山东省滕州市第一中学2019-2020学年高一4月网课检测数学试题

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高一一部网课效果检测 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.已知复数（为虚数单位），则复数的虚部是（ ）‎ A. 1 B. ‎-1 ‎C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据复数代数形式的运算性质化简求出复数，再根据虚部的定义即可求出答案．‎ ‎【详解】解：∵，‎ ‎∴复数的虚部是，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查复数代数形式的运算性质以及虚部的定义，属于基础题．‎ ‎2.某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120人，则该样本中的高二学生人数为( )‎ A. 80 B. ‎96 ‎C. 108 D. 110‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设高二总人数为人，由总人数及抽样比列方程组求解即可．‎ ‎【详解】设高二总人数为人，抽取的样本中有高二学生人 则高三总人数为个，‎ 由题可得：，解得：.‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查了分层抽样中的比例关系，考查方程思想，属于基础题．‎ ‎3.设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝（ ）‎ A. B. ‎ C D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出的表达式，然后对其化简，求出复数的模即可.‎ ‎【详解】由题意，，所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查复数的四则运算，考查复数的模的计算，属于基础题.‎ ‎4.点是所在平面上一点，若，则与面积之比是（ ）‎ A. 3 B. ‎2 ‎C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 过作，根据平面向量基本定理求得，即可求得与的面积之比.‎ ‎【详解】点是所在平面上一点，过作，如下图所示：‎ 由，‎ 故，‎ 所以与的面积之比为，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量基本定理的简单应用，面积比与线段比的关系，属于基础题.‎ ‎5.箱中装有标号为1，2，3，4，5且大小相同的5个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖，现有2人参与摸奖，恰好有1人获奖的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用列举法可得从5个球中摸出2个的所有可能，进而可知两球号码之积是4的倍数及摸一次中奖的概率，即可由独立重复试验得2人参与摸奖，恰好有1人获奖的概率.‎ ‎【详解】由题意知从5个球中摸出2个的所有可能为，共10种结果.‎ 两个球的号码之积是4的倍数是事件，即共有4种结果，‎ ‎∴摸一次中奖的概率是，2个人摸奖，相当于发生2次试验，且每一次发生的概率是，‎ ‎∴有2人参与摸奖，恰好有1人获奖的概率是,‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查了列举法求古典概型概率的应用，独立重复试验概率求法.‎ ‎6.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是（ ）‎ A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ①⑤‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据截面的位置，可判断截面图形的形状.‎ ‎【详解】一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，‎ 当截面经过圆柱上下底面的圆心时，圆锥的截面为三角形除去一条边，所以①正确；‎ 当截面不经过圆柱上下底面的圆心时，圆锥的截面为抛物线的一部分，所以⑤正确；‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查了空间几何体的结构特征，几何体截面形状的判断，属于中档题.‎ ‎7.在中，,其面积，则与夹角的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设， ，与的夹角为，由数量积的定义可得，再利用三角形面积公式即可得到答案.‎ ‎【详解】设， ，与的夹角为，‎ 则，所以 ‎ ‎ ，又，‎ 故选：B．‎ ‎【点晴】本题考查求向量的夹角问题，涉及到三角形的面积公式，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.