安徽省合肥一六八中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题 Word版含解析

安徽省合肥一六八中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题 Word版含解析

www.ks5u.com 合肥一六八中学2019-2020学年期末考试高二理科数学试题 一、选择题 ‎1.设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解二次不等式求得集合N，再求并集即可.‎ ‎【详解】由解得，又，‎ 故，‎ 故.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查并集的求解，涉及一元二次不等式的求解.‎ ‎2.抛物线的焦点坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将抛物线方程化为标准形式，得出值，结合开口方向即可得焦点坐标.‎ ‎【详解】由于抛物线的方程为，即，‎ 可得抛物线开口向上，，‎ 可得抛物线的焦点坐标为，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了求抛物线的焦点坐标，将抛物线方程化为标准形式是解题的关键，属于基础题.‎ - 22 -‎ ‎3.光线沿直线射到直线上, 被反射后的光线所在的直线方程为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 考点：与直线关于点、直线对称的直线方程．‎ 专题：计算题；综合题．‎ 分析：先求出y=2x+11与y=x的交点（-1，-1），然后求出反射光线与X轴的交点（1，0），然后两点确定直线．‎ 解答：解：直线y=2x+1与y=x的交点为（-1，-1），‎ 又直线y=2x+1与y轴的交点（0，1）被y=x反射后，经过（1，0）‎ 所以反射后的光线所在的直线方程为：=即 y=x-‎ 故选B．‎ 点评：本题考查与直线关于电、直线对称的直线方程，考查学生发现问题解决问题的能力，是基础题．‎ ‎4.给出下列命题：‎ ‎①若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；‎ ‎②若两条直线与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行；‎ ‎③若两条直线与第三条直线平行，这两条直线互相平行；‎ ‎④若两条直线均与一个平面平行，则这两条直线互相平行.‎ 其中正确的命题的个数是（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由空间三条直线构成等腰三角形可判断①;由空间直线的位置关系可判断②;由线面平行的定义可判断③由线线平行的公理4可判断④.‎ - 22 -‎ ‎【详解】在空间中，若两条直线和第三条直线所成的角相等，可能这三条直线构成等腰三角形，‎ 可得这两条直线不一定互相平行，故①错;‎ 在空间中，若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行或相交或异面，故②错;‎ 若两条直线都与同一个平面平行，则这两条直线互相平行或相交或异面，故③错;‎ 在空间中，若两条直线都与第三条直线平行，由公理4可得这两条直线互相平行，故④对.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了空间中直线平行垂直关系，考查了学生逻辑推理，空间想象能力，属于基础题.‎ ‎5.已知直线与圆：相交于，两点，若为正三角形，则实数的值为（ ）‎ A. B. ‎ C. 或 D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎ 由题意得，圆的圆心坐标为，半径.‎ 因为为正三角形，则圆心到直线的距离为，‎ ‎ 即，解得或，故选D.‎ ‎6.下列命题中正确命题的个数是（ ）‎ ‎①对于命题，使得，则，均有；‎ ‎②命题“已知x，，若，则或”是真命题；‎ ‎③设，是非零向量，则“”是“”的必要不充分条件；‎ ‎④是直线与直线互相垂直的充要条件.‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ - 22 -‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①根据特称命题的否定是全称命题，判断①错误；‎ ‎②原命题与它的逆否命题真假性相同，判断它的逆否命题的真假性即可;‎ ‎③利用向量的平行四边形法则，转化为平行四边形的对角线的关系，判断即可；‎ ‎④计算直线与直线互相垂直的等价条件为，即可.‎ ‎【详解】对于命题，使得，则，均有,故①不正确；‎ 命题“已知x，，，若，则或”的逆否命题为：“已知x，，，若且，则”为真命题，故②正确；‎ 设，是非零向量，则“”是“”的既不充分也不必要条件，故③不正确；‎ 直线与直线互相垂直，则，故④不正确.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了命题的否定，逆否命题，充要条件等知识点，考查了学生逻辑推理，概念理解，数学运算的能力，属于基础题.