河北省承德市第一中学2020届高三上学期10月月考数学（理）试题

河北省承德市第一中学2020届高三上学期10月月考数学（理）试题

承德一中2019-2020学年度第一学期第三次模拟考试 高三理科数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一.选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将正确答案选项涂在答题卡上)‎ ‎1.已知集合，集合，求（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解出集合、，再利用集合交集运算律可求出集合。‎ ‎【详解】解不等式，即，解得，.‎ 解不等式，解得，，‎ 因此，，故选：B。‎ ‎【点睛】本题考查集合的交集运算，解出不等式得出两个集合是解题的关键，考查计算能力，属于基础题。‎ ‎2.命题“，”的否定是（　　）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据特称量词的否定得到结果.‎ ‎【详解】根据命题否定的定义可得结果为：，‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查含量词的命题的否定问题，属于基础题.‎ ‎3.设，，，则（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 因为，，‎ 而，，‎ 所以，，‎ 又，‎ 所以，‎ 即，‎ 所以有．‎ 故选．‎ ‎4.若角的终边经过点，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三角函数的定义可得的三个三角函数值后可得正确的选项.‎ ‎【详解】因为角的终边经过点，故，‎ 所以，故选B.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的定义，属于基础题.‎ ‎5.将函数的图象向右平移单位后，所得图象对应的函数解析式为（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将函数中x换为x-后化简即可.‎ ‎【详解】化解为 故选D ‎【点睛】本题考查三角函数平移问题,属于基础题目,解题中根据左加右减的法则,将x按要求变换.‎ ‎6.平面向量与的夹角为.,,则等于( )‎ A. B. C. 4 D. 12‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用数量积定义,利用,求解即可.‎ ‎【详解】，向量与的夹角为，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了向量的模，一般处理的方式是把模平方，再结合向量的夹角能求出向量的数量积，计算即可求模，考查了运算能力，属于中档题.‎ ‎7.已知 ，且，则的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用乘1法，可得由x+y＝（x+1）+y﹣1＝[（x+1）+y]•（）﹣1，化简整理再由基本不等式即可得到最小值．‎ ‎【详解】由x+y＝（x+1）+y﹣1‎ ‎＝[（x+1）+y]•1﹣1‎ ‎＝[（x+1）+y]•2（）﹣1‎ ‎＝2（21‎ ‎≥3+47．‎ 当且仅当x，y＝4取得最小值7．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式运用：求最值，注意乘1法和满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎8.在△中，为边上的中线，为的中点，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.‎ 详解：根据向量的运算法则，可得 ‎ ，‎ 所以，故选A.‎ 点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.‎ ‎9.在等差数列中，公差，为的前项和，且，则当为何值时，达到最大值.( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据，，得到进而可判断出结果.‎ ‎【详解】因为在等差数列中，，所以，‎ 又公差，所以，故 所以数列的前6项为正数，从第7项开始为负数；‎ 因此，当时，达到最大值.‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查求使等差数列前项和最大的，熟记等差数列的性质与求和公式即可，属于常考题型.‎ ‎10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）‎ A. B. C. 90 D. 81‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析： 解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的斜四棱柱，‎ 其底面面积为：3×6=18，‎ 前后侧面的面积为：3×6×2=36，‎ 左右侧面的面积为： ，‎ 故棱柱的表面积为： ．‎ 故选：B．‎ 点睛：本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键，由三视图判断空间几何体（包括多面体、旋转体和组合体）的结构特征是高考中的热点问题.