‎ ‎8.已知腰长为3，底边长2为的等腰三角形，为底边的中点，以为折痕，将三角形翻折，使，则经过，，，的球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先对平面图形进行转换，将三棱锥补成长方体，进一步求出长方体外接球的半径，之后应用面积公式求得对应球的表面积.‎ ‎【详解】∵，，‎ 则，，‎ 又，，‎ ‎∴可以将三棱锥可补成一个长方体，‎ 则经过，，，的球为长方体的外接球，设球的半径为，‎ 故，‎ 所以，所以所求的表面积为，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本小题考查多面体与球的切、接问题，以及球的表面积等基础知识；考査空间想象能力，推理论证能力，运算能力，考査数形结合思想，化归与转化思想.‎ 二、多项选择题（每题5分，共20分，给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对的得2.5分，有选错的得0分）‎ ‎9.如图所示，在四个正方体中，是正方体的一条体对角线，点分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】AD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用线面垂直的判定定理证明AD满足，结合空间向量在BC中证明直线l与平面内的某条直线不垂直，即可得线面不可能垂直.‎ ‎【详解】如图所示，正方体.连接，分别为其所在棱的中点，.‎ ‎∵四边形为正方形，‎ ‎，‎ 平面，平面，‎ ‎，‎ ‎，，平面，平面，‎ ‎，，同理，可证，，‎ ‎，平面，平面，‎ 平面，即l垂直平面，故A正确.‎ 在D中，由A中证明同理可证，，又，‎ 平面.故D正确.‎ 假设直线与平面垂直，则这条直线垂直于面内任何一条直线.‎ 对于B选项建立直角坐标系如图：设棱长为2，‎ ‎，直线l所在体对角线两个顶点坐标，‎ 所以其方向向量，‎ ‎，所以直线不可能垂直于平面.‎ 同理可在C中建立相同直角坐标系，，‎ ‎，所以直线不可能垂直于平面.‎ 故选：AD.‎ ‎【点睛】此题考查空间线面垂直的辨析，在四个图形中分别判定是否满足线面垂直，根据线面垂直的判定定理证明.‎ ‎10.（多选题）某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在元的学生有60人，则下列说法正确的是（ ）‎ A. 样本中支出在元的频率为0.03‎ B. 样本中支出不少于40元的人数为132‎ C. n的值为200‎ D. 若该校有2000名学生，则定有600人支出在元 ‎【答案】BC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据频率分布直方图求出每组的频率，补齐第四组的频率，结合频数与频率和样本容量的关系即可判定.‎ ‎【详解】样本中支出在元的频率为，故A错误；‎ 样本中支出不少于40元的人数为，故B正确；‎ ‎，故n的值为200，故C正确；‎ 若该校有2000名学生，则可能有600人支出在[50，60）元，故D错误.‎ 故选：BC.‎ ‎【点睛】此题考查根据频率分布直方图求每组的频率，补齐频率分布直方图，用数据特征估计总体的特征.‎ ‎11.甲乙两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1，2，3，4，乙四个面上分别标有数字5，6，7，8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】ABD ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据题意，分别求得可判断A，由独立事件概率乘法公式，可判断BCD.‎ ‎【详解】由已知，，‎ 由已知有，，，‎ 所以，则A正确；‎ ‎，则B正确；‎ 事件、、不相互独立，故错误，即C错误 ‎，则D正确；‎ 综上可知正确的为ABD.‎ 故选:ABD．‎ ‎【点睛】本题考查了古典概型概率计算公式的应用，概率乘法公式的应用，属于基础题.‎ ‎12.已知是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ）‎ A. ‎ B. 若且，则 C. 两个非零向量，，若，则与共线且反向 D. 已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 ‎【答案】AC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平面向量数量积定义可判断A；由向量垂直时乘积为0，可判断B；利用向量数量积的运算律，化简可判断C；根据向量数量积的坐标关系，可判断D.‎ ‎【详解】对于A，由平面向量数量积定义可知，则，所以A正确，‎ 对于B，当与都和垂直时，与的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B错误，‎ 对于C，两个非零向量，，若，可得，即 ‎，，‎ 则两个向量的夹角为，则与共线且反向，故C正确；‎ 对于D，已知，且与的夹角为锐角，‎ 可得即可得，解得，‎ 当与的夹角为0时，，所以 所以与的夹角为锐角时且，故D错误；‎ 故选:AC.‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.‎ 三、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上）‎ ‎13.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶‎600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 ________ m. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:由题设可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因为,所以,应填.‎ 考点：正弦定理及运用．‎ ‎14.某大街在甲、乙、丙三处设有红、绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为，，，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据互斥事件概率求法即可得解.‎ ‎【详解】∵设汽车分别在甲乙丙三处的通行为事件，停车为，‎ ‎∴，，，‎ ‎∵停车一次即为事件，‎ ‎∴所求概率为：．‎ 故答案为: .‎ ‎【点睛】本题考查了互斥事件概率的求法及简单应用，属于基础题.‎ ‎15.某人5次下班途中所花的时间（单位：分钟）分别为，，5，6，4．已知这组数据的平均数为5，方差为2，则的值为________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平均数可得，根据方差公式可得，令，，代入化简即可求得，即为的值.‎ ‎【详解】由这组数据平均数为5，可得，，‎ 根据方差公式得，‎ 所以：‎ 设，，则，解得，‎ ‎∴，‎ 故答案为:4．‎ ‎【点睛】本题考查了平均数与方差的定义与简单应用，属于基础题.‎ ‎16.已知三棱锥的四个顶点在以为球心的同一球面上，且，，当球的表面积为时，到平面的距离是________．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由球的面积公式可先求得球半径；根据球的性质及线段关系，可知三棱锥顶点在底面内的射影是的外心，且是的中点；再根据，点是三角形的外心，即可知到平面的距离.‎ ‎【详解】设球半径为，因为球的表面积为，即，解得．‎ 因为，所以三棱锥顶点在底面内的射影是的外心，‎ 又因为，所以是的中点，‎ 所以点在直线上，因此的长为到平面的距离．‎ 因为，所以可得是等边三角形，‎ 所以点是三角形的外心，即三角形的中心．‎ 又因为其外接圆的半径为10，所以．‎ 故答案为:5.‎ ‎【点睛】本题考查了三棱锥外接球的性质及应用，三棱锥结构特征及三角形的性质应用，属于中档题.‎ 四、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.在平面直角坐标系中，已知，.‎ ‎（Ⅰ）若，求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）若，求实数的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）求出向量和的坐标，然后利用共线向量的坐标表示得出关于的方程，解出即可；‎ ‎（Ⅱ）由得出，利用向量数量积的坐标运算可得出关于实数的方程，解出即可.‎ ‎【详解】（Ⅰ），，，‎ ‎，‎ ‎，，解得；‎ ‎（Ⅱ），‎ ‎，，解得.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查利用共线向量和向量垂直求参数，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎18.某校为了解全校高中学生五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的时间，绘成的频率分布直方图如图所示．‎ ‎（1）估计这100名学生参加实践活动时间的众数、中位数和平均数．‎ ‎（2）估计这100名学生参加实践活动时间的上四分位数．‎ ‎【答案】（1）7小时，7.2小时，7.16小时；（2）8.93．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据频率分布直方图，结合众数、中位数和平均数求法即可得解. ‎ ‎（2）根据四分位定义，求得各组人数，即可确定四分位数.‎ ‎【详解】（1）由频率分布直方图可以看出最高矩形横轴上的中点为7，‎ 故这100名学生参加实践活动时间的众数的估计值为7小时，‎ 由，解得，则，‎ 即这100名学生参加实践活动时间的中位数为7.2小时，‎ 这100名学生参加实践活动时间的平均数为：‎ 小时．‎ ‎（2）由（1）知，因为，第1组有人，‎ 同理第2组有24人，第3组有30人，第4组有28人，第5组有10人．