数学（实验班）卷·2018届福建省师大附中高二上学期期末考试（2017-01）

数学（实验班）卷·2018届福建省师大附中高二上学期期末考试（2017-01）

福建师大附中2016-2017学年上学期期末考试 高二(实验班)数学试卷 时间：‎ ‎120分钟 满分：‎ ‎150分 命题：‎ 张春晓 审核：‎ 江泽 试卷说明：‎ ‎(1)本卷共三大题，23小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷。‎ ‎(2)考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备。‎ 第Ⅰ卷(选择题，共60分)‎ 一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. ‎ ‎1．参数方程，(为参数)表示的曲线是( )‎ A．双曲线 B．双曲线的上支 C．双曲线的下支 D．椭圆 ‎ ‎2．设，，都是正数，则三个数，，( )‎ A．都大于　　　 B．至少有一个大于　 　‎ C．至少有一个不小于　　　 D．至少有一个不大于 ‎3．若正数满足，则的最小值是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎4．下列命题：‎ ‎(1)“若，则”的逆命题；‎ ‎(2)“全等三角形面积相等”的否命题；‎ ‎(3)“若，则关于的不等式的解集为”的逆否命题；‎ ‎(4)命题“为假”是命题“为假”的充分不必要条件 其中真命题的个数是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为( )‎ A．　　 B．　 C．　　　 D．‎ ‎6．设是椭圆()的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰 三角形，则的离心率为( )‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知椭圆 ()的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点．若的中点坐标 为，则的方程为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知是双曲线上的一点，是上的两个焦点，若，则的取值 范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知为平面内两个不重合的定点,过该平面内动点作直线的垂线,垂足为．若,‎ 其中为常数,则动点的轨迹不可能是( )‎ A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 ‎10．定长为()的线段的两个端点都在双曲线(，‎ ‎)的右支上，则中点的横坐标的最小值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎11．设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于，‎ ‎, 则与的面积之比=( )‎ A． B． C． D．‎ ‎12．方程表示的曲线即为函数，有如下结论：‎ ‎①函数在R上单调递减；‎ ‎②函数不存在零点；‎ ‎③函数的值域是；‎ ‎④若函数和的图象关于原点对称，则函数的图象就是方程确定的曲线．‎ 其中所有正确的命题序号是( )‎ A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③‎ 第Ⅱ卷(非选择题，共90分)‎ 二、填空题：本大题有6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答卷的相应位置.‎ ‎13．若双曲线经过点，且与具有相同的渐近线，则的标准方程为 ．‎ ‎14．已知关于的不等式的解集非空，则参数的取值范围是 ．‎ ‎15. 右图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，‎ 水面宽 米．‎ ‎16．已知，(),若成立的一个充分而不必要条件是，则实数的取值范围为 ．‎ ‎17．已知椭圆()上一点关于原点的对称点为，为其左焦点，若，设，‎ 且，则该椭圆离心率的取值范围为 ．‎ ‎18．如右图，的顶点，，的内切圆圆心在直线上，‎ 则顶点的轨迹方程是 ．‎ 三、解答题（本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎19．（本小题满分10分）选修：坐标系与参数方程 已知曲线，(为参数)，曲线．‎ ‎(1)写出曲线的普通方程，曲线的参数方程；‎ ‎(2)在曲线，上分别取点，，求的最大值．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知命题方程表示焦点在轴上的椭圆，命题双曲线的离心率，若命题为真命题，为假命题，求实数的取值范围．‎ ‎21．（本小题满分12分）选修：不等式选讲 已知函数 ‎(1)求不等式的解集；‎ ‎(2)设，，证明：‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆()的离心率为，且椭圆上一点与两个焦点构成的三角形的周长为 ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于，两点，试问：在轴上是否存在定点，使成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎23．（本小题满分14分）‎ 在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点，是动点，且三角形的三边所在直线的斜率满足．‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）过作倾斜角为的直线，交曲线于，两点，求的面积；‎ ‎（3）过点任作两条互相垂直的直线，，分别交轨迹于点，和，，设线段，的中点分别为，．求证：直线恒过一定点．‎ 福建师大附中2016-2017学年期末考试卷参考答案 高二数学（创新班）‎ 一、选择题 ‎1-6 BCABCC 7-12 DACAAD ‎ 二、填空题 ‎13． ； 14．　； 15． ；‎ ‎16. ； 17．； 18． ().‎ 三、解答题 ‎19．解：(1) ，,(为参数) ………………4分 ‎(2)曲线上任意一点到到圆心的距离 ………………6分 ‎ ………………8分 当时，取最大值，此时 ………………10分 ‎20．解：若真，则有，即：； ………………2分 若真，则有，且，即： ………………4分 若命题为真命题，为假命题，则一真一假． ………………5分 若真、假，则，且，即：； ………………8分 若假、真，则，且，即：； ………………11分 故所求的取值范围为或． ………………12分 ‎21．解：法一：（Ⅰ）（ⅰ） 当时，原不等式可化为，解得，‎ 原不等式的解是； ………………2分 ‎（ⅱ）当时，原不等式可化为，解得，原不等式无解； ………………4分 ‎（ⅲ）当时，原不等式可化为，解得，原不等式的解是； ………………6分 综上，． ………………7分 ‎（Ⅱ）因为 ………………8分 ‎ ． ………………‎ ‎10分 因为，所以，， ………………11分 所以，即． ………………12分 法二：（Ⅰ）同解法一．‎ ‎（Ⅱ）因为， ………………8分 所以，要证，只需证，即证 ………………10分 即证，即证，即证． ……………11分 因为，所以，所以成立，所以原不等式成立． ……………12分 ‎22．解：（1）由题意，，由椭圆的定义可得，， ………………2分 解得，，，椭圆的方程为； ………………4分 ‎（2）假设轴上存在点，使得成立．‎ 椭圆的右焦点为，当直线的斜率为时，，，‎ 则，解得 ① ………………5分 当直线的斜率不存在时，可得， ，则，‎ 即为，即为，解得或 ②‎ 由①②可得： ………………7分 下面证明时，成立．‎ 当直线的斜率为时，结论成立；‎ 当直线的斜率不为时，设直线的方程为，，，‎ 直线方程代入椭圆方程，整理可得：， ………………9分 ‎，， ………………10分 综上，轴上存在点，使得成立． ………………12分 ‎23．解：(1)设点P的坐标为P（x，y），则，kOQ=2，， ………………2分 由+=，得．整理得点P的轨迹的方程为：y2=4x（y≠0，y≠2）； ………………4分 ‎(2)设，由 ‎ 得： ………………6分 ‎= ………………8分 ‎（3）证明：设点A，B的坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则点E的坐标为．‎ 由题意可设直线l1的方程为y=k（x﹣1）（k≠0），‎ 由，消去y得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，△=（2k2+4）2﹣4k4=16k2+16＞0． ………………9分 ‎∵直线l1与抛物线交于A，B两点，∴，， ………………10分 ‎∴点E的坐标为．由题知，直线l2的斜率为，同理可得F的坐标为（1+2k2，﹣2k）．……11分 当k≠±1时，有．此时直线EF的斜率为：，‎ ‎∴直线EF的方程为，整理得．恒过定点（3，0） …………13分 当k=±1时，直线EF的方程为x=3，也过点（3，0）．综上所述，直线EF恒过定点（3，0）．………………14分