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎11. 某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为（　　）‎ A. 31200元 B. 36000元 C. 36800元 D. 38400元 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 设租A型车x辆，B型车y辆时租金为z元 则z＝1600x＋2400y x、y满足 画出可行域观察可知，直线过点A(5,12)时纵截距最小，‎ ‎∴zmin＝5×1 600＋2 400×12＝36800，‎ 故租金最少为36800元．选C.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎12.已知函数若函数有4个零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令g(x)=0得f(x)=a,再利用函数的图像分析解答得到a的取值范围.‎ ‎【详解】令g(x)=0得f(x)=a,‎ 函数f(x)的图像如图所示，‎ 当直线y=a在x轴和直线x=1之间时，函数y=f(x)的图像与直线y=a有四个零点，‎ 所以0＜a＜1.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查函数的图像和性质，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13.已知复数满足，则等于______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出复数z,再求|z|.‎ ‎【详解】由题得.‎ 故答案：‎ ‎【点睛】（1）本题主要考查复数的计算和复数的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.(2) 复数的模.‎ ‎14.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则A=_______‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由正弦定理求解即可.‎ ‎【详解】因为，，，‎ 由正弦定理，可得，‎ 所以或；且都满足.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，已知两边及一边的对角采用正弦定理，属于基础题.‎ ‎15.已知函数的部分图象如图所示，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由图可得，即可求得：，再由图可得：当时，取得最大值，即可列方程，整理得：，解得：（），结合即可得解.‎ ‎【详解】由图可得：，所以，解得：‎ 由图可得：当时，取得最大值，即：‎ 整理得：，所以 （）‎ 又，所以 ‎【点睛】本题主要考查了三角函数图象的性质及观察能力，还考查了转化思想及计算能力，属于中档题。‎ ‎16.已知Sn表示等比数列{an}的前n项和，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等比数列的前n项和公式化简，得到公比，再次利用等比数列的的前n项和公式表示，化简即可得到答案.‎ ‎【详解】若数列为等比数列，很明显， ，‎ 据此有，解得：‎ ‎【点睛】本题主要考查了等比数列的前n项和公式的应用，计算时要细心，属于基础题.‎ 三、解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求最小正周期：‎ ‎（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）2，．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（Ⅰ）因为 ‎ ‎，‎ 故最小正周期为 ‎ ‎（Ⅱ）因为，所以． ‎ 于是，当，即时，取得最大值；‎ 当，即时，取得最小值．‎ 点睛：本题主要考查了两角和的正弦公式，辅助角公式，正弦函数的性质，熟练掌握公式是解答本题的关键.‎ ‎18.已知数列为递增的等差数列，其中，且成等比数列．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设记数列的前n项和为，求使得成立的m的最小正整数．‎ ‎【答案】（1）；（2）2.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用待定系数法，设出首项和公差，依照题意列两个方程，即可求出的通项公式；‎ ‎（2）由，容易想到裂项相消法求的前n项和为，然后，恒成立问题最值法求出m的最小正整数．‎ ‎【详解】（1）在等差数列中，设公差为d≠0，‎ 由题意，得，‎ 解得．‎ ‎∴an＝a1+（n﹣1）d＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；‎ ‎（2）由（1）知，an＝2n﹣1．‎ 则＝，‎ ‎∴Tn＝＝．‎ ‎∵Tn+1﹣Tn＝＝＞0，‎ ‎∴{Tn}单调递增，而，‎ ‎∴要使成立，则，得m，‎ 又m∈Z，则使得成立的m的最小正整数为2．‎ ‎【点睛】本题主要考查等差、等比数列的基本性质和定义，待定系数法求通项公式，裂项相消求数列的前n项和，以及恒成立问题的一般解法，意在考查学生综合运用知识的能力。‎ ‎19.在平面四边形ABCD中， AB＝2，BD＝，AB⊥BC，∠BCD＝2∠ABD，△ABD的面积为2．