2020届二轮复习（文）基础考点第3讲 不等式作业
第 3 讲 不等式
一、选择题
1.(2019 河北石家庄质检)已知 a>0>b,则下列不等式一定成立的是( )
A.a2<-ab B.|a|<|b|
C.1
푎>1
푏 D.(1
2)푎
>(1
2)푏
答案 C 解法一:当 a=1,b=-1 时,满足 a>0>b,此时 a2=-ab,|a|=|b|,(1
2)푎
<(1
2)푏
,∴A,B,D 不一定成
立.
∵a>0>b,∴b-a<0,ab<0,∴1
푎-1
푏=푏 - 푎
푎푏 >0,∴1
푎>1
푏 一定成立,故选 C.
解法二:∵a>0>b,∴1
푎>0>1
푏,∴1
푎>1
푏一定成立,故选 C.
2.已知 a∈R,不等式 푥 - 3
푥 + 푎≥1 的解集为 p,且-2∉p,则 a 的取值范围是( )
A.(-3,+∞) B.(-3,2)
C.(-∞,2)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪[2,+∞)
答案 D ∵-2∉p,∴ -2 - 3
-2 + 푎<1 或-2+a=0,解得 a≥2 或 a<-3.
3.若关于 x 的不等式 x2+2ax+1≥0 在[0,+∞)上恒成立,则实数 a 的取值范围是( )
A.(0,+∞) B.[-1,+∞)
C.[-1,1] D.[0,+∞)
答案 B 解法一:当 x=0 时,不等式为 1≥0 恒成立;
当 x>0 时,x2+2ax+1≥0⇒2ax≥-(x2+1)⇒2a≥-(푥 + 1
푥),又-(푥 + 1
푥)≤-2,当且仅当 x=1 时取等号,
所以 2a≥-2⇒a≥-1,所以实数 a 的取值范围是[-1,+∞).
解法二:设 f(x)=x2+2ax+1,函数图象的对称轴为直线 x=-a.
当-a≤0,即 a≥0 时, f(0)=1>0,所以当 x∈[0,+∞)时, f(x)≥0 恒成立;当-a>0,即 a<0 时,要使
f(x)≥0 在[0,+∞)上恒成立,需 f(-a)=a2-2a2+1=-a2+1≥0,得-1≤a<0.
综上,实数 a 的取值范围是[-1,+∞).
4.已知函数 f(x)={푥2 - ax,x > 0,
2푥 - 1,x ≤ 0, 若不等式 f(x)+1≥0 在 R 上恒成立,则实数 a 的取值范围是
( )
A.(-∞,0)B.[-2,2]
C.(-∞,2]D.[0,2]
答案 C 由 f(x)≥-1 在 R 上恒成立,可得当 x≤0 时,2x-1≥-1,即 2x≥0,显然成立;又 x>0
时,x2-ax≥-1,即 a≤푥2 + 1
푥 =x+1
푥,由 x+1
푥≥2 푥·1
푥=2,可得 a≤2,当且仅当 x=1 时,取得最小值 2,综
上可得,实数 a 的取值范围是(-∞,2].
5.(2019 湖南长沙统一模拟)若 a>0,b>0,a+b=ab,则 a+b 的最小值为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
答案 B 解法一:由于 a+b=ab≤(푎 + 푏)2
4 ,因此 a+b≥4 或 a+b≤0(舍去),当且仅当 a=b=2 时取
等号,故选 B.
解法二:由题意,得1
푎+1
푏=1,所以 a+b=(a+b)·(1
푎 + 1
푏)=2+푎
푏+푏
푎≥2+2=4,当且仅当 a=b=2 时取等号,
故选 B.
解法三:由题意知 a= 푏
푏 - 1(b>1),所以 a+b= 푏
푏 - 1+b=2+b-1+ 1
푏 - 1≥2+2=4,当且仅当 a=b=2 时取等号,
故选 B.
6.(2019 河南郑州第二次质量预测)设变量 x,y 满足约束条件{푦 ≤ 2,
푥 + 푦 ≥ 1,
푥 - 푦 ≤ 1,
则目标函数 z=(1
3)3푥+푦
的最大值为( )
A.(1
3)11
B.(1
3)3
C.3 D.4
答案 C 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示,目标函数 z=(1
3)3푥+푦
,设
u=3x+y,欲求 z=(1
3)3푥+푦
的最大值,等价于求 u=3x+y 的最小值.u=3x+y 可化为 y=-3x+u,该直线
的纵截距为 u,作出直线 y=-3x 并平移,当直线 y=-3x+u 经过点 B(-1,2)时,纵截距 u 取得最小
值 umin=3×(-1)+2=-1.所以 z=(1
3)3푥+푦
的最大值 zmax=(1
3)-1
=3.故选 C.