‎ ‎7.《九章算术》将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.下图所示的阳马中，侧棱底面ABCD，且，则当点E在下列四个位置：PA中点、PB中点、PC中点、PD中点时分别形成的四面体中，鳖臑有（ ）个.‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C - 22 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，结合线面垂直的判定以及性质，对点所在的位置进行逐一分析即可.‎ ‎【详解】设 ‎①当点E在PA中点时：‎ ‎，不满足勾股定理，即此时不为直角三角形，不满足题意；‎ ‎②当点E在PB中点时：‎ ‎，，由勾股定理，此时均不是直角三角形，不满足题意；‎ ‎③当点E在PC中点时：‎ 因为，故面BEC，则，故均为直角三角形，‎ 又故面PDC，则，故均为直角三角形，‎ 满足题意；‎ ‎④当点E在PD中点时：‎ 因为面ABCD，故，故均为直角三角形，‎ 又BCDC，BCDP，故面PDC，则，故均为直角三角形 满足题意.‎ 综上所述，当点E在PC中点或PD中点时，满足题意.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查由线线垂直，线面垂直的判定和性质，属综合基础题.‎ ‎8.方程(x+y-1)=0所表示的曲线是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ - 22 -‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得方程，得或，且 ‎，所以方程所表示的曲线为选项D，故选D．‎ 考点：曲线与方程．‎ ‎9.已知P是双曲线上的点，、是其焦点，双曲线的离心率是，且，若的面积为9，则此双曲线的实轴长为（ ）‎ A. 4 B. 6 C. 8 D. 10‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线的离心率求得，再根据的面积为9，得到，在中，由勾股定理和双曲线的定义知，b=3,即得解.‎ ‎【详解】双曲线的离心率是 又 的面积 在中，由勾股定理可得：‎ 故双曲线的实轴长为：8‎ 故选：C - 22 -‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线的性质综合，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.‎ ‎10.若抛物线的焦点为F，点A、B在抛物线上，且，弦AB的中点M在准线l上的射影为，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 转化：，利用余弦定理：，即得解.‎ ‎【详解】‎ 如图所示，由题意得，‎ - 22 -‎ 当且仅当：时，有最大值.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了抛物线的综合问题，考查了学生综合分析，转化化归，数学运算的能力，属于中档题.‎ ‎11.已知点P是双曲线下支上的一点，、分别是双曲线的上、下焦点，M是的内心，且，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. 2 B. C. 3 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设的内切圆的半径为r，，即 ‎，故得解.‎ ‎【详解】设，的内切圆的半径为r，则 由于 故 因此：‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了双曲线的焦点三角形的综合问题，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.‎ ‎12.在中，已知是斜边上任意一点（如图①），沿直线将 - 22 -‎ 折成直二面角（如图②）．若折叠后两点间的距离为，则下列说法正确的是（ ）‎ A. 当为的中线时，取得最小值 B. 当为的角平分线时，取得最小值 C. 当为的高线时，取得最小值 D. 当在的斜边上移动时，为定值 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：如图 设，则,‎ 过作的垂线，过作的延长线的垂线，‎ 所以，,,,；‎ 直线是异面直线，所成角为；线段是公垂线段，‎ 所以 ‎.‎ 当时，即当CD为的角平分线时，d取得最小值.‎ - 22 -‎ 故选B.‎ 考点：平面与平面之间的位置关系；两条异面直线上两点间的距离.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上）‎ ‎13.若三个点，，中恰有两个点在双曲线：上，则双曲线的离心率为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线的图象关于原点对称，可知点，在双曲线上，将点的坐标代入双曲线方程可求得，进而可求出离心率.