数学理卷·2018届北京市西城区高二上学期期末考试（2017-01）

数学理卷·2018届北京市西城区高二上学期期末考试（2017-01）

北京市西城区2016— 2017学年度第一学期期末试卷 ‎ 高二数学（理科） 2017.1‎ 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 题号 一 二 三 本卷总分 ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ 分数 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.‎ ‎1. 双曲线的一个焦点坐标为（ ）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎2. 已知椭圆的短轴长是焦距的倍，则椭圆的离心率为（ ）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎3. 设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ）‎ ‎（A）若，，则 ‎ ‎（B）若，，则 ‎ ‎（C）若，，则 ‎（D）若，，则 ‎ ‎4. 设,命题“若，则方程有实根”的逆否命题是（　　）‎ ‎（A）若方程有实根，则 ‎（B）若方程有实根，则 ‎（C）若方程没有实根，则 ‎（D）若方程没有实根，则 ‎5. 已知表示两个不同的平面，为平面内的一条直线，则“” 是“”‎ 的（ ）‎ ‎（A）充分不必要条件 ‎（B）必要不充分条件 ‎（C）充要条件 ‎（D）既不充分也不必要条件 ‎6. 已知双曲线的焦点在轴上，焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线 平行，则双曲线的标准方程为（ ）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎7. 已知，，动点在线段上运动，则的最大值为（ ）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎8. 用一个平面截正方体和正四面体，给出下列结论：‎ ‎① 正方体的截面不可能是直角三角形；‎ ‎② 正四面体的截面不可能是直角三角形；‎ ‎③ 正方体的截面可能是直角梯形；‎ ‎④ 若正四面体的截面是梯形，则一定是等腰梯形.‎ 其中，所有正确结论的序号是（ ）‎ ‎（A）②③‎ ‎（B）①②④‎ ‎（C）①③‎ ‎（D）①④‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.‎ ‎9. 命题“，使得”的否定是______________________.‎ ‎10. 已知点,. 如果直线垂直于直线，那么 等于_______. ‎ ‎11. 在正方体中，异面直线所成角 正（主）视图 俯视图 的余弦值为_________.‎ ‎12. 一个正三棱柱的正视图、俯视图如图所示，则该三棱柱的 侧视图的面积为_________.‎ ‎13. 设为坐标原点，抛物线的焦点为，为抛物 线上一点. 若，则的面积为_________.‎ ‎14. ‎ 学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的顶点确定为原点，对称轴确定为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，但是他无法确定碗底中心到原点的距离，请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的计算，帮助他求出抛物线的方程.你需要测量的数据是_________________________（所有测量数据用小写英文字母表示），算出的抛物线标准方程为___________．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎15．（本小题满分13分）‎ A B C D P E 如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，是的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证：平面；‎ ‎(Ⅱ)证明：.‎ ‎16．（本小题满分13分）‎ A B C P M 如图,平面,,,为的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面；‎ ‎(Ⅱ)求二面角的余弦值.‎ ‎17．（本小题满分13分）‎ 已知直线过坐标原点，圆的方程为.‎ ‎(Ⅰ)当直线的斜率为时，求与圆相交所得的弦长； ‎ ‎(Ⅱ)设直线与圆交于两点，且为的中点，求直线的方程.‎ ‎18．（本小题满分13分）‎ 已知为椭圆的左焦点，过的直线与椭圆交于两点.‎ ‎（Ⅰ）若直线的倾斜角为，求；‎ ‎（Ⅱ）设直线的斜率为，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，所在直线的斜率为. 若，求的值.‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 如图，四棱锥中，平面平面,，，‎ ‎，且,.