7.若1
푎<1
푏<0,给出下列不等式:① 1
푎 + 푏< 1
푎푏;②|a|+b>0;③a-1
푎>b-1
푏;④ln a2>ln b2.其中正确的不等式的
序号是( )
A.①④ B.②③ C.①③ D.②④
答案 C 解法一:因为1
푎<1
푏<0,所以可取 a=-1,b=-2.显然|a|+b=1-2=-1<0,所以②错误;因为
ln a2=ln(-1)2=0,ln b2=ln(-2)2=ln 4>0,所以④错误,综上所述,可排除 A、B、D,故选 C.
解法二:由1
푎<1
푏<0,可知 b
0,所以 1
푎 + 푏< 1
푎푏,故①正确;
②中,因为 b-a>0,故-b>|a|,即|a|+b<0,故②错误;
③中,因为 b-1
푏>0,所以 a-1
푎>b-1
푏,故③正确;
④中,因为 ba2>0,而 y=ln x 在定义域(0,+∞)上为
增函数,所以 ln b2>ln a2,故④错误.
综上所述,知①③正确.
8.若实数 x,y 满足不等式组{푥 + 푦 - 3 ≤ 0,
푥 - 2푦 - 3 ≤ 0,
푥 ≥ 1,
目标函数 z=kx-y 的最大值为 6,最小值为 0,则实数
k 的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 B 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示.
则 A(1,2),B(1,-1),C(3,0),
因为目标函数 z=kx-y 的最小值为 0,
所以目标函数 z=kx-y 的最小值只可能在 A 或 B 处取得,
所以若在 A 处取得,则 k-2=0,得 k=2,此时,z=2x-y 在 C 点有最大值,zmax=2×3-0=6,符合题意;
若在 B 处取得,则 k+1=0,得 k=-1,此时,z=-x-y,
在 B 点取得最大值,zmax=-1-(-1)=0≠6,不符合题意,故选 B.
9.某企业生产甲、乙两种产品均需用 A,B 两种原料,已知生产 1 吨每种产品所需原料及每天
原料的可用限额如表所示.若生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万元,则该企业
每天可获得的最大利润为( )
甲 乙 原料限额
A/吨 3 2 12
B/吨 1 2 8
A.15 万元 B.16 万元 C.17 万元 D.18 万元
答案 D 设生产甲产品 x 吨,乙产品 y 吨,获得的利润为 z 万元,由题意可知{3푥 + 2푦 ≤ 12,
푥 + 2푦 ≤ 8,
푥 ≥ 0,
푦 ≥ 0,
z=3x+4y,作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示,直线 z=3x+4y 过点 M 时取得
最大值,
由{3푥 + 2푦 = 12,
푥 + 2푦 = 8, 得{푥 = 2,
푦 = 3,∴M(2,3),
故 z=3x+4y 的最大值为 18,故选 D.
10.(2019 河南洛阳统考)如果点 P(x,y)满足{2푥 - 푦 + 2 ≥ 0,
푥 - 2푦 + 1 ≤ 0,
푥 + 푦 - 2 ≤ 0,
点 Q 在曲线 x2+(y+2)2=1 上,那么
|PQ|的取值范围是( )
A.[ 5-1, 10-1] B.[ 5-1, 10+1]
C.[ 10-1,5] D.[ 5-1,5]
答案 D 作出点 P 满足的线性约束条件表示的平面区域(如图中阴影部分所示),因为点 Q
所在圆的圆心为 M(0,-2),所以|PM|取得最小值的最优解为(-1,0),取得最大值的最优解为(0,2),
所以|PM|的最小值为 5,最大值为 4,又圆 M 的半径为 1,所以|PQ|的取值范围是[ 5-1,5],故选
D.
11.(2019 河南洛阳尖子生第二次联考)已知实数 x,y 满足{푥 - 2푦 + 1 ≥ 0,
푥 < 2,
푥 + 푦 - 1 ≥ 0.
若 z=|2x-2y-1|,则 z
的取值范围是( )
A.[5
3,5] B.[0,5]
C.[0,5) D.[5
3,5)
答案 C 解法一:由题意,作出可行域,如图中阴影部分所示.
令 t=2x-2y-1,则 z=|t|.
t=2x-2y-1 可变形为 y=x-1
2t-1
2,作出直线 y=x,并平移,当直线经过点 A(1
3,2
3)时,t 取得最小值,所以
tmin=2×1
3-2×2
3-1=-5
3;当直线 y=x 向右下方平移,并接近点 C(2,-1)时,t 的值趋近于
2×2-2×(-1)-1=5.所以 z 的取值范围是[0,5),故选 C.
