高考数学复习练习试题6_4数列求和

高考数学复习练习试题6_4数列求和

‎§6.4　数列求和 一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分)‎ ‎1．在等比数列{an} (n∈N*)中，若a1＝1，a4＝，则该数列的前10项和为____________．‎ ‎2．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为____________．‎ ‎3．已知等比数列{an}的各项均为不等于1的正数，数列{bn}满足bn＝lg an，b3＝18，b6＝12，则数列{bn}的前n项和的最大值为__________．‎ ‎4．数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100＝__________.‎ ‎5．等差数列{an}中，a2＝9，a5＝21，bn＝2an，则{bn}前n项和Sn＝____________.‎ ‎6．等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则a＋a＋…＋a＝____________.‎ ‎7．(2010·无锡模拟)已知数列{an}的通项an与前n项和Sn之间满足关系式Sn＝2－3an，则an＝______________.‎ ‎8．(2011届南通月考)已知等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足bn＝log3an，则数列的前n项和Sn＝________.‎ ‎9．(2010·北京海淀区期末)设关于x的不等式x2－x<2nx (n∈N*)的解集中整数的个数为an， 数列{an}的前n项和为Sn，则S100的值为________．‎ 二、解答题(本大题共3小题，共46分)‎ ‎10．(14分)已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的n∈N*满足关系式2Sn＝3an－3.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设数列{bn}的通项公式是bn＝，前n项和为Tn，求证：对于任意的正数n，总有Tn<1.‎ ‎11.(16分)已知单调递增的等比数列{an}满足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中项．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若bn＝anlogan，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn＋n·2n＋1>50成立的最小正整数n的值．‎ ‎12．(16分)已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝ (n∈N＋)，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，是否存在最大的整数t，使得对任意的n 均有Sn>总成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．‎ 答案 ‎ ‎1．2－ 2．2n＋1＋n2－2 3．132 4．－200 5. ‎6. (4n－1) 7. ×n－1 8. 9．10 100‎ ‎10．(1)解　由已知得 (n≥2)．‎ 故2(Sn－Sn－1)＝2an＝3an－3an－1，‎ 即an＝3an－1 (n≥2)．‎ 故数列{an}为等比数列，且公比q＝3.‎ 又当n＝1时，2a1＝3a1－3，∴a1＝3.∴an＝3n.‎ ‎(2)证明　∵bn＝＝－.‎ ‎∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn ‎＝＋＋…＋＝1－<1.‎ ‎∴对于任意的正数n，总有Tn<1.‎ ‎11．解　(1)设此等比数列为a1，a1q，a1q2，a1q3，…，其中a1≠0，q≠0.‎ 由题意知：a1q＋a1q2＋a1q3＝28，①‎ a1q＋a1q3＝2(a1q2＋2)．②‎ ‎②×7－①得6a1q3－15a1q2＋6a1q＝0，‎ 即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝.‎ ‎∵等比数列{an}单调递增，∴a1＝2，q＝2，∴an＝2n.‎ ‎(2)由(1)得bn＝－n·2n，‎ ‎∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝－(1×2＋2×22＋…＋n·2n)．‎ 设Tn＝1×2＋2×22＋…＋n·2n，③‎ 则2Tn＝1×22＋2×23＋…＋n·2n＋1.④‎ 由③－④，得－Tn＝1×2＋1×22＋…＋1·2n－n·2n＋1‎ ‎＝2n＋1－2－n·2n＋1＝(1－n)·2n＋1－2，‎ ‎∴－Tn＝－(n－1)·2n＋1－2.∴Sn＝－(n－1)·2n＋1－2.‎ 要使Sn＋n·2n＋1>50成立，‎ 即－(n－1)·2n＋1－2＋n·2n＋1>50，即2n>26.‎ ‎∵24＝16<26,25＝32>26，且y＝2x是单调递增函数，‎ ‎∴满足条件的n的最小值为5.‎ ‎12．解　(1)由题意得(a1＋d)(a1＋13d)＝(a1＋4d)2，‎ 整理得2a1d＝d2.‎ ‎∵a1＝1，解得d＝2，d＝0(舍)．‎ ‎∴an＝2n－1 (n∈N*)．‎ ‎(2)bn＝＝＝，‎ ‎∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn ‎＝ ‎＝＝.‎ 假设存在整数t满足Sn>总成立，‎ 又Sn＋1－Sn＝－＝>0，‎ ‎∴数列{Sn}是单调递增的．‎ ‎∴S1＝为Sn的最小值，故<，即t<9.‎ 又∵t∈Z，∴适合条件的t的最大值为8.‎ ‎∴存在最大的整数t，使得对任意的n均有Sn>总成立，且t的最大值为8.‎