‎ E A B C D ‎（Ⅰ）求证:平面；‎ ‎（Ⅱ）求和平面所成角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使得平面平面，请说明理由.‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ 如图，过原点引两条直线与抛物线和（其中为常数，）分别交于四个点.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线准线间的距离； ‎ ‎（Ⅱ）证明：；‎ ‎（Ⅲ）若，求梯形面积的最小值.‎ 北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷 高二数学（理科）参考答案及评分标准2017.1‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.‎ ‎1.C； 2.D； 3. B ； 4. D； 5. B； 6. A； 7. C ； 8. D.‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. ‎ ‎9. 对任意,都有； 10. ； 11. ； ‎ ‎ 12. ； 13. ； ‎ ‎14. 碗底的直径，碗口的直径，碗的高度；.‎ 注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分.‎ ‎15.（本小题满分13分）‎ 解: (Ⅰ)连结交于，连结， ‎ A B C D P E O 因为四边形是正方形，所以为中点.‎ 又因为是的中点，所以， ………3分 因为平面，平面，‎ 所以平面. ……………6分 ‎(Ⅱ)因为四边形是正方形，所以. ……8分 因为底面，且平面，‎ 所以. ……………10分 又因为，所以平面， ……………12分 又平面，‎ 所以. ……………13分 ‎16.（本小题满分13分）‎ 解: (Ⅰ)因为平面，平面，所以.‎ 因为，，‎ 所以平面. ……………2分 所以. ……………3分 A B C P M x y z 因为，为的中点，‎ 所以. ……………4分 所以平面. ……………5分 ‎(Ⅱ)如图，在平面内，作，‎ 则两两互相垂直，‎ 建立空间直角坐标系. ‎ 则. ‎ ‎，， . ……………8分 设平面的法向量为，则 ‎ 即 令，则.所以. ……………10分 由(Ⅰ)可知为平面的法向量， ‎ 设的夹角为，‎ 则. ……………12分 因为二面角为锐角，‎ 所以二面角的余弦值为. ……………13分 ‎17.（本小题满分13分）‎ 解：(Ⅰ)由已知，直线的方程为，圆圆心为，半径为，………3分 所以，圆心到直线的距离为. ……………5分 所以，所求弦长为. ……………6分 ‎(Ⅱ) 设，因为为的中点，则. ……………8分 ‎ 又圆上，‎ 所以 ，‎ ‎，即. ……………10分 解得，， ……………11分 即 或. ……………12分 所以，直线的方程为或. ……………13分 ‎18.（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）设，由已知，椭圆的左焦点为，‎ 又直线的倾斜角为，所以直线的方程为， ……………1分 由得， ……………3分 所以，. ……………4分 ‎. ……………5分 ‎（Ⅱ）由得， ……………6分 所以，. ……………8分 依题意，且，，‎ 所以，， ……………10分 其中， ……………11分 结合，可得. ……………12分 解得，. ……………13分 ‎19.（本小题满分14分）‎ E A B C D z bn x y 解：（Ⅰ）由,.‎ 可得.‎ 由,且，‎ 可得.‎ 又. 所以. …………2分 又平面平面，‎ 平面平面，‎ 所以平面. ……………4分 ‎（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，‎ ‎，,. …………6分 设是平面的一个法向量，则,， ‎ 即 令，则. ……………7分 设直线与平面所成的角为，‎ 则. ……………8分 所以和平面所成的角的正弦值. ……………9分 ‎（Ⅲ）设,. ‎ 又,,.‎ 则. ……………10分 设是平面一个法向量,则，，‎ 即 ……………11分 令,则. ……………12分 若平面平面，则，即，.……13分 所以，在线段上存在一点使得平面平面. ……………14分 ‎20.（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）由已知，抛物线的准线分别为和， ……………2分 所以，抛物线准线间的距离为. ……………4分 ‎（Ⅱ）设，代入抛物线方程，得的横坐标分别是和. ………5分 ‎，同理， ……………7分 所以，‎ 所以. ……………8分 ‎（Ⅲ）设，，直线方程为，‎ 代入曲线，得，‎ 所以，. ……………9分 由，得，又，，‎ 所以，由，得. ……………11分 所以直线方程为，‎ 同理可求出直线方程为.‎ 所以， ……………12分 ‎，‎ 平行线与之间的距离为，‎ 所以梯形的面积， ……………13分 当时，梯形的面积达最小，最小值为. ……………14分