2019-2020学年安徽省合肥市六校高二上学期期末考试数学(理)试题

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2019-2020学年安徽省合肥市六校高二上学期期末考试数学(理)试题

安徽省合肥市六校2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理科)试卷 ‎(考试时间:120分钟 满分:150分)‎ ‎(命题学校:‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。每小题只有一个正确答案,请把正确答案涂在答题卡上)‎ ‎1. 直线的方程为,则( )‎ A.直线过点,斜率为 B. 直线过点,斜率为 ‎ ‎ C. 直线过点,斜率为 D. 直线过点,斜率为 ‎2.双曲线的离心率是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. 已知定点,点在圆上运动,则线段的中点的轨迹方程是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4. 双曲线的一条渐近线的方程为 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5. 如图是一个几何体的三视图,则这个几何体的表面积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6. “”是“直线与直线互相垂直”的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎7. 已知圆,圆,则圆和圆的位置关系为( )‎ A.相切 B.内含 C.外离 D.相交 ‎ ‎8. 已知圆锥的底面半径为,母线长为,球与圆锥的底面和侧面均相切,设球的体积为,圆锥的体积为,则( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎9.下列命题是真命题的是( ).‎ A.“若,则”的逆命题 ‎ B.“若,则”的否定 C. “若都是偶数,则是偶数”的否命题 D. “若函数都是上的奇函数,则是R上的奇函数”的逆否命题 ‎ ‎10.已知抛物线焦点为,直线过点与抛物线交于两点,与轴交于,若,则抛物线的准线方程为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.如图,三棱锥中,平面,,分别在棱上,且于, 于,则下列说法正确的有( )‎ ‎①是直角 ‎ ‎②是异面直线与所成角 ‎ ‎③是直线与平面所成角 ‎ ‎④是二面角的平面角 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎12.已知正方形的边长为,分别为边上的点,且.将 分别沿和折起,使点和重合于点,则三棱锥的外接球表面积为( )‎ A. 26 B. 13 C. D. ‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.命题“”的否定为: .‎ ‎14.离心率,且过的椭圆的标准方程为 或 .‎ ‎15.已知点,若动点满足,则点的轨迹方程为 . ‎ ‎16.已知,,点在圆上运动,则的最小值是 .‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) ‎ ‎17. (本小题满分12分)如图,正方体中 ‎(1)求证:‎ ‎(2)求证:平面平面 ‎18. (本小题满分10分)‎ 设抛物线的顶点为,经过焦点垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点,经过抛物线上一点垂直于对称轴的直线和对称轴交于点,设,,,求证:成等比数列.‎ ‎19. (本小题满分12分)‎ 已知的顶点,直线的方程为,边上的高所在直线的方程为. ‎ ‎(1)求顶点和的坐标;‎ ‎(2)求外接圆的一般方程.‎ ‎20. (本小题满分12分)‎ 已知四点中只有三点在椭圆:上.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)若直线的斜率为1,直线与圆相切,且与椭圆交于点,求线段的长.‎ ‎21.(本小题满分12分) ‎ 如图,四棱锥中,侧面PAB为等边三角形且垂直于底面ABCD,,, E是PD的中点.‎ ‎(1)证明:直线∥平面;‎ ‎(2)求二面角的余弦值.‎ ‎22.(本小题满分12分) ‎ 已知抛物线:,直线与轴交于点,与抛物线的准线交于点,过点作轴的平行线交抛物线于点,且的面积为.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)过的直线交抛物线于两点,设,,当时,‎ 求的取值范围.‎ 数学(理科)试卷答案及评分标准 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C B C C A A B B D D C A ‎ ‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.‎ ‎14.或 ‎15. ‎ ‎16. 36‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) ‎ ‎17.证明:(1)连结、‎ 平面,平面 ‎ ………………………………2分 又,,平面 平面, ………………………………4分 又平面 即. ………………………………6分 ‎(2)由(1)同理可得, ………………………………8分 又,平面 平面 ………………………………10分 又平面 平面平面 ………………………………12分 ‎(其他解法参照赋分)‎ ‎18. 证明:以抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为轴,建立如图所示 ‎ 的平面直角坐标系, ………………………………2分 设抛物线方程为,则焦点,…4分 ‎∵轴,∴…………………6分 ‎ ∴ ………………………………7分 又∵轴于点,,,‎ ‎ ∴,………………………………8分 ‎ ∵在抛物线上,‎ ‎∴, ………………………………9分 ‎ ∴即成等比数列. ………………………………10分 ‎(其他解法参照赋分)‎ ‎19.解:(1)由可得顶点,………………………………1分 又因为得, ………………………………2分 ‎ 所以设的方程为, ………………………………3分 将代入得 ………………………………4‎ 由可得顶点为 ………………………………5分 所以和的坐标分别为和 ………………………………6分 ‎(2)设的外接圆方程为,…………………7分 将、和三点的坐标分 别代入得则有………………………………11分 所以的外接圆的一般方程为.………………12分 ‎(其他解法参照赋分)‎ ‎20. 解:(1)根据椭圆的对称性可知在椭圆上,…………2分 设椭圆的方程为:, ………………………………3分 ‎ 由已知得, ………………………………4分 ‎ 解得:, ………………………………5分 ‎ 故椭圆的方程为:. ………………………………6分 ‎(2)∵直线的斜率为1,故设直线的方程为:即,‎ ‎ ………………………………7分 ‎ ∵直线与圆相切,∴, ………………………………8分 ‎ 由,即………………9分 ‎ ∴ ………………………………10分 ‎ ∴. ………………………………12分 ‎(其他解法参照赋分)‎ ‎21.解:(1)取的中点,连,‎ 是的中点, ‎ ‎, ………………………………2分 又 ‎ ‎ 四边形是平行四边形…………………………4分 ‎∥‎ 又平面,平面………………5分 ‎∥平面 ………………………6分 ‎ (2)在平面内作于,不妨令,则 由是等边三角形,则,为的中点,‎ 分别以、所在的直线为轴和轴,以底面内的中垂线为轴建立空间直角坐标系, ………………………………7分 则,,,‎ ‎,,………8分 设平面的法向量为,平面的法向量为,‎ 则 则……9分 ‎ 则…………10分 ‎…………11分 经检验,二面角的余弦值的大小为. ………………………………12分 ‎(其他解法参照赋分)‎ ‎22.解:(1)∵抛物线:的焦点为,直线与轴交于点,‎ ‎ ………………………………1分 ‎∴为抛物线的焦点,抛物线的准线为直线………………………………2分 ‎ ∴,………………………………3分 ‎ 由过点作轴的平行线交抛物线于点得…4分 ‎ ∴,‎ ‎∴的面积为 ‎………………………………6分 或解 由抛物线定义得,‎ ‎ ∵ 直线的倾斜角为,∴‎ 的面积为 .‎ ‎ ………………………………6分 ‎(2)由(1)知,抛物线的方程为,设,‎ 由得,…………8分 不妨设,故,………………………………9分 ‎∴‎ ‎  ∴‎ ‎ ,………………………………11分 ‎ ∴当时,最小为0;当时,最大为3,‎ 即的取值范围是.………………………………12分 ‎(其他解法参照赋分)‎
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