解法二:令 t=2x-2y-1,则 z=|t|.易知 t=2x-2y-1 的最值在可行域的顶点处取得.易得 A(1
3,2
3),B
(2,3
2),C(2,-1)为可行域的顶点,分别将 A,B,C 三点的坐标代入 t=2x-2y-1,对应的 t 的值为-5
3,0,5,
又可行域不包含点 B,C,所以 z 的取值范围是[0,5),故选 C.
12.若两个正实数 x,y 满足 1
3푥+3
푦=1,且不等式 x+푦
4-n2-13푛
12 <0 有解,则实数 n 的取值范围是( )
A.( - 25
12,1) B.( -∞, - 25
12)∪(1,+∞)
C.(1,+∞) D.( -∞, - 25
12)
答案 B 因为不等式 x+푦
4-n2-13푛
12 <0 有解,
所以(푥 + 푦
4)min
0,y>0,且 1
3푥+3
푦=1,
所以 x+푦
4=(푥 + 푦
4)( 1
3푥 + 3
푦)=13
12+3푥
푦 + 푦
12푥≥13
12+2 3푥
푦 · 푦
12푥=25
12,
当且仅当3푥
푦 = 푦
12푥,即 x=5
6,y=5 时取等号,
所以(푥 + 푦
4)min
=25
12,
故 n2+13푛
12 -25
12>0,解得 n<-25
12或 n>1,
所以实数 n 的取值范围是( -∞, - 25
12)∪(1,+∞).
二、填空题
13.(2019 河南洛阳统考)已知 x>0,y>0,且1
푥+2
푦=1,则 xy+x+y 的最小值为 .
答案 7+4 3
解析 ∵1
푥+2
푦=1,∴2x+y=xy,∴xy+x+y=3x+2y,
∵3x+2y=(3x+2y)(1
푥 + 2
푦)=7+6푥
푦 +2푦
푥 ,且 x>0,y>0,
∴3x+2y≥7+4 3,当且仅当6푥
푦 =2푦
푥 时,xy+x+y 取最小值 7+4 3.
14.(2019 江西七校第一次联考)设 x,y 满足约束条件{푥 + 푦 - 7 ≤ 0,
푥 - 3푦 + 1 ≤ 0,
3푥 - 푦 - 5 ≥ 0,
则 z=2x-y 的最大值
为 .
答案 8
解析 解法一:作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,作出直线 2x-y=0 并平移,
当直线经过点 A(5,2)时,z 取得最大值,即 zmax=2×5-2=8.
解法二:易知目标函数的最值在可行域的顶点处取得,由{푥 + 푦 - 7 = 0,
푥 - 3푦 + 1 = 0,得 A(5,2),此时 z=8;由
{푥 + 푦 - 7 = 0,
3푥 - 푦 - 5 = 0,得 B(3,4),此时 z=2;由{푥 - 3푦 + 1 = 0,
3푥 - 푦 - 5 = 0, 得 C(2,1),此时 z=3.综上,z 的最大值为 8.
15.(2019 河南郑州第一次质量预测)不等式 x(sin θ-cos2θ+1)≥-3 对任意 θ∈R 恒成立,则实数
x 的取值范围是 .
答案 [ - 3
2,12]
解析 sin θ-cos2θ+1=sin2θ+sin θ,令 sin θ=t,t∈[-1,1],则 x(sin θ-cos2θ+1)≥-3 对任意 θ∈R 恒成
立,可转化为 f(t)=xt2+xt+3≥0 对 t∈[-1,1]恒成立,又 f(0)=3>0,所以{푥 < 0,
푓( - 1) = 3 ≥ 0,
푓(1) = 2푥 + 3 ≥ 0
或
{푥 = 0,
푓(푡) = 3 ≥ 0或{푥 > 0,
훥 = 푥2 - 12x ≤ 0,解得-3
2≤x<0 或 x=0 或 00,y>0,且(푥 - 1
푦)2
=16푦
푥 ,则当 x+1
푦取最小值时,x2+ 1
푦2= .
答案 12
解析 ∵x>0,y>0,∴当 x+1
푦取最小值时,(푥 + 1
푦)2
取得最小值,∵(푥 + 1
푦)2
=x2+ 1
푦2+2푥
푦 ,(푥 - 1
푦)2
=16푦
푥 ,
∴x2+ 1
푦2=2푥
푦 +16푦
푥 ,(푥 + 1
푦)2
=4푥
푦 +16푦
푥 ≥2 4푥
푦 ·16푦
푥 =16,∴x+1
푦≥4,当且仅当4푥
푦 =16푦
푥 ,即 x=2y 时取等号,∴
当 x+1
푦取最小值时,x=2y,x2+ 1
푦2+2푥
푦 =16,即 x2+ 1
푦2+2 × 2푦
푦 =16,∴x2+ 1
푦2=16-4=12.
