 7．在三棱锥 A­BCD 中，侧棱 AB、AC、AD 两两垂直，△ABC、△ACD、△ADB 的面积 分别为 2 2 、 3 2 、 6 2 ，则三棱锥 A­BCD 的外接球的体积为________． 解析：设 AB、AC、AD 的长分别为 x、y、z，则 xy＝ 2，yz＝ 3，xz＝ 6，解得 x＝ 2，y＝1，z＝ 3，把这个三棱锥补成一个长方体，这个三棱锥和补成的长方体具有共同的 外接球，这个球的半径等于1 2 1＋2＋3＝ 6 2 ，故这个球的体积是 4 3π( 6 2 )3＝ 6π. 答案： 6π 8．若锐角 α，β，γ 满足 cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1，那么 tan α·tan β·tan γ 的最小值为________． 解析：如图，构造长方体 ABCD­A1B1C1D1.设 AB＝a，AD＝b，AA1＝c，∠C1AB ＝α，∠C1AD＝β，∠C1AA1＝γ，则 cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1. 从而有 tan α·tan β·tan γ＝ b2＋c2 a · a2＋c2 b · a2＋b2 c ≥ 2bc· 2ac· 2ab abc ＝2 2. 当且仅当 a＝b＝c 时，tan α·tan β·tan γ 有最小值 2 2. 答案：2 2 9．在直角三角形 ABC 中，AB＝ 3，BC＝5，AC＝2 7，若在△ABC 内任取一点 M，则∠ MAB 大于 30°且小于 60°的概率是________． 解析：依题意得 AB2＋BC2＝AC2，即∠B＝90°，当∠M1AB＝30°，且点 M1 在线段 BC 上 时，M1B＝ 3tan 30°＝1；当∠M2AB＝60°，且点 M2 在线段 BC 上时，M2B＝ 3tan 60°＝3.结 合图形可知，当∠MAB 大于 30°且小于 60°时，点 M 应位于△M1AM2 内部，注意到△ABC 的 面积等于1 2×5× 3＝5 3 2 ，△M1AM2 的面积等于1 2(M2B－M1B)× 3＝ 3，因此所求的概率为 P＝ 3 5 3 2 ＝2 5. 答案：2 5 10．若直线 x＝my－1 与圆 C：x2＋y2＋mx＋ny＋p＝0 交于 A，B 两点，且 A，B 两点关 于直线 y＝x 对称，则实数 p 的取值范围为________． 解析：依题意，直线 x＝my－1 与直线 y＝x 垂直，则 m＝－1，联立Error!得弦 AB 的中 点坐标为(－1 2，－1 2).设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立Error!得 2x2＋(1－n)x＋p－n＋1＝0，则 x1 ＋x2＝－1－n 2 ＝－1 2×2＝－1，即 n＝－1.从而有 2x 2＋2x＋p＋2＝0，令 Δ＝4－8(p＋2)>0， 得 p<－3 2. 答案：(－∞，－3 2)11．(2013·南昌模拟)下列命题中真命题的序号是________(填上所有正确的序号)． ①向量 a 与向量 b 共线，则存在实数 λ 使 a＝λb(λ∈R)； ②a，b 为单位向量，其夹角为 θ，若|a－b|>1，则π 3<θ≤π； ③A，B，C，D 是空间不共面的四点，若 · ＝0， · ＝0， · ＝0，则△ BCD 一定是锐角三角形； ④向量 ， ， 满足| |＝| |＋| |，则 与 同向； ⑤若向量 a∥b，b∥c，则 a∥c. 