‎ 所以处四分位数在第4组为，‎ 所以上四分位数为8.93．‎ ‎【点睛】本题考查了由频率分布直方图求众数、中位数和平均数方法，分位数的求法，属于基础题.‎ ‎19.在中，角所对的边分别为，已知．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据三角形角的关系，代入化简三角函数式，即可求得，进而得角的大小；‎ ‎（2）根据余弦定理，由基本不等式即可求得，再结合三角形边关系求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）∵，‎ ‎∴，‎ 即，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎（2）由余弦定理可知，‎ 代入可得，‎ 当且仅当时取等号，‎ ‎∴，又，‎ ‎∴的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题考查了三角恒等变形的应用，由余弦定理及基本不等式求边的范围，属于中档题.‎ ‎20.在如图所示的圆锥中，底面直径与母线长均为，点是底面直径所对弧的中点，点是母线的中点.‎ ‎（1）求该圆锥的侧面积与体积；‎ ‎（2）求异面直线与所成角的正切值.‎ ‎【答案】（1）； （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出PO=,再利用公式求该圆锥的侧面积与体积；（2）取的中点，连接，，则或其补角即为所求，再求其正切值得解.‎ ‎【详解】（1）由题意，得，，，‎ 所以圆锥的侧面积为，‎ ‎ ；‎ ‎（2）‎ 取的中点，连接，，则或其补角即为所求，‎ 因为DE⊥EO,DE⊥OC,,‎ 所以平面，，，‎ ‎ ，‎ 于是，‎ 即异面直线与所成角的正切值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查圆锥的侧面积和体积的计算，考查异面直线所成的角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎21.滕州市教育局为了解学生网络教学期间的学习情况，从初中及高中共抽取了50名学生，对他们每天平均学习时间进行统计．请根据下面的各班人数统计表和学习时间的频率分布直方图解决下列问题：‎ 年级 人数 初一 ‎4‎ 初二 ‎4‎ 初三 ‎6‎ 高一 ‎12‎ 高二 ‎6‎ 高三 ‎18‎ 合计 ‎50‎ ‎（1）抽查的50人中，每天平均学习时间为6～8小时的人数有多少？‎ ‎（2）经调查，每天平均学习时间不少于6小时的学生均来自高中．现采用分层抽样的方法，从学习时间不少于6小时的学生中随机抽取6名学生进行问卷调查，求这三个年级各抽取了多少名学生；‎ ‎（3）在（2）抽取的6名学生中随机选取2人进行访谈，求这2名学生来自不同年级的概率．‎ ‎【答案】（1）18人；（2）从高中三个年级依次抽取2名学生，1名学生，3名学生；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据频率分布直方图，可求得学习时间为6～8小时的频率，进而得学习时间为6～8小时的人数.‎ ‎（2）根据分层抽样特征，即可确定在高中三个年级依次抽人数.‎ ‎（3）设高一的2名学生为，高二的1名学生为，高三的3名学生为，，．利用列举法得所有可能，进而求得2名学生来自不同年级的概率．‎ ‎【详解】（1）由直方图知，学习时间为6～8小时的频率为 ‎，‎ ‎∴学习时间为6～8小时的人数为（人）；‎ ‎（2）由直方图可得，学习时间不少于6小时的学生有人．‎ ‎∵从中抽取6名学生的抽取比例为，高中三个年级的人数分别为12、6、18，‎ ‎∴从高中三个年级依次抽取2名学生，1名学生，3名学生；‎ ‎（3）设高一的2名学生为，高二的1名学生为，高三的3名学生为，，．‎ 则从6名学生中选取2人所有可能的情形有，，，，，，，，，，，，，，，共15种可能．‎ 其中2名学生来自不同年级的有，，，，，，，，，，，共11种情形，‎ 故所求概率为．‎ ‎【点睛】本题考查了频率分布直方图的简单应用，分层抽样特征，列举法求古典概型概率的应用，属于基础题.‎ ‎22.如图，在四棱柱中，点是线段上的一个动点，分别是，的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．（要求在答题纸上要画出图形）‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）存在，，图见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连结，由中位线定理即可证明，进而证明平面；‎ ‎（2）由平面与平面平行性质，结合中位线定理可得点的位置，进而得的值；‎ ‎【详解】（1）证明：连结，如下图所示：‎ ‎∵，，‎ ‎∴，‎ 又平面，平面，‎ ‎∴平面．‎ ‎（2）棱上存在一点，使得平面平面．‎ 理由如下：‎ ‎∵平面平面，平面平面，‎ ‎∴，‎ 又∵是中点，‎ ‎∴是中点，‎ ‎∴棱上存在一点，使得平面平面，且．‎ ‎【点睛】本题考查了线面平行的判定定理应用，由面面平行判断点的位置，属于中档题.‎