‎ ‎【详解】三个点，，中恰有两个点在双曲线：上，‎ 又双曲线的图象关于原点对称，所以不在双曲线上，点，在双曲线上，‎ 则，解得，又，所以离心率为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查离心率的求法，属于基础题.‎ ‎14.一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运动，则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：如图甲，考虑小球挤在一个角时的情况，作平面//平面，与小球相切于点，则小球球心为正四面体的中心，，垂足 - 22 -‎ 为的中心．‎ ‎ ‎ 因，‎ 故，从而．‎ 记此时小球与面的切点为，连接，则 ‎．‎ 考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为)相切时的情况，易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为，如图乙．记正四面体的棱长为，过作于．‎ - 22 -‎ ‎ ‎ 因，有，故小三角形的边长．‎ 小球与面不能接触到的部分的面积为 ‎．　　　　　　　　　‎ 又，所以．‎ 由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为．‎ 考点：(1)三棱锥的体积公式；（2）分情况讨论及割补思想的应用．‎ ‎15.在圆内，过点有n条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项，最长弦长为，若公差，那么n的取值集合为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由圆的几何性质，最短的弦为垂直于OA的弦，最长弦为直径，得到，因此公差 - 22 -‎ ‎，结合公差，即得解.‎ ‎【详解】设，圆心，半径为，‎ 最短的弦为垂直于OA的弦，且，最长弦为直径：，‎ 公差：‎ 因此：n的取值集合为.‎ ‎【点睛】本题考查了圆的性质和数列综合，考查了学生综合分析，转化于划归，数学运算的能力，属于中档题.‎ ‎16.存在实数，使得圆面恰好覆盖函数图象的最高点或最低点共三个，则正数k的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，可知函数图象的最高点或最低点在上，结合圆面方程可以列出方程组，即得解.‎ ‎【详解】根据题意，可知函数图象的最高点或最低点在上,则：‎ 又由题意：，因此，‎ 解得正数k的取值范围是：‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查的是三角函数的周期性的应用，解答本题的关键是熟练使用三角函数周期性的定义以及求法，考查了学生综合分析，转化和划归，数学运算的能力，属于中档题.‎ - 22 -‎ 三、解答题 ‎17.已知命题，使成立，命题恒成立.‎ ‎（1）若命题为真，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）写出非命题，通过二次函数恒成立问题，求解参数的范围；‎ ‎（2）先求出每个命题真假分别对应的参数范围，再分类讨论，先交后并即可.‎ ‎【详解】（1）为真，即恒成立，‎ 故，即，‎ 解得，‎ 故的取值范围为：‎ ‎（2）由（1）可知命题为假命题，则 故命题p为真，则，‎ 对命题，若其真，则 恒成立 则 解得：‎ 故命题,若其为假，则；‎ 又由p或q为真，p且q为假，‎ 则p，q中一个为真，一个为假 即或 解得 故实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查由命题的真假，求参数的取值范围，涉及二次函数恒成立，绝对值不等式.‎ ‎18.在中，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线方程为，若点的坐标为．‎ - 22 -‎ ‎（1）求点和点的坐标；‎ ‎（2）求边上的高所在的直线的方程．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）联立直线和，可求得点的坐标，利用点斜式可得直线的方程，利用角平分线可得直线的斜率，利用点斜式可写出直线的方程，联立直线的方程可求得交点的坐标.（2）由直线的斜率可得高的斜率，利用点斜式可求得高所在直线方程.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由已知点应在边上的高所在直线与的角平分线所在直线的交点，‎ 由得，故．‎ 由，所以所在直线方程为，‎ 所在直线的方程为，由，得．‎ ‎（2）由（1）知，所在直线方程，所以所在的直线方程为，即．‎ ‎19.如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，，四边形BDEF是矩形，平面平面ABCD，，H是CF的中点.