2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(广东卷A)

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文档介绍

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(广东卷A)

‎2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) ‎ 数学(文科A卷)解析 本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.‎ 锥体的体积公式:.其中S表示锥体的底面积,h表示锥体的高.‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合,,则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】:先解两个一元二次方程,再取交集,选A,5分到手,妙!‎ ‎2.函数的定义域是 A. B. C. D.‎ ‎【解析】:对数真数大于零,分母不等于零,目测C!‎ ‎3.若,,则复数的模是 ‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎【解析】:复数的运算、复数相等,目测,模为5,选D.‎ ‎4.已知,那么 A. B. C. D.‎ ‎【解析】:考查三角函数诱导公式,,选C.‎ ‎5.执行如图1所示的程序框图,若输入的值为3,则输出的值是 ‎ A.1 B.2 C.4 D.7‎ ‎【解析】选C.本题只需细心按程序框图运行一下即可.‎ ‎6.某三棱锥的三视图如图2所示,则该三棱锥的体积是 ‎ A. B. C. D.‎ 9‎ ‎【解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形,三棱锥的高为2,则,选B.‎ ‎7.垂直于直线且与圆相切于第一象限的直线方程是 ‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【解析】本题考查直线与圆的位置关系,直接由选项判断很快,圆心到直线的距离等于,排除B、C;相切于第一象限排除D,选A.直接法可设所求的直线方程为:,再利用圆心到直线的距离等于,求得.‎ ‎8.设为直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是 A.若,,则 B.若,,则 C.若,,则 D.若,,则 ‎【解析】基础题,在脑海里把线面可能性一想,就知道选B了.‎ ‎9.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为,离心率等于,则C的方程是 A. B. C. D.‎ ‎【解析】基础题,,选D.‎ ‎10.设是已知的平面向量且,关于向量的分解,有如下四个命题:‎ ‎①给定向量,总存在向量,使;‎ ‎②给定向量和,总存在实数和,使;‎ ‎③给定单位向量和正数,总存在单位向量和实数,使;‎ ‎④给定正数和,总存在单位向量和单位向量,使;‎ 上述命题中的向量,和在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【解析】本题是选择题中的压轴题,主要考查平面向量的基本定理和向量加法的三角形法则.‎ 利用向量加法的三角形法则,易的①是对的;利用平面向量的基本定理,易的②是对的;以的终点作长度为的圆,这个圆必须和向量有交点,这个不一定能满足,③是错的;利用向量加法的三角形法则,结合三角形两边的和大于第三边,即必须,所以④是假命题 9‎ ‎.综上,本题选B.平面向量的基本定理考前还强调过,不懂学生做得如何.‎ ‎【品味选择题】文科选择题答案:ACDCC BABDB.选择题3322再次出现!今年的选择题很基础,希望以后高考年年出基础题!‎ 二、填空题:本大题共5小题.考生作答4小题.每小题5分,满分20分. ‎ ‎(一)必做题(11~13题)‎ ‎11.设数列是首项为,公比为的等比数列,则 ‎ ‎【解析】这题相当于直接给出答案了 ‎12.若曲线在点处的切线平行于轴,则 .‎ ‎【解析】本题考查切线方程、方程的思想.依题意 ‎13.已知变量满足约束条件,则的最大值是 .‎ ‎【解析】画出可行域如图,最优解为,故填 5 ;‎ ‎(二)选做题(14、15题,考生只能从中选做一题)‎ ‎14.(坐标系与参数方程选做题)‎ 已知曲线的极坐标方程为.以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线的参数方程为 .‎ ‎【解析】本题考了备考弱点.讲参数方程的时候,参数的意义要理解清楚.先化成直角坐标方程,易的则曲线C的参数方程为 (为参数)‎ ‎15.(几何证明选讲选做题)‎ 如图3,在矩形中,,,垂足为,则 .‎ ‎【解析】本题对数值要敏感,由,可知 ‎ 从而,‎ 9‎ ‎.‎ ‎【品味填空题】选做题还是难了点,比理科还难些.