解析：①错误，若 b＝0，a≠0 结论不成立；②正确，因为|a－b|2＝2－2cos θ>1，即 cos θ< 1 2，解得π 3<θ≤π；③正确，由已知可得四面体三条侧棱 AB，AC，AD 两两垂直，则底面 BCD 易由三垂线定理证明三条高均在三角形内部，即三角形 BCD 为锐角三角形；④错误，应共线 且反向；⑤错误，当向量 b＝0 时结论不成立，因为零向量的方向是任意的，综上可知，命题②③ 为真命题． 答案：②③ 12.如图，在三棱锥 O­ABC 中，三条棱 OA，OB，OC 两两垂直，且 OA>OB>OC，分别经过三条棱 OA，OB，OC 作一个截面平分三棱锥的体积， 截面面积依次为 S1，S2，S3，则 S1，S2，S3 的大小关系为________． 解析：令 OA＝6，OB＝4，OC＝2，分别取 BC，CA，AB 边的中点 D， E，F，则△OAD，△OBE，△OCF 分别是满足条件的截面三角形，且它们均为直角三角形， 所以 AB AC AC AD AB AD AB AC BC AB AC BC AC BC S1＝1 2×6× 20 2 ＝ 45，S2＝1 2×4× 40 2 ＝ 40， S3＝1 2×2× 52 2 ＝ 13，满足 S30)，令 f′(x)＝ －33 x2 ＋1>0，则 f(x)在( 33，＋∞) 上是单调递增的，在(0， 33)上是单调递减的，因为 n∈N*，所以当 n＝5 或 6 时 f(x)有最小 值． 又因为a5 5 ＝53 5 ，a6 6 ＝63 6 ＝21 2 ， 所以an n 的最小值为a6 6 ＝21 2 . 答案：21 2 15．定义在 R 上的函数 f(x)是奇函数，且 f(x)＝f(2－x)，在区间[1,2]上是单调递减函 数．关于函数 f(x)有下列结论： ①图像关于直线 x＝1 对称； ②最小正周期是 2； ③在区间[－2，－1]上是减函数； ④在区间[－1,0]上是增函数． 其中正确结论的序号是________(把所有正确结论的序号都填上)． 解析：由 f(x)＝f(2－x)可知函数 f(x)的图像关于直线 x＝1 对称，故结论①正确；因为函 数 f(x)为奇函数，其图像关于坐标原点对称，图像又关于直线 x＝1 对称，故函数 f(x)必是一 个周期函数，其最小正周期为 4×(1－0)＝4，故结论②不正确；因为奇函数在关于原点对称 的两个区间上的单调性是相同的，且 f(x)在区间[1,2]上是单调递减函数，所以其在区间[－2，－ 1]上也是单调递减函数，故结论③正确；因为函数 f(x)的图像关于直线 x＝1 对称，在区间[1,2] 上是单调递减函数，而函数在关于对称轴对称的两个区间上的单调性是相反的，故函数 f(x) 在区间[0,1]上是单调递增函数，又由奇函数的性质可得，函数 f(x)在区间[－1,0]上是单调递增 函数，故结论④正确． 答案：①③④ 16．(2013·深圳模拟)如图，在直角梯形 ABCD 中，AB⊥AD，AD＝DC＝1，AB＝3，动 点 P 在以点 C 为圆心，且与直线 BD 相切的圆内运动，设 ＝α ＋β (α，β∈R)， 则 α＋β 的取值范围是________． 解析：以 A 为坐标原点，以 AB，AD 所在直线为 x 轴，y 轴建立直角坐标系，设 P(x，y)， 则 ＝(x，y)＝α(0,1)＋β(3,0)＝(3β，α)，故有 3β＝x，y＝α，因此 z＝β＋α＝ x 3＋y，又由题 意圆 C 的圆心坐标为(1,1)，且直线 BD 的方程为 x＋3y－3＝0，则圆心到直线的距离即为半 径 R＝ 10 10 ，因此圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝ 1 10，当直线 z＝x 3＋y 与圆相切时，可得 z＝1 或 z＝5 3，又因点 P 在圆的内部，故 z＝β＋α＝x 3＋y 的取值范围是(1，5 3 ). 答案：(1，5 3 ) AP AD AB AP