‎ ‎（1）求证：平面BDEF；‎ ‎（2）求直线DH与平面CEF所成角的正弦值；‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ - 22 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由面面垂直的性质可证平面BDEF；‎ ‎（2）以AC、BD的交点为坐标原点，DB方向为x轴，AC方向为y轴，建立空间直角坐标系，求出面CEF的法向量，即可求直线DH与平面CEF所成角的正弦值.‎ ‎【详解】（1）证明：四边形ABCD是菱形，.‎ 又平面平面ABCD，平面平面，‎ 且平面ABCD，‎ 平面BDEF；‎ ‎（2）以AC、BD的交点为坐标原点，DB方向为x轴，AC方向为y轴，建立空间直角坐标系，‎ ‎,‎ 则，.‎ 设面CEF的法向量为 则，不妨令，‎ 得到面CEF的法向量为，‎ 因此：‎ 即与面CEF所成的角的正弦值为.‎ - 22 -‎ ‎【点睛】本题考查了面面垂直的判定以及线面角的求解，考查了学生逻辑推理，转化与化归，数学运算的能力，属于中档题.‎ ‎20.设抛物线的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于M.N点.‎ ‎（1）若，的面积为，求抛物线方程；‎ ‎（2）若A.M.F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到直线n、m距离的比值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由抛物线的定义，以及圆的对称性可得为等边三角形，可由其高线求得边长，进而表达出面积，列方程解得即可求得抛物线方程.‎ ‎（2）由A.M.F三点共线，可得直线斜率，和直线方程；根据直线n与C只有一个公共点，设出直线方程，联立抛物线方程，，可求得方程；据此利用点到直线距离公式求得距离之比.‎ ‎【详解】（1）由对称性以及可知 是等边三角形.‎ 又F点到MN的距离为，故，‎ 由抛物线定义知：点A到准线l的距离 又.‎ 故抛物线方程为：.‎ ‎（2）由对称性设，则 点A，M关于点F对称，得，‎ - 22 -‎ 得：，直线m斜率，‎ 所以直线m方程为.‎ ‎∵，设直线n方程为：，‎ 又因为直线n与抛物线只有一个公共点，‎ 所以，消去得，‎ 由，得 直线，‎ 坐标原点到n，m距离的比值为.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线，涉及抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，属抛物线中的基础题.‎ ‎21.已知平面平面ABC，P、P在平面ABC的同侧，二面角的平面角为钝角，Q到平面ABC的距离为，是边长为2的正三角形，，，.‎ ‎（1）求证：面平面PAB；‎ ‎（2）求二面角的平面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】‎ - 22 -‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由正弦定理，可求得，即，再由平面平面ABC，可得平面PAB，可证得面平面PAB；‎ ‎（2）以A为坐标原点，，方向为x轴、y轴的正方向，建立空间直角坐标系.‎ 求出平面ACQ, 平面PAC的法向量，即可求得二面角.‎ ‎【详解】（1），‎ 所以，‎ ‎，‎ 又平面平面ABC，平面，‎ 平面ABC，平面PAB，面PAC，‎ 面面PAB ‎（2）以A为坐标原点，，方向为x轴、y轴正方向，建立空间直角坐标系.‎ 则，，，，‎ 设平面ACQ的法向量为，则，‎ 令，‎ 设平面PAC的法向量为，则，‎ 令：，‎ 设二面角的平面角为，则.‎ 而此二面角为锐角，故二面角的平面角的余弦值为.‎ - 22 -‎ ‎【点睛】本题考查了面面垂直的判定以及线面角的求解，考查了学生逻辑推理，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.‎ ‎22.设椭圆的长轴长，离心率为，定义直线为椭圆的类准线，若椭圆C的类准线方程为，‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）如图，不垂直于x轴的直线与椭圆C交于A、B两点，点在直线l的左上方，且，直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，若线段MN长度是4，求k.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题设条件，列出a,b,c 的等量关系，联立即得解；‎ ‎（2）由，得到是等腰直角三角形，，联立与，利用韦达定理即得解.‎ ‎【详解】由题意知：‎ - 22 -‎ ‎（2），是等腰直角三角形 设，‎ 联立与得：‎ ‎，‎ 代入，化简得：‎ ‎，或 检验，当时，点P在直线l上，不合题意.‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了直线和圆锥曲线综合，考查了学生综合分析，转化与化归，数学运算的能力，属于中档题.‎ - 22 -‎ - 22 -‎