‎ ‎(1)求AD的长；‎ ‎(2)求△CBD的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用面积公式可以求出sin∠ABD的值，利用同角三角函数的关系求出cos∠ABD的值，利用余弦定理，求出AD的长；‎ ‎（2）利用AB⊥BC，可以求出以sin∠CBD的大小，利用∠BCD＝2∠ABD，可求出sin∠BCD 的大小，通过角之间的关系可以得到所以△CBD为等腰三角形，利用正弦定理，可求出CD的大小，最后利用面积公式求出△CBD的面积．‎ ‎【详解】(1)由已知＝AB·BD·sin∠ABD＝×2××sin∠ABD＝2，‎ 可得sin∠ABD＝，又∠ABD∈，所以cos∠ABD＝，‎ 在△ABD中，由余弦定理AD2＝AB2＋BD2－2·AB·BD·cos∠ABD，‎ 可得AD2＝5，所以AD＝.‎ ‎(2)由AB⊥BC，得∠ABD＋∠CBD＝，所以sin∠CBD＝cos∠ABD＝，‎ 又∠BCD＝2∠ABD，所以sin∠BCD＝2sin∠ABD·cos∠ABD＝，‎ ‎∠BDC＝π－∠CBD－∠BCD＝π－－2∠ABD＝－∠ABD＝∠CBD，‎ 所以△CBD为等腰三角形，即CB＝CD，在△CBD中，由正弦定理，得CD，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、面积公式.‎ ‎20.已知数列满足：，，数列满足：（）．‎ ‎（1）证明：数列是等比数列；‎ ‎（2）求数列的前项和，并比较与的大小.‎ ‎【答案】（1）见证明；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将原式变形为，进而得到结果；（2）根据第一问得到，错位相减得到结果.‎ ‎【详解】（1）由条件得，易知，两边同除以得，又，‎ 故数列等比数列，其公比为.‎ ‎（2）由（1）知，则 ‎……①‎ ‎……②‎ 两式相减得 即.‎ ‎【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。‎ ‎21.已知函数，其中 ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若在上存在，使得成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）函数的单调区间与导数的符号相关，而函数的导数为 ‎，故可以根据的符号讨论导数的符号，从而得到函数的单调区间.（2）若不等式 在 上有解，那么在上，.但在上的单调性不确定，故需分 三种情况讨论.‎ 解析：（1），‎ ‎①当时，在上，在上单调递增；‎ ‎②当时，在上；在上；所以在上单调递减，在上单调递增.‎ 综上所述，当时，的单调递增区间为，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.‎ ‎（2）若在上存在，使得成立，则在上的最小值小于.‎ ‎①当，即时，由（1）可知在上单调递增，在上的最小值为，由，可得，‎ ‎②当，即时，由（1）可知在上单调递减，在上的最小值为，由，可得 ；‎ ‎③当，即时，由（1）可知在上单调递减，在上单调递增，在上的最小值为，因为，所以，即，即，不满足题意，舍去.‎ 综上所述，实数的取值范围为.‎ 点睛：函数的单调性往往需要考虑导数的符号，通常情况下，我们需要把导函数变形，找出能决定导数正负的核心代数式，然后就参数的取值范围分类讨论.又不等式的恒成立问题和有解问题也常常转化为函数的最值讨论，比如：“在 上有解”可以转化为“在 上，有”，而“在恒成立”可以转化为“在 上，有”.‎ 选做题：本小题满分10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以原点为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位。曲线的极坐标方程为 .‎ ‎（1）求的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知点是曲线上任一点，求点到直线距离的最大值.‎ ‎【答案】（1）； ;（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）消参数得的普通方程，根据得的直角坐标方程（2）根据直线与圆位置关系得最值.‎ ‎【详解】（1）‎ 因为，‎ 所以，即 ‎（2）因圆心到直线距离为，‎ 所以点到直线距离的最大值为 ‎【点睛】本题考查参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标方程以及直线与圆位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题.‎ ‎23.已知.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）设关于的不等式有解，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，利用零点分段法去绝对值，将转化为分段函数的形式，并由此解出不等式的解集.（2）先利用绝对值不等式求得的最小值，这个最小值小于，由此列不等式，解不等式求得的取值范围.‎ ‎【详解】解：（1）当时，不等式等价于，‎ 或，‎ 或，‎ 解得或，即.‎ 所以不等式的解集是.‎ ‎（2）由题意得，‎ 因为，故.‎ ‎【点睛】本小题主要考查零点分段法解绝对值不等式，考查不等式存在性问题的求解方法，属于中档题.‎