2019-2020学年安徽省合肥市六校高二上学期期末考试数学（理）试题

2019-2020学年安徽省合肥市六校高二上学期期末考试数学（理）试题

安徽省合肥市六校2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理科)试卷 ‎(考试时间：120分钟 满分：150分)‎ ‎(命题学校:‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。每小题只有一个正确答案，请把正确答案涂在答题卡上）‎ ‎1. 直线的方程为，则（ ）‎ A.直线过点，斜率为 B. 直线过点，斜率为 ‎ ‎ C. 直线过点，斜率为 D. 直线过点，斜率为 ‎2.双曲线的离心率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. 已知定点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎4. 双曲线的一条渐近线的方程为 （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎5. 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎6. “”是“直线与直线互相垂直”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎7. 已知圆，圆，则圆和圆的位置关系为（ ）‎ A.相切 B.内含 C.外离 D.相交 ‎ ‎8. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，球与圆锥的底面和侧面均相切，设球的体积为，圆锥的体积为，则（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎9.下列命题是真命题的是（ ）.‎ A.“若,则”的逆命题 ‎ B.“若，则”的否定 C. “若都是偶数，则是偶数”的否命题 D. “若函数都是上的奇函数，则是R上的奇函数”的逆否命题 ‎ ‎10.已知抛物线焦点为，直线过点与抛物线交于两点，与轴交于,若，则抛物线的准线方程为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎11.如图，三棱锥中，平面，，分别在棱上，且于， 于，则下列说法正确的有（ ）‎ ‎①是直角 ‎ ‎②是异面直线与所成角 ‎ ‎③是直线与平面所成角 ‎ ‎④是二面角的平面角 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎12．已知正方形的边长为，分别为边上的点，且.将 分别沿和折起，使点和重合于点，则三棱锥的外接球表面积为（ ）‎ A. 26 B. 13 C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.命题“”的否定为： .‎ ‎14.离心率，且过的椭圆的标准方程为 或 .‎ ‎15.已知点，若动点满足，则点的轨迹方程为 . ‎ ‎16.已知，，点在圆上运动，则的最小值是 .‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） ‎ ‎17. （本小题满分12分）如图，正方体中 ‎(1)求证：‎ ‎(2)求证：平面平面 ‎18. （本小题满分10分）‎ 设抛物线的顶点为，经过焦点垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点，经过抛物线上一点垂直于对称轴的直线和对称轴交于点，设，，，求证：成等比数列.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 已知的顶点，直线的方程为，边上的高所在直线的方程为. ‎ ‎（1）求顶点和的坐标；‎ ‎（2）求外接圆的一般方程.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 已知四点中只有三点在椭圆：上.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线的斜率为1，直线与圆相切，且与椭圆交于点，求线段的长.‎ ‎21.（本小题满分12分） ‎ 如图，四棱锥中，侧面PAB为等边三角形且垂直于底面ABCD，，, E是PD的中点．‎ ‎(1)证明：直线∥平面；‎ ‎(2)求二面角的余弦值．‎ ‎22.（本小题满分12分） ‎ 已知抛物线：，直线与轴交于点，与抛物线的准线交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点，且的面积为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）过的直线交抛物线于两点，设，，当时，‎ 求的取值范围.‎ 数学(理科)试卷答案及评分标准 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C B C C A A B B D D C A ‎ ‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.‎ ‎14.或 ‎15. ‎ ‎16. 36‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） ‎ ‎17.证明：(1)连结、‎ 平面，平面 ‎ ………………………………2分 又，，平面 平面， ………………………………4分 又平面 即. ………………………………6分 ‎(2)由(1)同理可得， ………………………………8分 又，平面 平面 ………………………………10分 又平面 平面平面 ………………………………12分 ‎（其他解法参照赋分）‎ ‎18. 证明：以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，建立如图所示 ‎ 的平面直角坐标系， ………………………………2分 设抛物线方程为，则焦点，…4分 ‎∵轴，∴…………………6分 ‎ ∴ ………………………………7分 又∵轴于点，，，‎ ‎ ∴，………………………………8分 ‎ ∵在抛物线上，‎ ‎∴， ………………………………9分 ‎ ∴即成等比数列. ………………………………10分 ‎（其他解法参照赋分）‎ ‎19.解：（1）由可得顶点,………………………………1分 又因为得， ………………………………2分 ‎ 所以设的方程为， ………………………………3分 将代入得 ………………………………4‎ 由可得顶点为 ………………………………5分 所以和的坐标分别为和 ………………………………6分 ‎（2）设的外接圆方程为，…………………7分 将、和三点的坐标分 别代入得则有………………………………11分 所以的外接圆的一般方程为.………………12分 ‎（其他解法参照赋分）‎ ‎20. 解：（1）根据椭圆的对称性可知在椭圆上，…………2分 设椭圆的方程为：， ………………………………3分 ‎ 由已知得， ………………………………4分 ‎ 解得：， ………………………………5分 ‎ 故椭圆的方程为：. ………………………………6分 ‎（2）∵直线的斜率为1，故设直线的方程为：即，‎ ‎ ………………………………7分 ‎ ∵直线与圆相切，∴， ………………………………8分 ‎ 由，即………………9分 ‎ ∴ ………………………………10分 ‎ ∴. ………………………………12分 ‎（其他解法参照赋分）‎ ‎21.解：(1)取的中点，连，‎ 是的中点, ‎ ‎， ………………………………2分 又 ‎ ‎ 四边形是平行四边形…………………………4分 ‎∥‎ 又平面，平面………………5分 ‎∥平面 ………………………6分 ‎ (2)在平面内作于，不妨令，则 由是等边三角形，则，为的中点，‎ 分别以、所在的直线为轴和轴，以底面内的中垂线为轴建立空间直角坐标系， ………………………………7分 则，，，‎ ‎，，………8分 设平面的法向量为，平面的法向量为，‎ 则 则……9分 ‎ 则…………10分 ‎…………11分 经检验，二面角的余弦值的大小为. ………………………………12分 ‎（其他解法参照赋分）‎ ‎22.解：（1）∵抛物线：的焦点为，直线与轴交于点，‎ ‎ ………………………………1分 ‎∴为抛物线的焦点，抛物线的准线为直线………………………………2分 ‎ ∴，………………………………3分 ‎ 由过点作轴的平行线交抛物线于点得…4分 ‎ ∴，‎ ‎∴的面积为 ‎………………………………6分 或解 由抛物线定义得，‎ ‎ ∵ 直线的倾斜角为，∴‎ 的面积为 .‎ ‎ ………………………………6分 ‎（2）由（1）知，抛物线的方程为，设，‎ 由得，…………8分 不妨设，故,………………………………9分 ‎∴‎ ‎　 ∴‎ ‎ ,………………………………11分 ‎ ∴当时，最小为0；当时，最大为3，‎ 即的取值范围是.………………………………12分 ‎（其他解法参照赋分）‎