‎ 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.‎ ‎16.(本小题满分12分)‎ 已知函数.‎ ‎(1) 求的值;‎ ‎(2) 若,求.‎ ‎【解析】(1)‎ ‎(2),,‎ ‎.‎ ‎【解析】这个题实在是太简单,两角差的余弦公式不要记错了.‎ ‎17.(本小题满分13分)‎ 从一批苹果中,随机抽取50个,其重量(单位:克)的频数分布表如下:‎ 分组(重量)‎ 频数(个)‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎15‎ ‎(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在的频率;‎ ‎(2) 用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个,其中重量在的有几个?‎ ‎(3) 在(2)中抽出的4个苹果中,任取2个,求重量在和中各有1个的概率.‎ ‎【解析】(1)苹果的重量在的频率为;‎ 9‎ ‎(2)重量在的有个;‎ ‎(3)设这4个苹果中分段的为1,分段的为2、3、4,从中任取两个,可能的情况有:‎ ‎(1,2)(1,3)(1,4)(2,3)(2,4)(3,4)共6种;设任取2个,重量在和中各有1个的事件为A,则事件A包含有(1,2)(1,3)(1,4)共3种,所以.‎ ‎【解析】这个基础题,注意格式!‎ ‎18.(本小题满分13分)‎ 如图4,在边长为1的等边三角形中,分别是边上的点,,是的中点,与交于点,将沿折起,得到如图5所示的三棱锥,其中.‎ ‎(1) 证明://平面;‎ ‎(2) 证明:平面;‎ ‎(3) 当时,求三棱锥的体积.‎ ‎【解析】(1)在等边三角形中, ‎ ‎,在折叠后的三棱锥中 也成立, ,平面,‎ 平面,平面;‎ ‎(2)在等边三角形中,是的中点,所以①,.‎ ‎ 在三棱锥中,,②‎ ‎;‎ ‎(3)由(1)可知,结合(2)可得.‎ ‎【解析】这个题是入门级的题,除了立体几何的内容,还考查了平行线分线段成比例这个平面几何的内容.‎ 9‎ ‎19.(本小题满分14分)‎ 设各项均为正数的数列的前项和为,满足且构成等比数列.‎ ‎(1) 证明:;‎ ‎(2) 求数列的通项公式;‎ ‎(3) 证明:对一切正整数,有.‎ ‎【解析】(1)当时,, ‎ ‎(2)当时,,‎ ‎,‎ 当时,是公差的等差数列.‎ 构成等比数列,,,解得,‎ 由(1)可知,‎ ‎ 是首项,公差的等差数列.‎ ‎ 数列的通项公式为.‎ ‎(3)‎ ‎【解析】本题考查很常规,第(1)(2)两问是已知求,是等差数列,第(3)问只需裂项求和即可,估计不少学生猜出通项公式,跳过第(2)问,作出第(3)问.本题易错点在分成,来做后,不会求,没有证明也满足通项公式.‎ 9‎ ‎20.(本小题满分14分)‎ 已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线的距离为.设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点.‎ ‎(1) 求抛物线的方程;‎ ‎(2) 当点为直线上的定点时,求直线的方程;‎ ‎(3) 当点在直线上移动时,求的最小值.‎ ‎【解析】(1)依题意,解得(负根舍去)‎ 抛物线的方程为;‎ ‎(2)设点,,,‎ 由,即得. ‎ ‎∴抛物线在点处的切线的方程为,‎ 即. ‎ ‎∵, ∴ .‎ ‎∵点在切线上, ∴. ①‎ 同理, . ②‎ 综合①、②得,点的坐标都满足方程 . ‎ ‎∵经过两点的直线是唯一的,‎ ‎∴直线 的方程为,即;‎ ‎(3)由抛物线的定义可知,‎ 9‎ 所以 联立,消去得,‎ ‎ ‎ 当时,取得最小值为 ‎ ‎【解析】2013广州模直接命中了这一题,广一模20题解法2正是本科第(2)问的解法,并且广一模大题结构和高考完全一致. ‎ ‎21.(本小题满分14分)‎ 设函数 .‎ ‎(1) 当时,求函数的单调区间;‎ ‎(2) 当时,求函数在上的最小值和最大值.‎ ‎【解析】:‎ ‎(1)当时 ‎ ‎,在上单调递增.‎ ‎(2)当时,,其开口向上,对称轴 ,且过 ‎ ‎-k k ‎ k ‎(i)当,即时,,在上单调递增,‎ 从而当时, 取得最小值 ,‎ 当时, 取得最大值.‎ 9‎ ‎(ii)当,即时,令 解得:,注意到,‎ ‎(注:可用韦达定理判断,,从而;或者由对称结合图像判断)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 的最小值,‎ 的最大值 综上所述,当时,的最小值,最大值 解法2(2)当时,对,都有,故 故,而 ,‎ 所以 ,‎ ‎ 【解析】:看着容易,做着难!常规解法完成后,发现不用分类讨论,奇思妙解也出现了:结合图像感知 时最小,时最大,只需证即可,避免分类讨论.本题第二问关键在求最大值,需要因式分解比较深的功力 。 ‎ ‎ ‎ 9‎
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